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Un ejemplo de "belleza en el método": un descriptor visual simple y elegante del teorema de Pitágoras .

La belleza matemática es el placer estético típicamente derivado de la abstracción, pureza, simplicidad, profundidad u orden de las matemáticas . [1] Los matemáticos a menudo expresan este placer describiendo las matemáticas (o, al menos, algún aspecto de las matemáticas) como bellas . También podrían describir las matemáticas como una forma de arte (por ejemplo, una posición adoptada por GH Hardy [2] ) o, como mínimo, como una actividad creativa . A menudo se hacen comparaciones con música y poesía.

Bertrand Russell expresó su sentido de la belleza matemática con estas palabras:

Las matemáticas, vistas correctamente, poseen no sólo la verdad, sino una belleza suprema, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los hermosos adornos de la pintura o la música, pero sublimemente pura y capaz. de una perfección severa como sólo el arte más grande puede mostrar. El verdadero espíritu de deleite, la exaltación, el sentido de ser más que Hombre, que es la piedra de toque de la más alta excelencia, se encuentra en las matemáticas con tanta seguridad como en la poesía. [3]

Paul Erdős expresó sus puntos de vista sobre la inefabilidad de las matemáticas cuando dijo: "¿Por qué son hermosos los números? Es como preguntar por qué es hermosa la Novena Sinfonía de Beethoven . Si no ves por qué, alguien no puede decírtelo. Sé que los números son hermosos . Si no son bonitos, nada lo es ". [4]

Belleza en el método

Los matemáticos describen un método de prueba especialmente agradable como elegante . Dependiendo del contexto, esto puede significar:

  • Una prueba que utiliza un mínimo de supuestos adicionales o resultados previos.
  • Una prueba inusualmente sucinta.
  • Una prueba que deriva un resultado de una manera sorprendente (por ejemplo, de un teorema aparentemente no relacionado o una colección de teoremas).
  • Una prueba que se basa en conocimientos nuevos y originales.
  • Un método de prueba que se puede generalizar fácilmente para resolver una familia de problemas similares.

En la búsqueda de una prueba elegante, los matemáticos a menudo buscan diferentes formas independientes de probar un resultado, ya que la primera prueba que se encuentra a menudo puede mejorarse. El teorema para el que se ha descubierto el mayor número de pruebas diferentes es posiblemente el teorema de Pitágoras , con cientos de pruebas publicadas hasta la fecha. [5] Otro teorema que se ha demostrado de muchas formas diferentes es el teorema de la reciprocidad cuadrática . De hecho, Carl Friedrich Gauss solo tenía ocho pruebas diferentes de este teorema, seis de las cuales publicó. [6]

Por el contrario, los resultados que son lógicamente correctos pero implican cálculos laboriosos, métodos demasiado elaborados, enfoques muy convencionales o una gran cantidad de axiomas poderosos o resultados previos generalmente no se consideran elegantes, e incluso pueden denominarse feos o torpes .

Belleza en los resultados

Comenzando en e 0 = 1, viajando a la velocidad i relativa a la posición de uno durante el período de tiempo π, y sumando 1, se llega a 0. (El diagrama es un diagrama de Argand ).

Algunos matemáticos ven belleza en los resultados matemáticos que establecen conexiones entre dos áreas de las matemáticas que a primera vista parecen no estar relacionadas. [7] Estos resultados a menudo se describen como profundos . Si bien es difícil encontrar un acuerdo universal sobre si un resultado es profundo, algunos ejemplos se citan con más frecuencia que otros. Un ejemplo es la identidad de Euler : [8]

La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler , que el físico Richard Feynman llamó "nuestra joya" y "la fórmula más notable de las matemáticas". [9] Los ejemplos modernos incluyen el teorema de la modularidad , que establece una conexión importante entre las curvas elípticas y las formas modulares (cuyo trabajo condujo a la concesión del Premio Wolf a Andrew Wiles y Robert Langlands ), y la " luz de la luna monstruosa ", que conecta el Grupo de monstruos a funciones modulares a través de la teoría de cuerdas (para las cualesRichard Borcherds recibió la medalla Fields ).

Otros ejemplos de resultados profundos incluyen conocimientos inesperados sobre estructuras matemáticas. Por ejemplo, el Teorema Egregium de Gauss es un teorema profundo que relaciona un fenómeno local ( curvatura ) con un fenómeno global ( área ) de una manera sorprendente. En particular, el área de un triángulo en una superficie curva es proporcional al exceso del triángulo y la proporcionalidad es la curvatura. Otro ejemplo es el teorema fundamental del cálculo [10] (y sus versiones vector que incluye el teorema de Green y el teorema de Stokes ).

Lo contrario de profundo es trivial . Un teorema trivial puede ser un resultado que se puede derivar de una manera obvia y directa de otros resultados conocidos, o que se aplica solo a un conjunto específico de objetos particulares, como el conjunto vacío . En algunas ocasiones, sin embargo, el enunciado de un teorema puede ser lo suficientemente original como para ser considerado profundo, aunque su demostración sea bastante obvia.

En su Apología de un matemático , Hardy sugiere que una hermosa prueba o resultado posee "inevitabilidad", "inesperado" y "economía". [11]

Rota , sin embargo, no está de acuerdo con lo inesperado como condición necesaria para la belleza y propone un contraejemplo:

Una gran cantidad de teoremas de las matemáticas, cuando se publicaron por primera vez, parecen ser sorprendentes; así, por ejemplo, hace unos veinte años [desde 1977] se pensó que era sorprendente la prueba de la existencia de estructuras diferenciables no equivalentes en esferas de alta dimensión, pero a nadie se le ocurrió llamar bello a tal hecho, entonces o ahora . [12]

En contraste, Monastyrsky escribe:

Es muy difícil encontrar una invención análoga en el pasado a la hermosa construcción de Milnor de las diferentes estructuras diferenciales en la esfera de siete dimensiones ... La prueba original de Milnor no fue muy constructiva, pero más tarde E. Briscorn demostró que estas Las estructuras diferenciales pueden describirse de una forma extremadamente explícita y hermosa. [13]

Este desacuerdo ilustra tanto la naturaleza subjetiva de la belleza matemática como su conexión con los resultados matemáticos: en este caso, no solo la existencia de esferas exóticas, sino también una realización particular de las mismas.

Belleza en la experiencia

Se ha atribuido una "belleza fría y austera" al compuesto de cinco cubos

El interés por las matemáticas puras que está separado del estudio empírico ha sido parte de la experiencia de varias civilizaciones , incluida la de los antiguos griegos , que "hicieron matemáticas por su belleza". [14] El placer estético que los físicos matemáticos tienden a experimentar en la teoría de la relatividad general de Einstein ha sido atribuido (por Paul Dirac , entre otros) a su "gran belleza matemática". [15] La belleza de las matemáticas se experimenta cuando la realidad física de los objetos se representa mediante modelos matemáticos . Teoría de grupos, desarrollado a principios del siglo XIX con el único propósito de resolver ecuaciones polinomiales , se convirtió en una forma fructífera de categorizar partículas elementales , los componentes básicos de la materia. De manera similar, el estudio de los nudos proporciona importantes conocimientos sobre la teoría de cuerdas y la gravedad cuántica de bucles .

Algunos creen que para apreciar las matemáticas, uno debe dedicarse a hacer matemáticas. [16] Por ejemplo, Math Circle es un programa de enriquecimiento extracurricular en el que los estudiantes hacen matemáticas a través de juegos y actividades; También hay algunos profesores que fomentan la participación de los estudiantes al enseñar matemáticas de forma cinestésica (ver aprendizaje cinestésico ).

En una lección general de Math Circle, los estudiantes utilizan la búsqueda, observación y exploración de patrones para hacer sus propios descubrimientos matemáticos. Por ejemplo, la belleza matemática surge en una actividad de Círculo de Matemáticas sobre simetría diseñada para estudiantes de segundo y tercer grado, donde los estudiantes crean sus propios copos de nieve doblando una hoja de papel cuadrada y recortando diseños de su elección a lo largo de los bordes del papel doblado. Cuando se desdobla el papel, se revela un diseño simétrico. En una clase diaria de matemáticas de la escuela primaria, la simetría se puede presentar como tal de una manera artística donde los estudiantes ven resultados estéticamente agradables en matemáticas.

Algunos profesores prefieren utilizar manipuladores matemáticos para presentar las matemáticas de una manera estéticamente agradable. Ejemplos de manipuladores incluyen fichas de álgebra , barras de cocina y bloques de patrones . Por ejemplo, se puede enseñar el método de completar el cuadrado usando fichas de álgebra. Las varillas de Cuisenaire se pueden usar para enseñar fracciones y los bloques de patrón se pueden usar para enseñar geometría. El uso de manipuladores matemáticos ayuda a los estudiantes a obtener una comprensión conceptual que podría no verse de inmediato en las fórmulas matemáticas escritas. [17]

Otro ejemplo de belleza en la experiencia implica el uso de origami . Origami, el arte de doblar papel, tiene cualidades estéticas y muchas conexiones matemáticas. Uno puede estudiar las matemáticas del plegado de papel observando el patrón de pliegue en piezas de origami desplegadas. [18]

La combinatoria , el estudio del conteo, tiene representaciones artísticas que algunos encuentran matemáticamente hermosas. [19] Hay muchos ejemplos visuales que ilustran conceptos combinatorios. Algunos de los temas y objetos vistos en los cursos de combinatoria con representaciones visuales incluyen, entre otros:

  • Teorema de los cuatro colores
  • Tableau joven
  • Permutoedro
  • Teoría de grafos
  • Partición de un conjunto

Belleza y filosofía

Algunos matemáticos opinan que hacer matemáticas está más cerca del descubrimiento que de la invención, por ejemplo:

No hay ningún descubridor científico, ni poeta, ni pintor, ni músico, que no le diga que encontró listo su descubrimiento, poema o cuadro, que le llegó desde afuera y que no lo creó conscientemente desde adentro. .

-  William Kingdon Clifford , de una conferencia en la Royal Institution titulada "Algunas de las condiciones del desarrollo mental"

Estos matemáticos creen que los resultados detallados y precisos de las matemáticas pueden razonablemente tomarse como verdaderos sin ninguna dependencia del universo en el que vivimos. Por ejemplo, argumentarían que la teoría de los números naturales es fundamentalmente válida, de una manera que no requiere ningún contexto específico. Algunos matemáticos han extrapolado aún más este punto de vista de que la belleza matemática es verdad, y en algunos casos se ha convertido en misticismo .

En la filosofía de Platón había dos mundos, el físico en el que vivimos y otro mundo abstracto que contenía una verdad inmutable, incluidas las matemáticas. Creía que el mundo físico era un mero reflejo del mundo abstracto más perfecto. [20]

El matemático húngaro Paul Erdős [21] habló de un libro imaginario, en el que Dios ha escrito todas las pruebas matemáticas más hermosas. Cuando Erdős quería expresar un aprecio particular por una prueba, exclamaba "¡Esta es del Libro!"

El filósofo francés del siglo XX Alain Badiou afirma que la ontología es matemática. [22] Badiou también cree en conexiones profundas entre matemáticas, poesía y filosofía.

En algunos casos, los filósofos naturales y otros científicos que han hecho un uso extensivo de las matemáticas han hecho saltos de inferencia entre la belleza y la verdad física en formas que resultaron ser erróneas. Por ejemplo, en una etapa de su vida, Johannes Kepler creía que Dios había dispuesto las proporciones de las órbitas de los planetas del Sistema Solar conocidos en ese momento para corresponder a una disposición concéntrica de los cinco sólidos platónicos , cada una de las cuales se encuentra en la circunsfera de un poliedro y la insferade otro. Como hay exactamente cinco sólidos platónicos, la hipótesis de Kepler solo podía acomodar seis órbitas planetarias y fue refutada por el posterior descubrimiento de Urano .

Teoría de la belleza y la información matemática

En la década de 1970, Abraham Moles y Frieder Nake analizaron los vínculos entre la belleza, el procesamiento de la información y la teoría de la información . [23] [24] En la década de 1990, Jürgen Schmidhuber formuló una teoría matemática de la belleza subjetiva dependiente del observador basada en la teoría de la información algorítmica : los objetos más bellos entre los objetos comparables subjetivamente tienen descripciones algorítmicas breves (es decir, complejidad de Kolmogorov ) en relación con lo que el el observador ya lo sabe. [25] [26] [27]Schmidhuber distingue explícitamente entre bello e interesante. Este último corresponde a la primera derivada de la belleza percibida subjetivamente: el observador trata continuamente de mejorar la predictibilidad y compresibilidad de las observaciones descubriendo regularidades como repeticiones y simetrías y auto-semejanza fractal . Siempre que el proceso de aprendizaje del observador (posiblemente una red neuronal artificial predictiva ) conduzca a una compresión de datos mejorada, de modo que la secuencia de observación pueda describirse con menos bits.que antes, el interés temporal de los datos corresponde al progreso de la compresión y es proporcional a la recompensa de la curiosidad interna del observador. [28] [29]

Matemáticas y artes

Música

Ejemplos del uso de las matemáticas en la música incluyen la música estocástica de Iannis Xenakis , Fibonacci en la herramienta 's Lateralus , contrapunto de Johann Sebastian Bach , polirrítmicas estructuras (como en Igor Stravinsky ' s el rito del resorte ), la modulación métrica de Elliott Carter , la teoría de la permutación en el serialismo a partir de Arnold Schoenberg , y la aplicación de los tonos de Shepard en el Hymnen de Karlheinz Stockhausen .

Artes visuales

Diagrama de Della Pittura de 1435 de Leon Battista Alberti , con pilares en perspectiva sobre una cuadrícula

Ejemplos del uso de las matemáticas en las artes visuales incluyen aplicaciones de la teoría del caos y la geometría fractal al arte generado por computadora , estudios de simetría de Leonardo da Vinci , geometrías proyectivas en el desarrollo de la teoría de la perspectiva del arte renacentista , cuadrículas en op art , geometría óptica en la cámara oscura de Giambattista della Porta , y perspectivas múltiples en el cubismo analítico y el futurismo .

El diseñador gráfico holandés MC Escher creó xilografías , litografías y mezzotints de inspiración matemática . Estos presentan construcciones imposibles, exploraciones del infinito , arquitectura , paradojas visuales y teselaciones . El artista construccionista británico John Ernest creó relieves y pinturas inspirados en la teoría de grupos. [30] Varios otros artistas británicos de las escuelas de pensamiento construccionista y de sistemas también se basan en modelos y estructuras matemáticas como fuente de inspiración, incluidos Anthony Hill y Peter Lowe .[31] El arte generado por computadora se basa en algoritmos matemáticos.

Ver también

  • Argumento de la belleza
  • Autómata celular
  • Ciencia descriptiva
  • Fluidez heurística
  • Proporción áurea
  • Matemáticas y arquitectura
  • Neuroestética
  • Ciencia normativa
  • Filosofía de las matemáticas
  • Procesamiento de la teoría de la fluidez del placer estético
  • Pitagorismo
  • Teoria de todo

Notas

  1. ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - belleza" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 31 de octubre de 2019 .
  2. ^ "Citas de Hardy" . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Consultado el 31 de octubre de 2019 .
  3. ^ Russell, Bertrand (1919). "El estudio de las matemáticas". Misticismo y lógica: y otros ensayos . Longman . pag. 60 . Consultado el 22 de agosto de 2008 . Las matemáticas consideradas correctamente poseen no sólo la verdad sino la belleza suprema, una belleza fría y austera como la de la escultura sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil sin los hermosos adornos de Russell.
  4. ^ Devlin, Keith (2000). "¿Los matemáticos tienen cerebros diferentes?". El gen matemático: cómo evolucionó el pensamiento matemático y por qué los números son como chismes . Libros básicos . pag. 140 . ISBN 978-0-465-01619-8. Consultado el 22 de agosto de 2008 .
  5. ^ Elisha Scott Loomis publicó más de 360 ​​pruebas en su libro Proposición de Pitágoras ( ISBN 0-873-53036-5 ). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Teorema de reciprocidad cuadrática" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de octubre de 2019 .
  7. ^ Rota (1997) , p. 173.
  8. ^ Gallagher, James (13 de febrero de 2014). "Matemáticas: por qué el cerebro ve las matemáticas como una belleza" . BBC News en línea . Consultado el 13 de febrero de 2014 .
  9. ^ Feynman, Richard P. (1977). Las Conferencias Feynman de Física . Yo . Addison-Wesley. págs. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Teoremas fundamentales del cálculo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de octubre de 2019 .
  11. ^ Hardy, GH "18". La disculpa de un matemático .
  12. ^ Rota (1997) , p. 172.
  13. ^ Monastyrsky (2001), Algunas tendencias en matemáticas modernas y la medalla Fields
  14. ^ Lang, pág. 3
  15. ^ Chandrasekhar, pág. 148
  16. ^ Phillips, George (2005). "Prefacio" . Las matemáticas no son un deporte para espectadores . Springer Science + Business Media . ISBN 0-387-25528-1. Consultado el 22 de agosto de 2008 . "... no hay nada en el mundo de las matemáticas que corresponda a una audiencia en una sala de conciertos, donde los pasivos escuchan a los activos. Felizmente, los matemáticos son todos hacedores , no espectadores.
  17. ^ Sowell, E (1989). "Efectos de los materiales manipuladores en la enseñanza de las matemáticas". Revista de Investigación en Educación Matemática . 20 (5): 498–505. doi : 10.2307 / 749423 . JSTOR 749423 . 
  18. ^ Casco, Thomas. "Proyecto Origami: actividades para explorar las matemáticas". Taylor y Francis, 2006.
  19. ^ Brualdi, Richard. "Introducción a la combinatoria". Pearson, 2009.
  20. ↑ Linnebo, Øystein (2018), "Platonism in the Philosophy of Mathematics" , en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ed. De primavera de 2018), Laboratorio de investigación de metafísica, Universidad de Stanford , obtenido en 2019- 10-31
  21. ^ Schechter, Bruce (2000). Mi cerebro está abierto: los viajes matemáticos de Paul Erdős . Nueva York: Simon & Schuster . págs. 70–71. ISBN 0-684-85980-7.
  22. ^ "Alain Badiou: ontología y estructuralismo" . Revista Ceasefire . 2014-04-02 . Consultado el 31 de octubre de 2019 .
  23. ^ A. Moles: Théorie de l'information et percepción estética , París, Denoël, 1973 ( Teoría de la información y percepción estética)
  24. ^ F Nake (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. ( Estética como tratamiento de la información). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Springer, 1974, ISBN 3-211-81216-4 , ISBN 978-3-211-81216-7  
  25. ^ J. Schmidhuber. Arte de baja complejidad . Leonardo , Revista de la Sociedad Internacional de Artes, Ciencias y Tecnología ( Leonardo / ISAST ), 30 (2): 97–103, 1997. doi : 10.2307 / 1576418 . JSTOR  1576418 .
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  27. ^ J. Schmidhuber. Principios algorítmicos simples de descubrimiento, belleza subjetiva, atención selectiva, curiosidad y creatividad. Proc. Décimo Intl. Conf. en Discovery Science (DS 2007) págs. 26–38, LNAI 4755, Springer, 2007. También en Proc. 18. Internacional Conf. sobre teoría algorítmica del aprendizaje (ALT 2007) p. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Conferencia invitada conjunta para DS 2007 y ALT 2007, Sendai, Japón, 2007. arXiv : 0709.0674 .
  28. ^ .J. Schmidhuber. Curiosos sistemas de control de construcción de modelos. Conferencia conjunta internacional sobre redes neuronales, Singapur, vol 2, 1458–1463. Prensa IEEE, 1991
  29. ^ Teoría de la belleza y la curiosidad de Schmidhuber en un programa de televisión alemán: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml Archivado el 3 de junio de 2008, en la Wayback Machine
  30. ^ El uso de John Ernest de las matemáticas y especialmente la teoría de grupos en sus obras de arte se analiza en John Ernest, A Mathematical Artist de Paul Ernest en Philosophy of Mathematics Education Journal , No. 24 de diciembre de 2009 (Número especial sobre matemáticas y arte): http: //people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm
  31. ↑ Franco, Francesca (5 de octubre de 2017). "El Grupo de Sistemas (Capítulo 2)" . Arte de sistemas generativos: el trabajo de Ernest Edmonds . Routledge. ISBN 9781317137436.

Referencias

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  • Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Verdad y belleza: estética y motivaciones en la ciencia, University of Chicago Press, Chicago, IL.
  • Hadamard, Jacques (1949), La psicología de la invención en el campo matemático, 1ª edición, Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey. 2ª edición, 1949. Reimpreso, Dover Publications, Nueva York, NY, 1954.
  • Hardy, GH (1940), A Mathematician's Apology , primera publicación, 1940. Reimpreso, CP Snow (prólogo), 1967. Reimpreso, Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1992.
  • Hoffman, Paul (1992), El hombre que amaba solo los números , Hyperion.
  • Huntley, HE (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty , Dover Publications, Nueva York, NY.
  • Loomis, Elisha Scott (1968), La propuesta pitagórica , El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. Contiene 365 pruebas del Teorema de Pitágoras.
  • Lang, Serge (1985). La belleza de hacer matemáticas: tres diálogos públicos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6 . 
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  • Reber, R .; Brun, M .; Mitterndorfer, K. (2008). "El uso de la heurística en el juicio matemático intuitivo". Boletín y revisión psiconómica . 15 (6): 1174-1178. doi : 10.3758 / PBR.15.6.1174 . hdl : 1956/2734 . PMID  19001586 . S2CID  5297500 .
  • Strohmeier, John y Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, La vida y las enseñanzas de Pitágoras , Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
  • Rota, Gian-Carlo (1997). "La fenomenología de la belleza matemática". Síntesis . 111 (2): 171–182. doi : 10.1023 / A: 1004930722234 . JSTOR  20117626 . S2CID  44064821 .
  • Monastyrsky, Michael (2001). "Algunas tendencias en matemáticas modernas y la medalla Fields" (PDF) . Poder. Matemáticas. Soc. Notas . 33 (2 y 3).

Lectura adicional

  • Cellucci, Carlo (2015), "Belleza matemática, comprensión y descubrimiento", Foundations of Science , 20 (4): 339–355, doi : 10.1007 / s10699-014-9378-7 , S2CID  120068870
  • Zeki, S .; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014), "La experiencia de la belleza matemática y sus correlatos neurales", Frontiers in Human Neurociencia , 8 : 68, doi : 10.3389 / fnhum.2014.00068 , PMC  3.923.150 , PMID  24592230

Enlaces externos

  • Matemáticas, poesía y belleza
  • ¿Son hermosas las matemáticas?
  • Justin Mullins
  • Edna St. Vincent Millay (poeta): Euclides solo ha mirado la belleza desnuda
  • Terence Tao , ¿Qué son las buenas matemáticas?
  • Blog de Mathbeauty
  • La colección Aesthetic Appeal en Internet Archive
  • A Mathematical Romance Jim Holt Número del 5 de diciembre de 2013 de The New York Review of Books revisión de Love and Math: The Heart of Hidden Reality por Edward Frenkel