Los bloques de periodicidad de Fokker son un concepto en la teoría de la afinación que se utiliza para relacionar matemáticamente los intervalos musicales en entonación justa con los de afinación igual . Llevan el nombre de Adriaan Daniël Fokker . Estos se incluyen como el subconjunto principal de lo que Erv Wilson denomina estructuras constantes, donde "cada intervalo ocurre siempre subtendido por el mismo número de pasos". [1]
La idea básica de los bloques de periodicidad de Fokker es representar simplemente proporciones como puntos en un retículo y encontrar vectores en el retículo que representan intervalos muy pequeños, conocidos como comas . Tratar los tonos separados por una coma como equivalentes "pliega" la celosía, reduciendo efectivamente su dimensión en uno; matemáticamente, esto corresponde a encontrar el grupo de cocientes de la celosía original por la subred generada por las comas. Para un retículo n- dimensional, la identificación de n comas linealmente independientes reduce la dimensión del retículo a cero, lo que significa que el número de tonos en el retículo es finito; matemáticamente, su cociente es un grupo abeliano finito . Este conjunto de tonos de dimensión cero es un bloque de periodicidad. Con frecuencia, forma un grupo cíclico , en cuyo caso la identificación de los m tonos del bloque de periodicidad con una afinación m -equiva da aproximaciones de afinación iguales de las proporciones justas que definieron la red original.
Tenga en cuenta que las octavas generalmente se ignoran al construir bloques de periodicidad (como lo son en la teoría de escalas en general) porque se supone que para cualquier tono en el sistema de afinación, todos los tonos que difieren de él en un cierto número de octavas también están disponibles en principio. En otras palabras, todos los tonos e intervalos se pueden considerar como residuos módulo octava. Esta simplificación se conoce comúnmente como equivalencia de octava .
Definición de bloques de periodicidad
Deje que una red n- dimensional (es decir, una cuadrícula de números enteros) incrustada en un espacio n -dimensional tenga un valor numérico asignado a cada uno de sus nodos, de modo que moverse dentro de la red en una de las direcciones cardinales corresponda a un cambio de tono en un intervalo particular . Normalmente, n varía de uno a tres. Simultáneamente en el caso bidimensional, la celosía es una celosía cuadrada . En el caso de 3-D, la celosía es cúbica.
Ejemplos de tales celosías son los siguientes ( x , y , z y w son números enteros ):
- En el caso unidimensional, el intervalo correspondiente a un solo paso generalmente se toma como un quinto perfecto , con una relación de 3/2, definiendo el límite de 3 simplemente sintonización. Los puntos de la celosía corresponden a los números enteros, con el punto en la posición x etiquetado con el valor de paso 3 x / 2 y para un número y elegido para hacer que el valor resultante se encuentre en el rango de 1 a 2. Por lo tanto, A (0) = 1, y rodeándolo están los valores
- ... 128/81, 32/27, 16/9, 4/3, 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, ...
- En el caso bidimensional, correspondiente a la afinación de 5 límites, los intervalos que definen la celosía son una quinta perfecta y una tercera mayor , con una relación de 5/4. Esto da una celosía cuadrada en la que el punto en la posición ( x , y ) está etiquetado con el valor 3 x 5 y 2 z . Nuevamente, se elige z para que sea el único entero que hace que el valor resultante se encuentre en el intervalo [1,2).
- El caso tridimensional es similar, pero agrega el séptimo armónico al conjunto de intervalos de definición, lo que lleva a una red cúbica en la que el punto en la posición ( x , y , z ) se etiqueta con un valor 3 x 5 y 7 z 2 w con w elegido para hacer que este valor se encuentre en el intervalo [1,2).
Una vez fijada la red y su etiquetado, se escogen n nodos de la red distintos del origen cuyos valores están cerca de 1 o 2. Los vectores desde el origen hasta cada uno de estos nodos especiales se denominan vectores unísonos . Estos vectores definen una subred del enrejado original, que tiene un dominio fundamental que en el caso bidimensional es un paralelogramo acotado por vectores al unísono y sus copias desplazadas, y en el caso tridimensional es un paralelepípedo . Estos dominios forman los mosaicos en un mosaico de la celosía original.
La baldosa tiene un área o volumen dado por el valor absoluto del determinante de la matriz de vectores al unísono: es decir, en el caso 2-D si los vectores al unísono son u y v , tal que y entonces el área de un mosaico 2-D es
Cada mosaico se denomina bloque de periodicidad de Fokker . El área de cada bloque es siempre un número natural igual al número de nodos que caen dentro de cada bloque.
Ejemplos de
Ejemplo 1: tome el enrejado bidimensional de quintos perfectos (relación 3/2) y solo tercios mayores (relación 5/4). Elija las comas 128/125 (la diesis , la distancia por la cual tres tercios mayores apenas llegan a una octava, aproximadamente 41 centavos ) y 81/80 (la coma sintónica , la diferencia entre cuatro quintos perfectos y un tercio mayor justo, aproximadamente 21,5 centavos). El resultado es un bloque de doce, que muestra cómo el temperamento igual de doce tonos se aproxima a las proporciones del límite de 5 .
Ejemplo 2: Sin embargo, si rechazáramos la diesis como un vector al unísono y en su lugar eligiéramos la diferencia entre cinco tercios mayores (menos una octava) y un cuarto, 3125/3072 (aproximadamente 30 centavos), el resultado es un bloque de 19 , que muestra cómo el 19-TET se aproxima a las relaciones del límite 5.
Ejemplo 3: En el entramado tridimensional de quintas perfectas, solo terceras mayores y séptimas menores (proporción 7/4), la identificación de la coma sintónica, el cleisma septimal (225/224, aproximadamente 8 centavos) y la La relación 1029/1024 (la diferencia entre tres tonos enteros septimales y un quinto perfecto, alrededor de 8,4 centavos) da como resultado un bloque de 31, que muestra cómo 31-TET se aproxima a las relaciones del límite 7 .
Características matemáticas de los bloques de periodicidad.
Los bloques de periodicidad forman un enrejado oblicuo secundario, superpuesto al primero. Esta celosía puede estar dada por una función φ:
que es realmente una combinación lineal :
donde el punto ( x 0 , y 0 ) puede ser cualquier punto, preferiblemente no un nodo de la red primaria, y preferiblemente de modo que los puntos φ (0,1), φ (1,0) y φ (1,1) no sean cualquier nodo tampoco.
Luego, la pertenencia a los nodos primarios dentro de los bloques de periodicidad se puede probar analíticamente mediante la función φ inversa :
Dejar
entonces deje que el tono B ( x , y ) pertenezca a la escala M B si es decir
Para el caso unidimensional:
donde L es la longitud del vector unísono,
Para el caso tridimensional,
dónde es el determinante de la matriz de vectores al unísono.
Referencias
- ^ "Kraig Grady" (4 de octubre de 1999). "CS" . Launch.groups.yahoo.com . Consultado el 4 de diciembre de 2010 .
Otras lecturas
- Fokker, AD (1969), "Vectores unísonos y bloques de periodicidad en la retícula armónica tridimensional (3-5-7-) de notas" , Proc. Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen , B72 (3).
- Paul Erlich, (1999), Una suave introducción a los bloques de periodicidad de Fokker: Parte 1 ; Parte 2 ; etc.