En matemáticas, específicamente en el análisis funcional y la teoría del espacio de Hilbert , el teorema fundamental de los espacios de Hilbert da una condición necesaria y suficiente para que un espacio de Hausdorff anterior a Hilbert sea un espacio de Hilbert en términos de la isometría canónica de un espacio anterior a Hilbert en su interior. anti-dual .
Preliminares
Funcionales antilineales y anti-dual
Suponga que H es un espacio vectorial topológico (TVS). Una función f : H → ℂ se llama semilineal o antilineal [1] si para todo x , y ∈ H y todos los escalares c ,
- Aditivo : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ;
- Conjugado homogéneo : f ( c x ) = c f ( x ) .
El espacio vectorial de todas las funciones antilineales continuas en H se denomina espacio anti-dual o espacio dual conjugado complejo de H y se denota por(en contraste, el espacio dual continuo de H se denota por), que convertimos en un espacio normado dotándolo de la norma canónica (definida de la misma forma que la norma canónica sobre el espacio dual continuo de H ). [1]
Espacios pre-Hilbert y formas sesquilíneas
Una forma sesquilínea es un mapa B : H × H → ℂ tal que para todo y ∈ H , el mapa definido por x ↦ B ( x , y ) es lineal , y para todo x ∈ H , el mapa definido por y ↦ B ( x , y ) es antilineal . [1] Nótese que en Física , la convención es que una forma sesquilínea es lineal en su segunda coordenada y antilineal en su primera coordenada.
Una forma sesquilínea en H se llama definida positiva si B ( x , x )> 0 para todo lo que no sea 0 x ∈ H ; se llama no negativo si B ( x , x ) ≥ 0 para todo x ∈ H . [1] Una forma sesquilínea B en H se llama forma hermitiana si además tiene la propiedad de quepara todos x , y ∈ H . [1]
Espacios pre-Hilbert y Hilbert
Un espacio anterior a Hilbert es un par que consta de un espacio vectorial H y una forma sesquilínea B no negativa en H ; si además esta forma sesquilineal B es definida positiva, entonces ( H , B ) se llama un espacio pre-Hilbert de Hausdorff . [1] Si B no es negativo, entonces induce una seminorma canónica en H , denotada por, definido por x ↦ B ( x , x ) 1/2 , donde si B también es positivo definido, entonces este mapa es una norma . [1] Esta semi-norma canónica convierte cada espacio anterior a Hilbert en un espacio seminorizado y cada espacio de Hausdorff anterior a Hilbert en un espacio normado . La forma sesquilinear B : H × H → ℂ es separado uniformemente continua en cada uno de sus dos argumentos y por lo tanto se puede extender a una forma sesquilinear separado continua sobre la finalización de H ; si H es Hausdorff, entonces esta terminación es un espacio de Hilbert . [1] Un espacio de Hausdorff anterior a Hilbert que está completo se llama espacio de Hilbert .
Mapa canónico en el anti-dual
Suponga que ( H , B ) es un espacio anterior a Hilbert. Si h ∈ H , definimos los mapas canónicos:
- B ( h , •): H → ℂ donde y ↦ B ( h , y ) , y
- B (•, h ): H → ℂ donde x ↦ B ( x , h )
El mapa canónico [1] de H a su anti-dual es el mapa
- definido por x ↦ B ( x , •) .
Si ( H , B ) es un espacio anterior a Hilbert, entonces este mapa canónico es lineal y continuo; este mapa es una isometría en un subespacio vectorial del anti-dual si y solo si ( H , B ) es un pre-Hilbert de Hausdorff. [1]
Por supuesto, existe una isometría sobreyectiva antilineal canónica que envía un funcional lineal continuo f en H al funcional antilineal continuo denotado por f y definido por x ↦ f ( x ) .
Teorema fundamental
- Teorema fundamental de los espacios de Hilbert : [1] Suponga que ( H , B ) es un espacio pre-Hilbert de Hausdorff donde B : H × H → ℂ es una forma sesquilínea que es lineal en su primera coordenada y antilineal en su segunda coordenada. Entonces, el mapeo lineal canónico de H al espacio anti-dual de H es sobreyectivo si y solo si ( H , B ) es un espacio de Hilbert, en cuyo caso el mapa canónico es una isometría sobreyectiva de H sobre su anti-dual.
Ver también
- Espacio vectorial conjugado complejo
- Sistema dual
- Espacio Hilbert
- Espacio pre-Hilbert
- Mapa lineal
- Teorema de representación de Riesz
- Forma sesquilineal
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i j k Trèves , 2006 , págs. 112–123.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .