En matemáticas, un espacio vectorial prehomogeneous (PVS) es una dimensión finita espacio vectorial V junto con un subgrupo G del grupo lineal general GL ( V ) tal que G tiene una densa abierto órbita en V . Los espacios vectoriales prehomogéneos fueron introducidos por Mikio Sato en 1970 y tienen muchas aplicaciones en geometría , teoría y análisis de números , así como en teoría de la representación.. Los PVS irreductibles fueron clasificados por Sato y Tatsuo Kimura en 1977, hasta una transformación conocida como "enroque". Se subdividen en dos tipos, según que la parte semisimple de G actúe de forma prehomogénea o no. Si no lo hace, entonces hay un polinomio homogéneo en V que es invariante bajo la parte semisimple de G .
Configuración
En el escenario de Sato, G es un grupo algebraico y V es una representación racional de G que tiene una órbita abierta (no vacía) en la topología de Zariski . Sin embargo, PVS también se puede estudiar desde el punto de vista de la teoría de Lie: por ejemplo, en Knapp (2002), G es un grupo de Lie complejo y V es una representación holomórfica de G con una órbita densa abierta. Los dos enfoques son esencialmente los mismos y la teoría tiene validez sobre los números reales. Suponemos, por simplicidad de notación, que la acción de G sobre V es una representación fiel . Entonces podemos identificar G con su imagen en GL ( V ), aunque en la práctica a veces es conveniente dejar que G sea un grupo de cobertura .
Aunque los espacios vectoriales prehomogéneos no necesariamente se descomponen en sumas directas de irreducibles, es natural estudiar el PVS irreducible (es decir, cuando V es una representación irreducible de G ). En este caso, un teorema de Élie Cartan muestra que
- G ≤ GL ( V )
es un grupo reductivo , con un centro que es como mucho unidimensional. Esto, junto con la obvia restricción dimensional
- dim G ≥ dim V ,
es el ingrediente clave en la clasificación de Sato-Kimura.
Enroque
La clasificación de PVS se complica por el siguiente hecho. Suponga que m > n > 0 y V es una representación m- dimensional de G sobre un campo F.Entonces:
- es un PVS si y solo si es un PVS.
La prueba es observar que ambas condiciones son equivalentes a que haya una órbita densa abierta de la acción de G sobre el Grassmanniano de n- planos en V , porque este es isomorfo al Grassmanniano de ( m - n ) -planes en V * .
(En el caso de que G sea reductivo, el par ( G , V ) es equivalente al par ( G , V * ) por un automorfismo de G. )
Esta transformación de PVS se llama enroque . Dado un PVS V , se puede obtener un nuevo PVS tensando V con F y enrocando. Repitiendo este proceso y reagrupando los productos tensoriales, se pueden obtener muchos ejemplos nuevos, que se dice que son "equivalentes al enroque". Por lo tanto, PVS se puede agrupar en clases de equivalencia de enroque. Sato y Kimura muestran que en cada una de esas clases, hay esencialmente un PVS de dimensión mínima, al que llaman "reducido", y clasifican el PVS reducido irreductible.
Clasificación
La clasificación de PVS reducida irreductible ( G , V ) se divide en dos casos: aquellos para los que G es semisimple y aquellos para los que es reductivo con centro unidimensional. Si G es semisimple, es (quizás una cobertura de) un subgrupo de SL ( V ) y, por tanto, G × GL (1) actúa prehomogéneamente sobre V , con un centro unidimensional. Excluimos tales extensiones triviales de PVS semisimple de la PVS con centro unidimensional. En otras palabras, en el caso de que G tenga un centro unidimensional, asumimos que la parte semisimple no actúa prehomogéneamente; se sigue que hay un invariante relativo , es decir, una función invariante bajo la parte semisimple de G , que es homogénea de cierto grado d .
Esto permite restringir la atención al semisimple G ≤ SL ( V ) y dividir la clasificación de la siguiente manera:
- ( G , V ) es un PVS;
- ( G , V ) no es un PVS, pero ( G × GL (1), V ) sí lo es.
Sin embargo, resulta que la clasificación es mucho más corta, si se permite no solo productos con GL (1), sino también con SL ( n ) y GL ( n ). Esto es bastante natural en términos de la transformación del enroque discutida anteriormente. Por lo tanto, deseamos clasificar la EVP reducida irreductible en términos de semisimple G ≤ SL ( V ) yn ≥ 1 tal que:
- es un PVS;
- no es un PVS, pero es.
En el último caso, existe un polinomio homogéneo que separa las órbitas G × GL ( n ) en órbitas G × SL (n).
Esto tiene una interpretación en términos de Grassmannian Gr n ( V ) de n planos en V (al menos para n ≤ dim V ). En ambos casos G actúa sobre Gr n ( V ) con una órbita abierta densa U . En el primer caso, el complemento Gr n ( V ) - U tiene codimensión ≥ 2; en el segundo caso es un divisor de algún grado d , y el invariante relativo es un polinomio homogéneo de grado nd .
A continuación, la lista de clasificación se presentará sobre los números complejos.
Ejemplos generales
GRAMO | V | Tipo 1 | Tipo 2 | Grupo de isotropía de tipo 2 | La licenciatura |
---|---|---|---|---|---|
n ≥ m +1 | n = m | metro | |||
m -1 ≥ n ≥ 1 * | |||||
m impar, n = 1,2 | m par, n = 1 | m / 2 | |||
n = 1 | metro | ||||
m -1 ≥ n ≥ 1 * | 2 | ||||
2 m -1 ≥ n ≥ 1 * , n impar | 2 m -1 ≥ n ≥ 1 * , n par | 1 |
* Estrictamente hablando, debemos restringir an ≤ (dim V ) / 2 para obtener un ejemplo reducido.
Ejemplos irregulares
Tipo 1
Tipo 2
Ambos ejemplos son PVS solo para n = 1.
Ejemplos restantes
Los ejemplos restantes son todos de tipo 2. Para evitar discutir los grupos finitos que aparecen, las listas presentan el álgebra de Lie del grupo de isotropía en lugar del grupo de isotropía en sí.
GRAMO | V | norte | Álgebra de isotropía | La licenciatura |
---|---|---|---|---|
1 | 0 | 4 | ||
1 | 4 | |||
1 | 7 | |||
1 | dieciséis | |||
2 | 0 | 6 | ||
3,4 | 5,10 | |||
2 | 6 | |||
2 | 6 | |||
1 | 4 | |||
1,2,3 | 2,2,2 | |||
1 | 2 | |||
2,3 | 2,4 | |||
1 | 4 | |||
1 | 4 | |||
1 | 8 | |||
1,2 | 2,2 | |||
1,2 | 3,6 | |||
1 | 4 |
Aquí denota el espacio de 3 formas cuya contracción con la forma simpléctica dada es cero.
Pruebas
Sato y Kimura establecen esta clasificación al producir una lista de posibles prehomogéneos irreductibles ( G , V ), utilizando el hecho de que G es reductivo y la restricción dimensional. Luego verifican si cada miembro de esta lista es prehomogéneo o no.
Sin embargo, hay una explicación general de por qué la mayoría de los pares ( G , V ) en la clasificación son prehomogéneos, en términos de representaciones de isotropía de variedades bandera generalizadas . De hecho, en 1974, Richardson observó que si H es un grupo de Lie semisimple con un subgrupo parabólico P , entonces la acción de P sobre el nilradical de su álgebra de Lie tiene una órbita abierta densa. Esto muestra en particular (y Vinberg señaló de forma independiente en 1975) que el factor G de Levi de P actúa prehomogéneamente sobre. Casi todos los ejemplos de la clasificación se pueden obtener aplicando esta construcción con P un subgrupo parabólico máximo de un grupo de Lie simple H : estos se clasifican mediante diagramas de Dynkin conectados con un nodo distinguido.
Aplicaciones
Una razón por la que los PVS son interesantes es que clasifican los objetos genéricos que surgen en situaciones G- invariantes. Por ejemplo, si G = GL (7), las tablas anteriores muestran que hay 3 formas genéricas bajo la acción de G , y el estabilizador de dicha forma 3 es isomorfo al excepcional grupo de Lie G 2 .
Otro ejemplo se refiere a los espacios vectoriales prehomogéneos con un invariante relativo cúbico. Según la clasificación de Sato-Kimura, hay esencialmente cuatro ejemplos de este tipo, y todos provienen de representaciones isotrópicas complejas de espacios simétricos hermitianos para un grupo más grande H (es decir, G es la parte semisimple del estabilizador de un punto, y V es el correspondiente representación de la tangente ).
En cada caso, un punto genérico en V lo identifica con la complejación de un álgebra de Jordan de matrices hermitianas de 3 x 3 (sobre las álgebras de división R , C , H y O respectivamente) y el invariante relativo cúbico se identifica con un determinante adecuado. El álgebra de isotropía de un punto tan genérico, el álgebra de Lie de G y el álgebra de Lie de H dan las complejidades de las tres primeras filas del cuadrado mágico de Freudenthal .
H | GRAMO | V | Álgebra de isotropía | Álgebra de Jordan |
---|---|---|---|---|
Otros espacios simétricos hermitianos producen espacios vectoriales prehomogéneos cuyos puntos genéricos definen las álgebras de Jordan de manera similar.
H | GRAMO | V | Álgebra de isotropía | Álgebra de Jordan |
---|---|---|---|---|
El álgebra de Jordan J ( m −1) en la última fila es el factor de giro (que es el espacio vectorial R m −1 ⊕ R , con una estructura de álgebra de Jordan definida usando el producto interno en R m −1 ). Se reduce apara m = 3, 4, 6 y 10 respectivamente.
La relación entre los espacios simétricos hermitianos y las álgebras de Jordan se puede explicar utilizando sistemas triples de Jordan .
Referencias
- Kimura, Tatsuo (2003), Introducción a los espacios vectoriales prehomogéneos , Traducciones de monografías matemáticas, 215 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2767-3, Señor 1944442
- Knapp, Anthony (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progreso en matemáticas, 140 (2a ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4259-5, Señor 1920389 Ver Capítulo X.
- Sato, Mikio; Kimura, Tatsuo (1977), "Una clasificación de espacios vectoriales prehomogéneos irreductibles y sus invariantes relativos" , Nagoya Mathematical Journal , 65 : 1-155, doi : 10.1017 / s0027763000017633 , MR 0430336
- Richardson, Roger Wolcott, Jr. (1974), "Clases conjugadas en subgrupos parabólicos de grupos algebraicos semisimple", Bull. London Math. Soc. , 6 : 21-24, doi : 10.1112 / blms / 6.1.21 , MR 0330311
- Sato, Mikio (1990), "Teoría de los espacios vectoriales prehomogéneos (parte algebraica) - la traducción al inglés de la conferencia de Sato de la nota de Shintani" , Nagoya Mathematical Journal , 120 : 1–34, doi : 10.1017 / S0027763000003214 , ISSN 0027-7630 , Señor 1086566
- Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1972), "Sobre funciones zeta asociadas con espacios vectoriales prehomogéneos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 69 (5): 1081–1082, doi : 10.1073 / pnas.69.5.1081 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 61638 , MR 0296079 , PMC 426633 , PMID 16591979
- Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1974), "Sobre funciones zeta asociadas con espacios vectoriales prehomogéneos", Annals of Mathematics , Second Series, 100 (1): 131-170, doi : 10.2307 / 1970844 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970844 , MR 0344230
- Vinberg, Ernest (1975), "La clasificación de elementos nilpotentes de álgebras de Lie graduadas", Matemáticas soviéticas. Dokl. , 16 (6): 1517–1520, MR 0506488