En la mecánica orbital kepleriana de dos cuerpos , la ecuación del centro es la diferencia angular entre la posición real de un cuerpo en su órbita elíptica y la posición que ocuparía si su movimiento fuera uniforme, en una órbita circular del mismo período. Se define como la diferencia entre la anomalía verdadera , ν , menos la anomalía media , M , y se expresa típicamente en función de la anomalía media, M , y la excentricidad orbital , e . [1]
Discusión
Desde la antigüedad, el problema de predecir los movimientos de los cuerpos celestes se ha simplificado reduciéndolo a uno de un solo cuerpo en órbita alrededor de otro. Al calcular la posición del cuerpo alrededor de su órbita, a menudo es conveniente comenzar asumiendo un movimiento circular. Esta primera aproximación es entonces simplemente una tasa angular constante multiplicada por una cantidad de tiempo. Hay varios métodos de proceder para corregir la posición circular aproximada a la producida por el movimiento elíptico, muchos de ellos complejos y muchos que involucran la solución de la ecuación de Kepler . Por el contrario, la ecuación del centro es uno de los métodos más fáciles de aplicar.
En casos de excentricidad pequeña , la posición dada por la ecuación del centro puede ser casi tan precisa como cualquier otro método para resolver el problema. Muchas órbitas de interés, como las de los cuerpos del Sistema Solar o de los satélites terrestres artificiales , tienen estas órbitas casi circulares . A medida que la excentricidad aumenta y las órbitas son más elípticas, la precisión de la ecuación disminuye, fallando completamente en los valores más altos, por lo que no se usa para tales órbitas.
La ecuación en su forma moderna se puede truncar en cualquier nivel arbitrario de precisión, y cuando se limita a los términos más importantes, puede producir una aproximación fácilmente calculada de la posición real cuando la precisión total no es importante. Tales aproximaciones pueden usarse, por ejemplo, como valores iniciales para soluciones iterativas de la ecuación de Kepler , [1] o para calcular tiempos de subida o puesta, que debido a los efectos atmosféricos no pueden predecirse con mucha precisión.
Los antiguos griegos , en particular Hiparco , conocían la ecuación del centro como prostaféresis , aunque su comprensión de la geometría del movimiento de los planetas no era la misma. [2] La palabra ecuación ( latín , aequatio, -onis ) en el sentido actual proviene de la astronomía . Fue especificado y utilizado por Kepler , como la cantidad variable determinada por cálculo que se debe sumar o restar del movimiento medio para obtener el movimiento verdadero. En astronomía, el término ecuación de tiempo tiene un significado similar. [3] La ecuación del centro en forma moderna se desarrolló como parte del análisis de perturbaciones , es decir, el estudio de los efectos de un tercer cuerpo en el movimiento de dos cuerpos . [4] [5]
Expansión de la serie
En el movimiento keplerio, las coordenadas del cuerpo trazan los mismos valores con cada órbita, que es la definición de una función periódica . Tales funciones pueden expresarse como series periódicas de cualquier variable angular continuamente creciente, [6] y la variable de mayor interés es la anomalía media , M . Debido a que aumenta uniformemente con el tiempo, expresar cualquier otra variable como una serie en anomalía media es esencialmente lo mismo que expresarla en términos de tiempo. Debido a que la excentricidad , e , de la órbita es de valor pequeño, los coeficientes de la serie se pueden desarrollar en términos de potencias de e . [5] Tenga en cuenta que, si bien estas series se pueden presentar en forma truncada, representan una suma de un número infinito de términos. [7]
La serie de ν , la anomalía verdadera puede expresarse más convenientemente en términos de M , e y funciones de Bessel de primera especie, [8]
dónde
- son las funciones de Bessel y
- [9]
El resultado está en radianes .
Las funciones de Bessel se pueden expandir en potencias de x por, [10]
y β m por, [11]
Sustituyendo y reduciendo, la ecuación para ν se convierte en (truncada en el orden e 7 ), [8]
y por la definición, moviendo M hacia el lado izquierdo,
da la ecuación del centro.
Esta ecuación a veces se deriva de forma alternativa y se presenta en términos de potencias de e con coeficientes en funciones de sen M (truncado en el orden e 6 ),
que es idéntico al formulario anterior. [12] [13]
Para e pequeño , la serie converge rápidamente. Si e excede 0,6627 ..., diverge para algunos valores de M , descubierto por primera vez por Pierre-Simon Laplace . [12] [14]
Ejemplos de
excentricidad orbital [15] | ecuación máxima del centro (serie truncada como se muestra) | |||
e 7 | e 3 | e 2 | ||
Venus | 0,006777 | 0,7766 ° | 0,7766 ° | 0,7766 ° |
tierra | 0.01671 | 1.915 ° | 1.915 ° | 1.915 ° |
Saturno | 0.05386 | 6.174 ° | 6.174 ° | 6.186 ° |
Marte | 0.09339 | 10,71 ° | 10,71 ° | 10,77 ° |
Mercurio | 0,2056 | 23,68 ° | 23,77 ° | 23,28 ° |
Ver también
- Mecánica celeste
- Problema gravitacional de dos cuerpos
- Órbita de Kepler
- Problema de Kepler
- Problema de dos cuerpos
Referencias
- ↑ a b Vallado, David A. (2001). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones (segunda ed.). Microcosm Press, El Segundo, CA. pag. 82. ISBN 1-881883-12-4.
- ^ Narrien, John (1833). Un relato histórico del origen y progreso de la astronomía . Baldwin y Cradock, Londres. págs. 230 –231.
- ^ Capderou, Michel (2005). Órbitas y misiones de satélites . Springer-Verlag . pag. 23 . ISBN 978-2-287-21317-5.
- ^ Moulton, Forest Ray (1914). Una introducción a la mecánica celeste (segunda edición revisada). Macmillan Co., Nueva York. pag. 165., en libros de Google
- ^ a b Inteligente, WM (1953). Mecánica celeste . Longmans, Green and Co., Londres. pag. 26.
- ^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Métodos de mecánica celeste . Academic Press, Nueva York y Londres. pag. 60 .
- ^ Vallado, David A. (2001). pag. 80
- ^ a b Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). pag. 77.
- ^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). pag. 62.
- ^ Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). pag. 68.
- ^ Inteligente, WM (1953). pag. 32.
- ↑ a b Moulton, Forest Ray (1914). págs. 171-172.
- ^ Danby, JMA (1988). Fundamentos de la mecánica celeste . Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. págs. 199-200. ISBN 0-943396-20-4.
- ^ Plummer, HC (1918). Tratado de introducción a la astronomía dinámica . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 46 –47.
- ^ Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., eds. (2013). Suplemento explicativo del Almanaque astronómico (3ª ed.). Libros de ciencia universitaria, Mill Valley, CA. pag. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.
Otras lecturas
- Marth, A. (1890). Sobre el cálculo de la ecuación del centro en órbitas elípticas de excentricidades moderadas . Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society, vol. 50, pág. 502. Da la ecuación del centro al orden e 10 .
- Morrison, J. (1883). Sobre el cálculo de la anomalía excéntrica, ecuación del vector de centro y radio de un planeta, en términos de anomalía media y excentricidad . Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society, vol. 43, pág. 345. Da la ecuación del centro al orden e 12 .
- Morrison, J. (1883). Errata . Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society, vol. 43, pág. 494.