En matemáticas , una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que está definida por un polinomio lineal en la función desconocida y sus derivadas, que es una ecuación de la forma
donde a 0 ( x ) , ..., a n ( x ) y b ( x ) son funciones diferenciables arbitrarias que no necesitan ser lineales, y y ′, ..., y ( n ) son las derivadas sucesivas de una función desconocida y de la variable x .
Tal ecuación es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (EDP), si la función desconocida depende de varias variables, y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales .
Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales tales que las ecuaciones homogéneas asociadas tengan coeficientes constantes pueden resolverse por cuadratura , lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales . Esto también es cierto para una ecuación lineal de orden uno, con coeficientes no constantes. Una ecuación de orden dos o superior con coeficientes no constantes no puede, en general, ser resuelta por cuadratura. Para el orden dos, el algoritmo de Kovacic permite decidir si existen soluciones en términos de integrales, y computarlas si las hubiera.
Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos se denominan funciones holonómicas . Esta clase de funciones es estable en sumas, productos, diferenciación , integración y contiene muchas funciones habituales y funciones especiales como función exponencial , logaritmo , seno , coseno , funciones trigonométricas inversas , función de error, funciones de Bessel y funciones hipergeométricas.. Su representación por la definición de la ecuación diferencial y las condiciones iniciales permite realizar algorítmicamente (sobre estas funciones) la mayoría de las operaciones de cálculo , como el cálculo de antiderivadas , límites , expansión asintótica y evaluación numérica con cualquier precisión, con un límite de error certificado.
El orden de derivación más alto que aparece en una ecuación diferencial (lineal) es el orden de la ecuación. El término b ( x ) , que no depende de la función desconocida y sus derivadas, a veces se denomina el término constante de la ecuación (por analogía con las ecuaciones algebraicas ), incluso cuando este término es una función no constante. Si el término constante es la función cero , entonces se dice que la ecuación diferencial es homogénea , ya que es un polinomio homogéneoen la función desconocida y sus derivadas. La ecuación que se obtiene reemplazando, en una ecuación diferencial lineal, el término constante por la función cero es la ecuación homogénea asociada . Una ecuación diferencial tiene coeficientes constantes si solo aparecen funciones constantes como coeficientes en la ecuación homogénea asociada.