A \ B | ||||
---|---|---|---|---|
A 1 | A 2 | C 3 | F 4 | |
A 2 | A 2 × A 2 | A 5 | E 6 | |
C 3 | A 5 | D 6 | E 7 | |
F 4 | E 6 | E 7 | E 8 |
En matemáticas , el cuadrado mágico de Freudenthal (o cuadrado mágico de Freudenthal-Tits ) es una construcción que relaciona varias álgebras de Lie (y sus grupos de Lie asociados ). Lleva el nombre de Hans Freudenthal y Jacques Tits , quienes desarrollaron la idea de forma independiente. Se asocia un álgebra de Lie a un par de división de las álgebra A , B . Las álgebras de Lie resultantes tienen diagramas de Dynkin de acuerdo con la tabla de la derecha. La "magia" del cuadrado mágico de Freudenthal es que el álgebra de Lie construida es simétrica en A y B , a pesar de que la construcción original no es simétrica, aunque el método simétrico de Vinberg da una construcción simétrica.
El cuadrado mágico de Freudenthal incluye todos los grupos de Lie excepcionales además de G 2 , y proporciona un enfoque posible para justificar la afirmación de que "todos los grupos de Lie excepcionales existen debido a las octoniones ": G 2 en sí es el grupo de automorfismo de las octoniones (Además, en muchos aspectos se parece a un grupo de Lie clásico porque es el estabilizador de una forma tridimensional genérica en un espacio vectorial de 7 dimensiones; consulte el espacio vectorial prehomogéneo ).
Construcciones
Consulte la historia para conocer el contexto y la motivación. Estos fueron construidos originalmente alrededor de 1958 por Freudenthal y Tits, con formulaciones más elegantes en años posteriores. [1]
Enfoque de las tetas
El enfoque de Tits, descubierto alrededor de 1958 y publicado en ( Tits 1966 ), es el siguiente.
Asociado con cualquier álgebra de división real normalizada A (es decir, R, C, H u O) hay un álgebra de Jordan , J 3 ( A ), de 3 × 3 A - matrices hermitianas . Para cualquier par ( A , B ) de tales álgebras de división, se puede definir un álgebra de Lie
dónde denota el álgebra de Lie de derivaciones de un álgebra, y el subíndice 0 denota la parte sin trazas . El álgebra de Lie L tiene como subálgebra, y esto actúa naturalmente sobre . El soporte de Lie en(que no es una subálgebra) no es obvio, pero Tits mostró cómo podría definirse y que produjo la siguiente tabla de álgebras de Lie compactas .
B | R | C | H | O | |
---|---|---|---|---|---|
A | der (A / B) | 0 | 0 | ||
R | 0 | ||||
C | 0 | ||||
H | |||||
O |
Por construcción, la fila de la tabla con A = R dae igualmente viceversa.
El método simétrico de Vinberg
La "magia" del cuadrado mágico Freudenthal es que el álgebra de Lie construida es simétrica en A y B . Esto no es obvio a partir de la construcción de Tits. Ernest Vinberg dio una construcción que es manifiestamente simétrica en ( Vinberg 1966 ). En lugar de usar un álgebra de Jordan, usa un álgebra de matrices sin trazas ermitañas sesgadas con entradas en A ⊗ B , denotadas. Vinberg define una estructura de álgebra de Lie en
Cuando A y B no tienen derivaciones (es decir, R o C ), esto es solo el soporte de Lie (conmutador) en. En presencia de derivaciones, estas forman una subálgebra que actúa naturalmente sobre como en la construcción de Tits, y el soporte del conmutador sin rastro en es modificado por una expresión con valores en .
Triality
Una construcción más reciente, debida a Pierre Ramond ( Ramond 1976 ) y Bruce Allison ( Allison 1978 ) y desarrollado por Chris Barton y Anthony Sudbery , utiliza la trialidad en la forma desarrollada por John Frank Adams ; esto se presentó en ( Barton y Sudbery 2000 ), y en forma simplificada en ( Barton y Sudbery 2003 ). Mientras que la construcción de Vinberg se basa en los grupos de automorfismos de un álgebra de división A (o más bien sus álgebras de derivaciones de Lie), Barton y Sudbery utilizan el grupo de automorfismos de la trialidad correspondiente. La trialidad es el mapa trilineal
obtenido tomando tres copias del álgebra de división A , y usando el producto interno de A para dualizar la multiplicación. El grupo de automorfismo es el subgrupo de SO ( A 1 ) × SO ( A 2 ) × SO ( A 3 ) preservando este mapa trilineal. Se denota Tri ( A ). La siguiente tabla compara su álgebra de Lie con el álgebra de derivaciones de Lie.
A : | R | C | H | O |
---|---|---|---|---|
0 | 0 | |||
0 |
Barton y Sudbery luego identifican el álgebra de Lie del cuadrado mágico correspondiente a ( A , B ) con una estructura de álgebra de Lie en el espacio vectorial
El corchete de Lie es compatible con una clasificación Z 2 × Z 2 , con tri ( A ) y tri ( B ) en grado (0,0), y las tres copias de A ⊗ B en grados (0,1), (1 , 0) y (1,1). El corchete conserva tri ( A ) y tri ( B ) y estos actúan naturalmente sobre las tres copias de A ⊗ B , como en las otras construcciones, pero los corchetes entre estas tres copias son más restringidos.
Por ejemplo, cuando A y B son los octoniones, la trialidad es la de Spin (8), la doble cobertura de SO (8) y la descripción de Barton-Sudbery produce
donde V, S + y S - son las tres representaciones de 8 dimensiones de(la representación fundamental y las dos representaciones de espín ), y los objetos sombreados son una copia isomorfa.
Con respecto a una de las clasificaciones Z 2 , los primeros tres sumandos se combinan para dary los dos últimos juntos forman una de sus representaciones de espín Δ + 128 (el superíndice denota la dimensión). Ésta es una descomposición simétrica bien conocida de E8 .
La construcción de Barton-Sudbery extiende esto a las otras álgebras de Lie en el cuadrado mágico. En particular, para las álgebras de Lie excepcionales en la última fila (o columna), las descomposiciones simétricas son:
Generalizaciones
Álgebras de composición divididas
Además de las álgebras de división normados , hay otras álgebras de composición más de R , a saber los números de división-complejo , los split cuaterniones y los split octoniones . Si se utilizan estos en lugar de los números complejos, cuaterniones y octoniones, se obtiene la siguiente variante del cuadrado mágico (donde las versiones divididas de las álgebras de división se indican con un guión).
A \ B | R | C' | H ' | O ' |
---|---|---|---|---|
R | ||||
C' | ||||
H ' | ||||
O ' |
En este caso, todas las álgebras de Lie son la forma real dividida a excepción de so 3 , pero se puede usar un cambio de signo en la definición del corchete de Lie para producir la forma dividida so 2,1 . En particular, para las álgebras de Lie excepcionales, las subálgebras compactas máximas son las siguientes:
Forma dividida | ||||
---|---|---|---|---|
Compacto máximo |
También se puede obtener una versión no simétrica del cuadrado mágico combinando las álgebras de división con las álgebras de división habituales. Según Barton y Sudbery, la tabla resultante de álgebras de Lie es la siguiente.
A \ B | R | C | H | O |
---|---|---|---|---|
R | ||||
C' | ||||
H ' | ||||
O ' |
Las verdaderas y excepcionales álgebras de Lie que aparecen aquí pueden describirse de nuevo por sus máximas subálgebras compactas.
Álgebra de mentiras | |||||
---|---|---|---|---|---|
Compacto máximo |
Campos arbitrarios
Las formas de división de la álgebra de la composición y las álgebra de Lie se pueden definir sobre cualquier campo K . Esto produce el siguiente cuadrado mágico.
Aquí hay cierta ambigüedad si K no está cerrado algebraicamente. En el caso de K = C , esta es la complejidad de los cuadrados mágicos de Freudenthal para R discutidos hasta ahora.
Más álgebras generales de Jordan
Los cuadrados discutidos hasta ahora están relacionados con las álgebras de Jordan J 3 ( A ), donde A es un álgebra de división. También existen álgebras de Jordan J n ( A ), para cualquier número entero positivo n , siempre que A sea asociativo. Estos producen formas divididas (sobre cualquier campo K ) y formas compactas (sobre R ) de cuadrados mágicos generalizados.
Para n = 2, J 2 ( O ) también es un álgebra de Jordan. En el caso compacto (sobre R ) esto produce un cuadrado mágico de álgebras de Lie ortogonales.
A \ B | R | C | H | O |
---|---|---|---|---|
R | ||||
C | ||||
H | ||||
O |
La última fila y columna aquí son la parte del álgebra ortogonal del álgebra de isotropía en la descomposición simétrica de las álgebras de Lie excepcionales mencionadas anteriormente.
Estas construcciones están estrechamente relacionadas con los espacios simétricos ermitaños - cf. espacios vectoriales prehomogéneos .
Espacios simétricos
Los espacios simétricos de Riemann , tanto compactos como no compactos, se pueden clasificar uniformemente utilizando una construcción de cuadrado mágico, en ( Huang & Leung 2011 )para la división normado álgebras A y B . Una construcción similar produce los espacios simétricos no compactos irreductibles.
. Los espacios simétricos compactos irreductibles son, hasta cubiertas finitas, un grupo de Lie simple compacto, un Grassmanniano, un Grassmanniano lagrangiano o un Grassmanniano lagrangiano doble de subespacios deHistoria
Aviones proyectivos de Rosenfeld
Tras el descubrimiento de Ruth Moufang en 1933 del plano proyectivo Cayley o "plano proyectivo octoniónico" P 2 ( O ), cuyo grupo de simetría es el grupo de Lie excepcional F 4 , y con el conocimiento de que G 2 es el grupo de automorfismo de los octoniones , Rozenfeld (1956) propuso que los restantes grupos de Lie excepcionales E 6 , E 7 y E 8 son grupos de isomorfismos de planos proyectivos sobre ciertas álgebras sobre los octoniones: [1]
- la bioctonions ,C⊗O,
- la quateroctonions ,H⊗O,
- la octooctonions ,O⊗O.
Esta propuesta es atractiva, ya que existen excepcionales espacios compactos simétricos de Riemann con los grupos de simetría deseados y cuya dimensión coincide con la de los supuestos planos proyectivos (dim ( P 2 ( K ⊗ K ′)) = 2 dim ( K ) dim ( K ′)), y esto daría una construcción uniforme de los grupos de Lie excepcionales como simetrías de objetos naturales (es decir, sin un conocimiento a priori de los grupos de Lie excepcionales). Los espacios simétricos de Riemann fueron clasificados por Cartan en 1926 (las etiquetas de Cartan se utilizan en la secuela); ver clasificación para más detalles, y los espacios relevantes son:
- el plano proyectivo octoniónico - FII, dimensión 16 = 2 × 8, simetría F 4 , plano proyectivo Cayley P 2 ( O ),
- el plano proyectivo bioctoniónico - EIII, dimensión 32 = 2 × 2 × 8, simetría E 6 , plano proyectivo Cayley complexificado, P 2 ( C ⊗ O ),
- la "plano proyectivo cuateroctoniónico " [2] - EVI, dimensión 64 = 2 × 4 × 8,simetríaE7,P2(H⊗O),
- la "plano proyectivo octooctoniónico " [3] - EVIII, dimensión 128 = 2 × 8 × 8,simetríaE8,P2(O⊗O).
La dificultad de esta propuesta es que si bien los octoniones son un álgebra de división y, por lo tanto, se define un plano proyectivo sobre ellos, las bioctoniones, cuateroctoniones y octooctoniones no son álgebras de división y, por lo tanto, la definición habitual de un plano proyectivo no funciona. Esto se puede resolver para las bioctoniones, siendo el plano proyectivo resultante el plano Cayley complexificado, pero las construcciones no funcionan para las cuateroctoniones y octooctoniones, y los espacios en cuestión no obedecen a los axiomas habituales de los planos proyectivos, [1] por lo tanto las citas en "plano proyectivo (putativo)". Sin embargo, el espacio tangente en cada punto de estos espacios se puede identificar con el plano ( H ⊗ O ) 2 , o ( O ⊗ O ) 2 justificando aún más la intuición de que se trata de una forma de plano proyectivo generalizado. [2] [3] En consecuencia, los espacios resultantes a veces se denominan planos proyectivos de Rosenfeld y se anotan como si fueran planos proyectivos. En términos más generales, estas formas compactas son los planos proyectivos elípticos de Rosenfeld , mientras que las formas duales no compactas son los planos proyectivos hiperbólicos de Rosenfeld . Una presentación más moderna de las ideas de Rosenfeld se encuentra en ( Rosenfeld 1997 ), mientras que una breve nota sobre estos "planos" se encuentra en ( Besse 1987 , págs. 313-316). [4]
Los espacios se pueden construir usando la teoría de los edificios de Tits, que permite construir una geometría con cualquier grupo algebraico dado como simetrías, pero esto requiere comenzar con los grupos de Lie y construir una geometría a partir de ellos, en lugar de construir una geometría independientemente de una. conocimiento de los grupos de Lie. [1]
cuadrado mágico
Mientras que a nivel de variedades y grupos de Lie, la construcción del plano proyectivo P 2 ( K ⊗ K ′) de dos álgebras de división normalizadas no funciona, la construcción correspondiente a nivel de álgebras de Lie sí funciona. Es decir, si se descompone el álgebra de Lie de isometrías infinitesimales del plano proyectivo P 2 ( K ) y se aplica el mismo análisis a P 2 ( K ⊗ K ′), se puede utilizar esta descomposición, que se cumple cuando P 2 ( K ⊗ K ′) en realidad se puede definir como un plano proyectivo, como una definición de un "álgebra de Lie de cuadrados mágicos" M ( K , K ′). Esta definición es puramente algebraica y se mantiene incluso sin asumir la existencia del espacio geométrico correspondiente. Esto se hizo de forma independiente alrededor de 1958 en ( Tits 1966 ) y por Freudenthal en una serie de 11 artículos, comenzando con ( Freudenthal 1954 ) error harv: múltiples objetivos (2 ×): CITEREF Freudenthal1954 ( ayuda ) y terminando con ( Freudenthal 1963 ), aunque la construcción simplificada esbozada aquí se debe a ( Vinberg 1966 ). [1]
Ver también
- E8 (matemáticas)
- E7 (matemáticas)
- E6 (matemáticas)
- F4 (matemáticas)
- G2 (matemáticas)
- Triple sistema de Jordan
- Álgebra euclidiana de Hurwitz
- Álgebra euclidiana de Jordania
Notas
- ↑ a b c d e ( Baez 2002 , 4.3 El cuadrado mágico )
- ↑ a b ( Báez 2002 , 4.5 E 7 )
- ↑ a b ( Báez 2002 , 4.6 E 8 )
- ^ " Hallazgos de esta semana en física matemática - Semana 106 ", John Baez 23 de julio de 1997
Referencias
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- Allison, BN (1978). "Álgebras estructurables". Matemáticas. Ann . 237 (2): 133-156. doi : 10.1007 / bf01351677 . S2CID 120322064 .
- Báez, John C. (2002). "Los Octonions" . Boletín de la American Mathematical Society . 39 (2): 145-205. arXiv : matemáticas / 0105155 . doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X . ISSN 0273-0979 . Señor 1886087 . S2CID 586512 .- 4.3: El Cuadrado Mágico
- Báez, John C. (2005). "Errata de los octonions " (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 42 (2): 213–214. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01052-9 .
- Barton, CH; Sudbery, A. (2000). "Cuadrados mágicos de las álgebras de mentira". arXiv : matemáticas / 0001083 .
- Barton, CH; Sudbery, A. (2003). "Cuadrados mágicos y modelos matriciales de álgebras de Lie" . Avances en Matemáticas . 180 (2): 596–647. arXiv : math.RA / 0203010 . doi : 10.1016 / S0001-8708 (03) 00015-X . S2CID 119621987 .
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- Freudenthal, Hans (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie , Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
- Freudenthal, Hans (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Geom. Dedicata , 19 : 7–63, doi : 10.1007 / bf00233101 , S2CID 121496094 (reimpresión del artículo de 1951)
- Huang, Yongdong; Leung, Naichung Conan (2010). "Una descripción uniforme de espacios simétricos compactos como Grassmannianos usando el cuadrado mágico" (PDF) . Mathematische Annalen . 350 (1): 79–106. doi : 10.1007 / s00208-010-0549-8 . S2CID 121427210 .
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