El matemático suizo del siglo XVIII Leonhard Euler (1707-1783) se encuentra entre los matemáticos más prolíficos y exitosos de la historia del campo . Su trabajo fundamental tuvo un profundo impacto en numerosas áreas de las matemáticas y es ampliamente reconocido por introducir y popularizar la notación y la terminología modernas.
Notación matemática
Euler introdujo gran parte de la notación matemática que se usa hoy en día, como la notación f ( x ) para describir una función y la notación moderna para las funciones trigonométricas . Fue el primero en usar la letra e para la base del logaritmo natural , ahora también conocido como número de Euler . El uso de la letra griegapara denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro también fue popularizado por Euler (aunque no se originó con él). [1] También se le atribuye haber inventado la notación i para denotar. [2]
Análisis complejo
Euler hizo importantes contribuciones al análisis complejo . Introdujo la notación científica. Descubrió lo que ahora se conoce como la fórmula de Euler , que para cualquier número real , la función exponencial compleja satisface
Esta ha sido llamada "la fórmula más notable en matemáticas" por Richard Feynman . [3] La identidad de Euler es un caso especial de esto:
Esta identidad es particularmente notable ya que involucra e ,, i , 1 y 0, posiblemente las cinco constantes más importantes en matemáticas.
Análisis
El desarrollo del cálculo estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoullis, amigos de la familia de Euler, fueron responsables de gran parte de los primeros avances en este campo. Comprender el infinito fue el foco principal de la investigación de Euler. Si bien algunas de las pruebas de Euler pueden no haber sido aceptables bajo los estándares modernos de rigor , sus ideas fueron responsables de muchos grandes avances. En primer lugar, Euler introdujo el concepto de función e introdujo el uso de la función exponencial y los logaritmos en las demostraciones analíticas.
Euler utilizó con frecuencia las funciones logarítmicas como herramienta en los problemas de análisis y descubrió nuevas formas de utilizarlas. Descubrió formas de expresar varias funciones logarítmicas en términos de series de potencias y definió con éxito logaritmos para números complejos y negativos, ampliando así en gran medida el alcance donde los logaritmos podrían aplicarse en matemáticas. La mayoría de los investigadores en el campo sostuvieron durante mucho tiempo la opinión de que por cualquier real positivo ya que al usar la propiedad de aditividad de los logaritmos . En una carta de 1747 a Jean Le Rond d'Alembert , Euler definió el logaritmo natural de −1 comoun imaginario puro . [4]
Euler es bien conocido en el análisis por su uso frecuente y desarrollo de series de potencias : es decir, la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, tales como
En particular, Euler descubrió las expansiones en serie de potencias de correo y la tangente inversa función
Su uso de series de potencia le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735: [5]
Además, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentales superiores al introducir la función gamma e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas . También encontró una forma de calcular integrales con límites complejos, presagiando el desarrollo del análisis complejo . Euler inventó el cálculo de variaciones, incluido su resultado más conocido, la ecuación de Euler-Lagrange .
Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números . Al abrir camino para este nuevo campo, Euler creó la teoría de series hipergeométricas , series q , funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas . Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de la serie armónica y utilizó métodos analíticos para comprender la forma en que se distribuyen los números primos . El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema de los números primos . [6]
Teoría de los números
El gran interés de Euler por la teoría de números se remonta a la influencia de su amigo en la Academia de San Peterburg, Christian Goldbach . Gran parte de sus primeros trabajos sobre teoría de números se basó en los trabajos de Pierre de Fermat y desarrolló algunas de las ideas de Fermat.
Un enfoque del trabajo de Euler fue vincular la naturaleza de la distribución principal con las ideas en análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los números primos diverge . Al hacerlo, descubrió una conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos, conocida como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann .
Euler probó las identidades de Newton , el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , e hizo distintas contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange . También inventó la función totient φ (n) que asigna a un entero positivo n el número de enteros positivos menores que n y coprimos an. Utilizando las propiedades de esta función, pudo generalizar el pequeño teorema de Fermat a lo que se conocería como el teorema de Euler . Además, contribuyó significativamente a la comprensión de los números perfectos , que había fascinado a los matemáticos desde Euclides . Euler avanzó hacia el teorema de los números primos y conjeturó la ley de la reciprocidad cuadrática . Los dos conceptos se consideran los teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para Carl Friedrich Gauss . [7]
Teoría de grafos y topología
En 1736 Euler resolvió, o mejor dicho resultó irresoluble, un problema conocido como los siete puentes de Königsberg. [8] La ciudad de Königsberg , Reino de Prusia (ahora Kaliningrado, Rusia) se encuentra en el río Pregel e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. La pregunta es si es posible caminar con una ruta que cruce cada puente exactamente una vez y regresar al punto de partida. La solución de Euler del problema del puente de Königsberg se considera el primer teorema de la teoría de grafos . Además, su reconocimiento de que la información clave era el número de puentes y la lista de sus puntos finales (en lugar de sus posiciones exactas) presagiaba el desarrollo de la topología . [8]
Euler también hizo contribuciones a la comprensión de las gráficas planas . Introdujo una fórmula que gobierna la relación entre el número de aristas, vértices y caras de un poliedro convexo. Dado tal poliedro, la suma alterna de vértices, aristas y caras es igual a una constante: V - E + F = 2. Esta constante, χ, es la característica de Euler del plano. El estudio y generalización de esta ecuación, especialmente por Cauchy [9] y Lhuillier, [10] está en el origen de la topología . La característica de Euler, que puede generalizarse a cualquier espacio topológico como la suma alterna de los números de Betti , surge naturalmente de la homología . En particular, es igual a 2 - 2 g para una superficie orientada cerrada con género gy a 2 - k para una superficie no orientable con k crosscaps. Esta propiedad llevó a la definición de sistemas de rotación en la teoría de grafos topológicos .
Matemáticas Aplicadas
La mayor parte de los mayores éxitos de Euler estaban en la aplicación de métodos analíticos para los problemas del mundo real, que describe numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli , series de Fourier , diagramas de Venn , números de Euler , e y pi constantes, fracciones e integrales continuaron. Integró Leibniz 's cálculo diferencial con la de Newton Método de las fluxiones , y herramientas desarrollados que hicieron más fácil de aplicar el cálculo a problemas físicos. En particular, hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que ahora se conoce como aproximaciones de Euler . Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin . También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales , en particular introduciendo la constante de Euler-Mascheroni :
Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas en la música . En 1739 escribió Tentamen novae theoriae musicae , con la esperanza de integrar eventualmente la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió mucha atención y una vez fue descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. [11]
Obras
Los trabajos que Euler publicó por separado son:
- Dissertatio physica de sono (Disertación sobre la física del sonido) (Basilea, 1727, en cuarto)
- Mechanica, sive motus scientia analytice; expasita (San Petersburgo, 1736, en 2 volúmenes en cuarto)
- Einleitung in die Arithmetik (San Petersburgo, 1738, en 2 vols. Octavo), en alemán y ruso
- Tentamen novae theoriae musicae (San Petersburgo, 1739, en cuarto)
- Methodus inveniendi lineas curvas, maximi minimive ownertate gaudentes (Lausana, 1744, en cuarto)
- Additamentum II ( traducción al inglés )
- Theoria motuum planetarum et cometarum (Berlín, 1744, en cuarto)
- Beantwortung, & c. o Respuestas a diferentes preguntas sobre los cometas (Berlín, 1744, en octavo)
- Neue Grundsatze, & c. o Nuevos principios de artillería, traducido del inglés de Benjamin Robins, con notas e ilustraciones (Berlín, 1745, en octavo)
- Opuscula varii argumenti (Berlín, 1746-1751, en 3 vols. Quarto)
- Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda (Berlín, 1746, en cuarto)
- Tabulae astronomicae solis et lunae (Berlín, en cuarto)
- Gedanken y c. o Pensamientos sobre los elementos de los cuerpos (Berlín, en cuarto)
- Rettung der gall-liquen Offenbarung, & c. , Defensa de la Revelación Divina contra los librepensadores (Berlín, 1747, en cuarto)
- Introductio in analysin infinitorum (Introducción al análisis de los infinitos) (Lausana, 1748, en 2 vols. Quarto)
- Introducción al análisis del infinito, transl. J. Blanton (Nueva York, 1988-1990 en 2 vols.)
- Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus (San Petersburgo, 1749, en 2 volúmenes en cuarto)
- Una teoría completa de la construcción y propiedades de los barcos, con conclusiones prácticas para la gestión de los barcos, facilitada a los navegantes. Traducido de Théorie complette de la construction et de la maniouver des vaissaux, del célebre Leonard Euler, por Hen Watson, Esq. Cornihill, 1790)
- Exposé concernnant l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (1752, su traducción al inglés )
- Theoria motus lunae (Berlín, 1753, en cuarto)
- Dissertatio de principio mininiae actionis, una cum examine objectionum cl. profe. Koenigii (Berlín, 1753, en octavo)
- Institutiones calculi differentialis, cum ejus usu in analysi Intuitorum ac doctrina serierum (Berlín, 1755, en cuarto)
- Constructio lentium objectivarum, etc. (San Petersburgo, 1762, en cuarto)
- Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Rostock, 1765, en cuarto)
- Institutiones, calculi integralis (San Petersburgo, 1768-1770, en 3 vols. Cuarto)
- Lettres a une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de physique et de philosophie (San Petersburgo, 1768-1772, en 3 vols. Octavo)
- Cartas de Euler a una princesa alemana sobre diferentes temas de física y filosofía (Londres, 1795, en 2 vols.)
- Anleitung zur Algebra Elements of Algebra (San Petersburgo, 1770, en octavo); Dioptrica (San Petersburgo, 1767-1771, en 3 volúmenes en cuarto)
- Theoria motuum lunge nova methodo pertr. arctata '(San Petersburgo, 1772, en cuarto)
- Novae tabulae lunares (San Petersburgo, en octavo); La théorie complete de la construction et de la manteuvre des vaisseaux (San Petersburgo, 1773, en octavo).
- Eclaircissements svr etablissements en favor taut des veuves que des marts , sin fecha
- Opuscula analytica (San Petersburgo, 1783-1785, en 2 volúmenes en cuarto). Véase F. Rudio , Leonhard Euler (Basilea, 1884).
- y Christian Goldbach, Leonhard Euler und Christian Goldbach, Briefwechsel, 1729-1764. AP Juskevic und E. Winter. [Übersetzungen aus dem Russischen und redaktionelle Bearbeitung der Ausgabe: P. Hoffmann] (Berlín: Akademie-Verlag, 1965) ..
Ver también
- Lista de cosas que llevan el nombre de Leonhard Euler
Referencias
- ^ Wolfram, Stephen. "Notación matemática: pasado y futuro" . Consultado en agosto de 2006 . Verifique los valores de fecha en:
|accessdate=
( ayuda ) - ^ "Euler, Leonhard (1707-1783)" . Consultado en abril de 2007 . Verifique los valores de fecha en:
|accessdate=
( ayuda ) - ^ Feynman, Richard (junio de 1970). "Capítulo 22: Álgebra". The Feynman Lectures on Physics: Volumen I . pag. 10.
- ^ Boyer, Carl B .; Uta C. Merzbach (1991). Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos . págs. 439–445 . ISBN 0-471-54397-7.
- ^ Wanner, Gerhard; Harrier, Ernst (marzo de 2005). Análisis por su historia (1ª ed.). Saltador. pag. 62.
- ^ Dunham, William (1999). "3,4" . Euler: el amo de todos nosotros . La Asociación Matemática de América.
- ^ Dunham, William (1999). "1,4" . Euler: el amo de todos nosotros . La Asociación Matemática de América.
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- ^ Ronald Calinger (1996). "Leonhard Euler: los primeros años de San Petersburgo (1727-1741)" . Historia Mathematica . 23 (2): 144-145. doi : 10.1006 / hmat.1996.0015 .