En el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas , las matrices de Grunsky , u operadores de Grunsky , son matrices infinitas introducidas en 1939 por Helmut Grunsky . Las matrices corresponden a una sola función holomórfica en el disco unitario o un par de funciones holomórficas en el disco unitario y su complemento. Las desigualdades de Grunsky expresan propiedades de acotación de estas matrices, que en general son operadores de contracción o en casos especiales importantes operadores unitarios . Como mostró Grunsky, estas desigualdades se mantienen si y solo si la función holomórfica es univalente. Las desigualdades son equivalentes a las desigualdades de Goluzin, descubiertas en 1947. En términos generales, las desigualdades de Grunsky dan información sobre los coeficientes del logaritmo de una función univalente; las generalizaciones posteriores de Milin , a partir de la desigualdad de Lebedev-Milin , lograron exponenciar las desigualdades para obtener desigualdades para los coeficientes de la función univalente en sí. La matriz de Grunsky y sus desigualdades asociadas se formularon originalmente en un entorno más general de funciones univalentes entre una región delimitada por un número finito de curvas de Jordan suficientemente suaves y su complemento: los resultados de Grunsky, Goluzin y Milin se generalizan a ese caso.
Históricamente, las desigualdades para el disco se utilizaron para probar casos especiales de la conjetura de Bieberbach hasta el sexto coeficiente; las desigualdades exponenciadas de Milin fueron utilizadas por De Branges en la solución final. Una exposición detallada utilizando estos métodos se puede encontrar en Hayman (1994) . Los operadores de Grunsky y sus determinantes de Fredholm también están relacionados con las propiedades espectrales de los dominios acotados en el plano complejo . Los operadores tienen más aplicaciones en el mapeo conforme , la teoría de Teichmüller y la teoría de campos conforme .
Matriz Grunsky
Si f ( z ) es una función univalente holomórfica en el disco unitario, normalizada de modo que f (0) = 0 y f ′ (0) = 1, la función
es una función univalente que no desaparece en | z | > 1 que tiene un polo simple en ∞ con residuo 1:
La misma fórmula de inversión aplicada a g devuelve f y establece una correspondencia uno a uno entre estas dos clases de funciones.
La matriz de Grunsky ( c nm ) de g está definida por la ecuación
Es una matriz simétrica . Sus entradas se denominan coeficientes de Grunsky de g .
Tenga en cuenta que
de modo que los coeficientes se pueden expresar directamente en términos de f . De hecho, si
entonces para m , n > 0
y d 0 n = d n 0 está dado por
con
Desigualdades de Grunsky
Si f es una función holomórfica en el disco unitario con matriz de Grunsky ( c nm ), las desigualdades de Grunsky establecen que
para cualquier secuencia finita de números complejos lambda 1 , ..., λ N .
Polinomios de Faber
Los coeficientes de Grunsky de una función univalente normalizada en | z | > 1
son polinomios en los coeficientes b i que se pueden calcular de forma recursiva en términos de los polinomios de Faber Φ n , un polinomio monico de grado n que depende de g .
Tomando la derivada en z de la relación definitoria de los coeficientes de Grunsky y multiplicando por z da
Los polinomios de Faber están definidos por la relación
Dividiendo esta relación por z e integrando entre z y ∞ da
Esto da las relaciones de recurrencia para n > 0
con
Por lo tanto
de modo que para n ≥ 1
La última propiedad determina de forma única el polinomio de Faber de g .
Teorema del área de Milin
Sea g ( z ) una función univalente en | z | > 1 normalizado para que
y dejar que f ( z ) una función holomorfa no constante en C .
Si
es la expansión de Laurent en z > 1, entonces
Prueba
Si Ω es una región abierta acotada con un límite suave ∂Ω y h es una función diferenciable en Ω que se extiende a una función continua en el cierre, entonces, por el teorema de Stokes aplicado a la forma diferencial 1
Para r > 1, sea Ω r el complemento de la imagen de | z |> r bajo g ( z ), un dominio acotado. Entonces, por la identidad anterior con h = f ′ , el área de f (Ω r ) está dada por
Por eso
Dado que el área no es negativa
El resultado sigue al dejar que r disminuya a 1.
La prueba de Milin de las desigualdades de Grunsky
Si
luego
Aplicando el teorema del área de Milin,
(La igualdad se mantiene aquí si y solo si el complemento de la imagen de g tiene la medida de Lebesgue cero).
Así que a fortiori
De ahí la matriz simétrica
considerado como un operador en C N con su producto interno estándar, satisface
Entonces, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
Con
esto da la desigualdad de Grunsky:
Criterio de univalencia
Sea g ( z ) una función holomórfica en z > 1 con
Entonces g es univalente si y sólo si los coeficientes Grunsky de g satisfacen las desigualdades Grunsky para todos N .
De hecho, ya se ha demostrado que las condiciones son necesarias. Para ver la suficiencia, tenga en cuenta que
tiene sentido cuando | z | y | ζ | son grandes y, por tanto, se definen los coeficientes c mn . Si se satisfacen las desigualdades de Grunsky, es fácil ver que | c mn | están uniformemente delimitadas y, por tanto, la expansión del lado izquierdo converge para | z | > 1 y | ζ | > 1. Exponenciando ambos lados, esto implica que g es univalente.
Pares de funciones univalentes
Dejar y ser funciones holomorfas univalentes en | z | <1 y | ζ | > 1, de tal forma que sus imágenes son disjuntos en C . Supongamos que estas funciones están normalizadas de modo que
y
con un ≠ 0 y
La matriz Grunsky ( c mn ) de este par de funciones se define para todos los no-cero m y n por las fórmulas:
con
de modo que ( c mn ) es una matriz simétrica.
En 1972, el matemático estadounidense James Hummel extendió las desigualdades de Grunsky a esta matriz, demostrando que para cualquier secuencia de números complejos λ ± 1 , ..., λ ± N
La demostración procede calculando el área de la imagen del complemento de las imágenes de | z | < r <1 bajo F y | ζ | > R > 1 bajo g bajo un polinomio de Laurent adecuado h ( w ).
Dejar y denotar los polinomios Faber de g y y establecer
Luego:
El área es igual a
donde C 1 es la imagen del círculo | ζ | = R bajo g y C 2 es la imagen del círculo | z | = R bajo F .
Por eso
Dado que el área es positiva, el lado derecho también debe ser positivo. Dejando que r aumente a 1 y R disminuya a 1 , se deduce que
con igualdad si y solo si el complemento de las imágenes tiene medida de Lebesgue cero.
Como en el caso de una sola función g , esto implica la desigualdad requerida.
Unitaridad
La matriz
de una sola función go un par de funciones F , g es unitaria si y solo si el complemento de la imagen de go la unión de las imágenes de F y g tiene medida de Lebesgue cero. Entonces, hablando aproximadamente, en el caso de una función, la imagen es una región de rendija en el plano complejo; y en el caso de dos funciones, las dos regiones están separadas por una curva de Jordan cerrada.
De hecho, la matriz infinita A que actúa sobre el espacio de Hilbert de secuencias cuadradas sumables satisface
Pero si J denota la conjugación compleja de una secuencia, entonces
ya que A es simétrico. Por eso
de modo que A es unitario.
Formas equivalentes de desigualdades de Grunsky
Desigualdades de goluzin
Si g ( z ) es una función univalente normalizada en | z | > 1, z 1 , ..., z N son puntos distintos con | z n | > 1 y α 1 , ..., α N son números complejos, las desigualdades de Goluzin, probadas en 1947 por el matemático ruso Gennadi Mikhailovich Goluzin (1906-1953), afirman que
Para deducirlos de las desigualdades de Grunsky, consideremos
para k > 0.
Por el contrario, las desigualdades de Grunsky se derivan de las desigualdades de Goluzin tomando
dónde
con r > 1, tendiendo a ∞.
Desigualdades de Bergman-Schiffer
Bergman y Schiffer (1951) dieron otra derivación de las desigualdades de Grunsky utilizando núcleos reproductores y operadores integrales singulares en la teoría de funciones geométricas ; un enfoque relacionado más reciente se puede encontrar en Baranov y Hedenmalm (2008) .
Sea f ( z ) una función univalente normalizada en | z | <1, sean z 1 , ..., z N puntos distintos con | z n | <1 y sean α 1 , ..., α N números complejos. Las desigualdades de Bergman-Schiffer afirman que
Para deducir estas desigualdades de las desigualdades de Grunsky, establezca
para k > 0.
Por el contrario, las desigualdades de Grunsky se derivan de las desigualdades de Bergman-Schiffer tomando
dónde
con r <1, tendiendo a 0.
Aplicaciones
Las desigualdades de Grunsky implican muchas desigualdades para funciones univalentes. También fueron utilizados por Schiffer y Charzynski en 1960 para dar una prueba completamente elemental de la conjetura de Bieberbach para el cuarto coeficiente; Schiffer y Garabedian habían encontrado previamente una prueba mucho más complicada en 1955. En 1968, Pedersen y Ozawa utilizaron independientemente las desigualdades de Grunsky para probar la conjetura del sexto coeficiente. [1] [2]
En la prueba de Schiffer y Charzynski, si
es una función univalente normalizada en | z | <1, entonces
es una función univalente extraña en | z | > 1.
La combinación del teorema del área de Gronwall para f con las desigualdades de Grunsky para el primer 2 x 2 menor de la matriz de Grunsky de g conduce a una cota para | a 4 | en términos de una función simple de un 2 y un parámetro complejo libre. El parámetro libre se puede elegir de modo que el límite se convierta en una función de la mitad del módulo de a 2 y luego se puede verificar directamente que esta función no es mayor que 4 en el rango [0,1].
Como mostró Milin, las desigualdades de Grunsky se pueden exponenciar. El caso más simple procede por escrito.
con un n ( w ) en holomorphic | w | <1.
Las desigualdades de Grunsky, con λ n = w n implican que
Por otro lado, si
como serie de potencias formales, la primera de las desigualdades de Lebedev-Milin (1965) establece que [3] [4]
De manera equivalente, la desigualdad establece que si g ( z ) es un polinomio con g (0) = 0, entonces
donde A es el área de g ( D ),
Para probar la desigualdad, tenga en cuenta que los coeficientes están determinados por la fórmula recursiva
de modo que por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
Las cantidades c n obtenidas imponiendo aquí la igualdad:
satisfacer y por lo tanto, invirtiendo los pasos,
En particular, la definición de b n ( w ) por la identidad
la siguiente desigualdad debe ser válida para | w | <1
Transformación de Beurling
La transformada de Beurling (también llamada transformada de Beurling-Ahlfors y transformada de Hilbert en el plano complejo ) proporciona uno de los métodos más directos para probar las desigualdades de Grunsky, siguiendo a Bergman y Schiffer (1951) y Baranov y Hedenmalm (2008) .
La transformada de Beurling se define en L 2 ( C ) como la operación de multiplicación porsobre transformadas de Fourier . Define así un operador unitario. También se puede definir directamente como una integral de valor principal [5]
Para cualquier región abierta acotada Ω en C , define un operador acotado T Ω del conjugado del espacio de Bergman de Ω al espacio de Bergman de Ω: una función holomórfica integrable cuadrada se extiende a 0 de Ω para producir una función en L 2 ( C ) al que se aplica T y el resultado se restringe a Ω, donde es holomórfico. Si f es un mapa univalente holomórfico del disco unitario D en Ω, entonces el espacio de Bergman de Ω y su conjugado se pueden identificar con el de D y T Ω se convierte en el operador integral singular con kernel
Define una contracción . Por otro lado, se puede comprobar que T D = 0 calculando directamente en potencias utilizando el teorema de Stokes para transferir la integral a la frontera.
De ello se deduce que el operador con kernel
actúa como una contracción en el conjugado del espacio de Bergman D . Por tanto, si
luego
Operador Grunsky y determinante de Fredholm
Si Ω es un dominio acotado en C con límite suave, el operador T Ω puede considerarse como un operador contractivo antilineal acotado en el espacio de Bergman H = A 2 (Ω). Está dado por la fórmula
para u en el espacio de Hilbert H = A 2 (Ω). T Ω se llama el operador Grunsky de Ω (o f ). Su realización en D usando una función univalente f mapeando D sobre Ω y el hecho de que T D = 0 muestra que está dada por restricción del kernel
y, por tanto, es un operador de Hilbert-Schmidt .
El operador antilineal T = T Ω satisface la relación de autoadjunta
para u , v en H .
Así, A = T 2 es un operador lineal autoajustable compacto en H con
de modo que A es un operador positivo. Según el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos, hay una base ortonormal u n de H que consta de autovectores de A :
donde μ n es no negativo por la positividad de A . Por eso
con λ n ≥ 0. Dado que T conmuta con A , deja invariantes sus espacios propios. La relación de positividad muestra que actúa trivialmente sobre el espacio propio cero. Los otros espacios propios distintos de cero son todos de dimensión finita y mutuamente ortogonales. Por lo tanto, se puede elegir una base ortonormal en cada espacio propio de modo que:
(Tenga en cuenta que por antilinealidad de T. )
Los λ n distintos de cero (o algunas veces sus recíprocos) se denominan valores propios de Fredholm de Ω:
Si Ω es un dominio acotado que no es un disco, Ahlfors demostró que
El determinante de Fredholm para el dominio Ω está definido por [6] [7]
Tenga en cuenta que esto tiene sentido porque A = T 2 es un operador de clase de seguimiento .
Schiffer y Hawley (1962) demostraron que siy f correcciones de 0, a continuación, [8] [9]
Aquí las normas están en los espacios de Bergman de D y su complemento D c y g es un mapa univalente de D c en Ω c fijación ∞.
Se aplica una fórmula similar en el caso de un par de funciones univalentes (ver más abajo).
Operadores integrales singulares en una curva cerrada
Sea Ω un dominio simplemente conectado acotado en C con un límite uniforme C = ∂Ω. Por lo tanto hay un mapa holomorphic univalente f desde el disco unidad D en Ω que se extiende a una transformación suave entre los límites S 1 y C .
Notas
- ^ Duren 1983 , págs. 131-133
- ^ Koepf 2007
- ^ Duren 1983 , págs. 143-144
- ↑ Aparte de la prueba elemental de este resultado presentada aquí, hay varias otras pruebas analíticas en la literatura. Nikolski (2002 , p. 220), siguiendo a De Branges , señala que es una consecuencia de las desigualdades estándar relacionadas con la reproducción de núcleos . Widom (1988) observó que era una consecuencia inmediata de la fórmula límite de Szegő (1951). De hecho, si f es el polinomio trigonométrico de valor real en el círculo dado como el doble de la parte real de un polinomio g ( z ) que desaparece en 0 en el disco unitario, la fórmula del límite de Szegő establece que los determinantes de Toeplitz de e f aumentan a e A donde A es el área de g ( D ). El primer determinante es, por definición, solo el término constante en e f = | e g | 2 .
- ↑ Ahlfors, 1966
- ↑ Schiffer , 1959 , p. 261
- ^ Schiffer y Hawley , 1962 , p. 246
- ^ Schiffer y Hawley 1962 , págs. 245–246
- ^ Takhtajan y Teo 2006
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