En matemáticas, específicamente la geometría algebraica , teoría Donaldson-Thomas es la teoría de invariantes Donaldson-Thomas . Dado un espacio de módulos compacto de haces en un triple Calabi-Yau , su invariante Donaldson-Thomas es el número virtual de sus puntos, es decir, la integral de la clase de cohomología 1 contra la clase fundamental virtual . El invariante de Donaldson-Thomas es un análogo holomórfico del invariante de Casson . Los invariantes fueron introducidos por Simon Donaldson y Richard Thomas ( 1998). Los invariantes de Donaldson-Thomas tienen conexiones cercanas con los invariantes de Gromov-Witten de los tres pliegues algebraicos y la teoría de pares estables debido a Rahul Pandharipande y Thomas.
La teoría de Donaldson-Thomas está motivada físicamente por ciertos estados de BPS que ocurren en la teoría de cuerdas y calibres . [ aclaración necesaria ]
Definición y ejemplos
La idea básica de las invariantes de Gromov-Witten es probar la geometría de un espacio mediante el estudio de mapas pseudoholomórficos desde las superficies de Riemann hasta un objetivo uniforme. La pila de módulos de todos estos mapas admite una clase fundamental virtual, y la teoría de la intersección en esta pila produce invariantes numéricos que a menudo pueden contener información enumerativa. En un espíritu similar, el enfoque de la teoría de Donaldson-Thomas es estudiar las curvas en un triple algebraico mediante sus ecuaciones. Más exactamente, estudiando las poleas ideales en un espacio. Este espacio de módulos también admite una clase fundamental virtual y produce ciertos invariantes numéricos que son enumerativos.
Mientras que en la teoría de Gromov-Witten, los mapas pueden ser cubiertas múltiples y componentes colapsados de la curva de dominio, la teoría de Donaldson-Thomas permite información nilpotente contenida en las gavillas, sin embargo, estos son invariantes con valores enteros. Hay conjeturas profundas debidas a Davesh Maulik , Andrei Okounkov , Nikita Nekrasov y Rahul Pandharipande , demostradas cada vez con mayor generalidad, que las teorías de Gromov-Witten y Donaldson-Thomas sobre los tres pliegues algebraicos son en realidad equivalentes. [1] Más concretamente, sus funciones generadoras son iguales después de un cambio apropiado de variables. Para los triples de Calabi-Yau, las invariantes de Donaldson-Thomas se pueden formular como característica de Euler ponderada en el espacio de módulos. También ha habido conexiones recientes entre estos invariantes, el álgebra de Hall motívica y el anillo de funciones en el toro cuántico. [ aclaración necesaria ]
- El espacio de módulos de líneas en el triple quíntico es un conjunto discreto de 2875 puntos. El número virtual de puntos es el número real de puntos y, por lo tanto, el invariante de Donaldson-Thomas de este espacio de módulos es el entero 2875.
- De manera similar, el invariante de Donaldson-Thomas del espacio de módulos de las cónicas en la quintica es 609250.
Hechos
- La invariante Donaldson-Thomas del espacio de los módulos M es igual a la ponderado característica de Euler de M . La función de ponderación asocia a cada punto de M un análogo del número de Milnor de una singularidad de hiperplano.
Generalizaciones
- En lugar de espacios de módulos de haces, se consideran espacios de módulos de objetos de categorías derivadas . Eso da las invariantes Pandharipande-Thomas que cuentan los pares estables de un Calabi-Yau 3 veces.
- En lugar de invariantes con valores enteros, se consideran invariantes motívicas .
Ver también
Referencias
- ^ Maulik, D .; Nekrasov, N .; Okounkov, A .; Pandharipande, R. (2006). "Teoría de Gromov-Witten y teoría de Donaldson-Thomas, yo". Compositio Mathematica . 142 (5): 1263-1285. arXiv : matemáticas / 0312059 . doi : 10.1112 / S0010437X06002302 .
- Donaldson, Simon K .; Thomas, Richard P. (1998), "Teoría del calibre en dimensiones superiores", en Huggett, SA; Mason, LJ; Tod, KP; Tsou, ST; Woodhouse, NMJ (eds.), El universo geométrico (Oxford, 1996) , Oxford University Press , págs. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9, MR 1634503
- Kontsevich, Maxim (2007), invariantes de Donaldson-Thomas (PDF) , Mathematische Arbeitstagung, Bonn