En matemáticas , la terminación ind o construcción ind es el proceso de agregar libremente colimits filtrados a una categoría C dada . Los objetos en esta categoría ind-completado, denotado Ind ( C ), se conocen como sistemas directos , que son funtores de un pequeño categoría filtrada I a C .
El concepto dual es el pro-finalización, Pro ( C ).
Definiciones
Categorías filtradas
Los sistemas directos dependen de la noción de categorías filtradas . Por ejemplo, la categoría N , cuyos objetos son números naturales , y con exactamente un morfismo de n a m siempre que, es una categoría filtrada.
Sistemas directos
Un sistema directo o un objeto ind en una categoría C se define como un funtor
de una pequeña categoría filtrada I a C . Por ejemplo, si I es la categoría N mencionada anteriormente, este dato es equivalente a una secuencia
de objetos en C junto con morfismos como se muestra.
La ind-terminación
Ind-objetos en C forman una categoría IND- C , y pro-objetos forman una categoría pro- C . La definición de pro C se debe a Grothendieck (1960) . [1]
Dos objetos ind
y
determinar un funtor
- Yo op x Jconjuntos ,
es decir, el functor
El conjunto de morfismos entre F y G en Ind ( C ) se define como el colimit de este funtor en la segunda variable, seguido del límite en la primera variable:
De manera más coloquial, esto significa que un morfismo consiste en una colección de mapas para cada i , dondees (dependiendo de i ) lo suficientemente grande.
Relación entre C e Ind ( C )
La categoría final I = {*} que consta de un solo objeto * y solo su morfismo de identidad es un ejemplo de una categoría filtrada. En particular, cualquier objeto X en C da lugar a un funtor
y por tanto a un funtor
Este functor es, como consecuencia directa de las definiciones, plenamente fiel. Por lo tanto Ind ( C ) puede ser considerada como una categoría más grande que C .
Por el contrario, en general no es necesario que haya un funtor natural
Sin embargo, si C posee todos los colimits filtrados (también conocidos como límites directos), entonces envía un objeto ind(para alguna categoría filtrada I ) a su colimit
da tal funtor, que sin embargo no es en general una equivalencia. Por lo tanto, incluso si C ya tiene todos colímites filtrados, Ind ( C ) es una categoría estrictamente mayor que C .
Los objetos en Ind ( C ) se pueden considerar como límites directos formales, de modo que algunos autores también denotan tales objetos por
Esta notación se debe a Pierre Deligne . [2]
Propiedad universal de la ind-terminación
El paso de una categoría C a Ind ( C ) equivale a agregar libremente colimits filtrados a la categoría. Esta es la razón por la construcción también se conoce como el ind-finalización de C . Esto se precisa mediante la siguiente afirmación: cualquier funtortomar valores en una categoría D que tiene todos los colimits filtrados se extiende a un functorque está determinado únicamente por los requisitos de que su valor en C es el funtor original F y que conserva todos los colimits filtrados.
Propiedades básicas de las categorías ind
Objetos compactos
Esencialmente por diseño de los morfismos en Ind ( C ), cualquier objeto X de C es compacto cuando se lo considera un objeto de Ind ( C ), es decir, el functor corepresentable
conserva colimits filtrados. Esto es cierto sin importar lo que C o el objeto X es, en contraste con el hecho de que X no tiene que ser compacto en C . A la inversa, cualquier objeto compacto en Ind ( C ) se presenta como la imagen de un objeto en X .
Una categoría C se llama generada de forma compacta, si es equivalente a para alguna pequeña categoría . La finalización de la categoría FinSet de conjuntos finitos es la categoría de todos los conjuntos . De manera similar, si C es la categoría de grupos generados finitamente, ind-C es equivalente a la categoría de todos los grupos.
Reconociendo ind-terminaciones
Estas identificaciones se basan en los siguientes hechos: como se mencionó anteriormente, cualquier functor tomando valores en una categoría D que tiene todos los colimits filtrados, tiene una extensión
que conserva colimits filtrados. Esta extensión es única hasta la equivalencia. Primero, este functores esencialmente sobreyectiva si cualquier objeto en D puede expresarse como colimits filtrados de objetos de la formapara apropiado objetos c en C . Segundo,es totalmente fiel si y sólo si el funtor original de F es totalmente fiel y si F envía objetos arbitrarios en C a compactos objetos en D .
Aplicar estos hechos a, digamos, el functor de inclusión
la equivalencia
expresa el hecho de que cualquier conjunto es el colimit filtrado de conjuntos finitos (por ejemplo, cualquier conjunto es la unión de sus subconjuntos finitos, que es un sistema filtrado) y, además, que cualquier conjunto finito es compacto cuando se considera un objeto de Conjunto .
La pro-finalización
Al igual que otras nociones y construcciones categóricas, la terminación ind admite un dual conocido como procompletación: la categoría Pro ( C ) se define en términos de objeto ind como
Por tanto, los objetos de Pro ( C ) son sistemas inversoso pro-objetos en C . Por definición, estos son sistemas directos en la categoría opuesta. o, de manera equivalente, functors
de una categoría I cofiltrada .
Ejemplos de categorías pro
Si bien Pro ( C ) existe para cualquier categoría C , varios casos especiales son dignos de mención debido a las conexiones con otras nociones matemáticas.
- Si C es la categoría de grupos finitos, entonces pro-C es equivalente a la categoría de grupos profinitos y homomorfismos continuos entre ellos.
- El proceso de dotar a un conjunto preordenado con su topología Alexandrov produce una equivalencia de la pro-categoría de conjuntos preordenados finitos,, con la categoría de espacios topológicos espectrales y morfismos cuasi-compactos.
- Stone duality afirma que la categoría prode la categoría de conjuntos finitos es equivalente a la categoría de espacios de piedra . [3]
La aparición de nociones topológicas en estas pro-categorías se puede rastrear hasta la equivalencia, que es en sí misma un caso especial de dualidad de Stone,
que envía un conjunto finito al conjunto de potencias (considerado como un álgebra booleana finita). La dualidad entre pro e ind-objetos y la descripción conocida de ind-terminaciones también dan lugar a descripciones de ciertas categorías opuestas. Por ejemplo, estas consideraciones pueden usarse para mostrar que la categoría opuesta de la categoría de espacios vectoriales (sobre un campo fijo) es equivalente a la categoría de espacios vectoriales linealmente compactos y mapas lineales continuos entre ellos. [4]
Aplicaciones
Las pro-terminaciones son menos prominentes que las ind-terminaciones, pero las aplicaciones incluyen la teoría de la forma . Los pro-objetos también surgen a través de su conexión con functores pro-representables , por ejemplo en la teoría de Galois de Grothendieck , y también en el criterio de Schlessinger en la teoría de la deformación .
Nociones relacionadas
Los objetos Tate son una mezcla de objetos ind y pro.
Variantes categóricas infinitas
El IND-finalización (y, doblemente, el pro-finalización) se ha extendido a ∞-categorías por Lurie (2009) .
Ver también
- Límite directo
- Límite directo # Sistema directo
- Límite inverso : generalización de productos, retrocesos, intersecciones y otras construcciones
Notas
- ^ CE Aull; R. Lowen (31 de diciembre de 2001). Manual de Historia de la Topología General . Springer Science & Business Media. pag. 1147. ISBN 978-0-7923-6970-7.
- ^ Illusie, Luc, Del jardín secreto de Pierre Deligne: mirando hacia atrás en algunas de sus cartas , Japanese Journal of Mathematics, vol. 10, págs. 237–248 (2015)
- ↑ Johnstone (1982 , §VI.2)
- ^ Bergman y Hausknecht (1996 , Prop. 24.8)
Referencias
- Bergman; Hausknecht (1996), Cogrupos y Co-anillos en Categorías de Anillos Asociativos , Encuestas y Monografías Matemáticas, 45 , doi : 10.1090 / surv / 045 , ISBN 9780821804957
- Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de las matemáticas. Teoría de conjuntos , traducción del francés, París: Hermann, MR 0237342.
- Grothendieck, Alexander (1960), "Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules" , Séminaire Bourbaki: années 1958/59 - 1959/60, exposés 169-204 (en francés), Sociétée mathématique de France, págs. 369–390, MR 1603480 , Zbl 0234.14007
- "Sistema (en una categoría)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Johnstone, Peter T. (1982), Stone Spaces , ISBN 0521337798
- Lurie, Jacob (2009), Teoría de topos superiores , Annals of Mathematics Studies, 170 , Princeton University Press , arXiv : math.CT / 0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659
- Segal, Jack; Mardešić, Sibe (1982), Teoría de formas , Biblioteca matemática de Holanda Septentrional, 26 , Amsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-86286-0