El marco de Heath-Jarrow-Morton ( HJM ) es un marco general para modelar la evolución de las curvas de tipos de interés, en particular las curvas de tipos a plazo instantáneas (en contraposición a los tipos simples a plazo ). Cuando se supone que la volatilidad y la deriva del tipo de cambio a plazo instantáneo son deterministas , esto se conoce como el modelo de tipos a plazo de Gaussian Heath-Jarrow-Morton (HJM) . [1] : 394 Para el modelado directo de tasas de avance simples, el modelo Brace-Gatarek-Musiela representa un ejemplo.
El marco HJM se origina en el trabajo de David Heath , Robert A. Jarrow y Andrew Morton a fines de la década de 1980, especialmente los precios de los bonos y la estructura temporal de las tasas de interés: una nueva metodología (1987) - documento de trabajo, Cornell University y Bond fijación de precios y estructura temporal de las tasas de interés: una nueva metodología (1989) - documento de trabajo (edición revisada), Cornell University. Tiene sus críticos, sin embargo, con Paul Wilmott describiéndolo como "... en realidad sólo una gran alfombra para que [los errores] sean barridos". [2] [3]
Marco de referencia
La clave de estas técnicas es el reconocimiento de que las desviaciones de la evolución sin arbitraje de ciertas variables pueden expresarse en función de sus volatilidades y las correlaciones entre ellas. En otras palabras, no se necesita una estimación de la deriva.
Los modelos desarrollados de acuerdo con el marco HJM son diferentes de los denominados modelos de tasa corta en el sentido de que los modelos de tipo HJM capturan la dinámica completa de toda la curva de tasas forward , mientras que los modelos de tasa corta solo capturan la dinámica de un punto. en la curva (la tasa corta).
Sin embargo, los modelos desarrollados de acuerdo con el marco general de HJM a menudo no son de Markov e incluso pueden tener dimensiones infinitas. Varios investigadores han realizado grandes contribuciones para abordar este problema. Muestran que si la estructura de volatilidad de las tasas a plazo satisface ciertas condiciones, entonces un modelo HJM puede expresarse completamente mediante un sistema Markoviano de estados finitos, haciéndolo computacionalmente factible. Los ejemplos incluyen un modelo de un factor y dos estados (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken y L. Sankarasubramanian en "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of Term Structure ", Mathematical Finance , 5, No. 1, enero de 1995), y versiones posteriores de múltiples factores.
Formulación matemática
La clase de modelos desarrollados por Heath, Jarrow y Morton (1992) se basa en el modelado de las tasas a plazo, pero no capta todas las complejidades de una estructura temporal en evolución.
El modelo comienza con la introducción del tipo de cambio a plazo instantáneo , , que se define como la tasa de capitalización continua disponible en el momento como se ve desde el tiempo . La relación entre los precios de los bonos y la tasa a plazo también se proporciona de la siguiente manera:
Aquí es el precio en el momento de un bono cupón cero que paga $ 1 al vencimiento . La cuenta del mercado monetario libre de riesgo también se define como
Esta última ecuación nos permite definir , la tasa corta libre de riesgo. El marco HJM asume que la dinámica de bajo una medida de precios neutral al riesgo son los siguientes:
Dónde es un -proceso Wiener dimensional y, están Procesos adaptados . Ahora basado en estas dinámicas para, intentaremos encontrar la dinámica para y encontrar las condiciones que deben satisfacerse bajo reglas de precios neutrales al riesgo. Definamos el siguiente proceso:
La dinámica de se puede obtener mediante la regla de Leibniz :
Si definimos , y suponga que las condiciones para el teorema de Fubini se satisfacen en la fórmula para la dinámica de, obtenemos:
Según el lema de Itō , la dinámica de son entonces:
Pero debe ser una martingala bajo la medida de precios , entonces requerimos que . Diferenciando esto con respecto a obtenemos:
Lo que finalmente nos dice que la dinámica de debe ser de la siguiente forma:
Lo que nos permite fijar el precio de los bonos y derivados de tipos de interés según nuestra elección de .
Ver también
Referencias
Notas
- ^ M. Musiela, M. Rutkowski: Métodos de martingala en el modelado financiero. 2ª ed. Nueva York: Springer-Verlag, 2004. Imprimir.
- ^ El plan de un experto en matemáticas para reformar Wall Street, Newsweek, mayo de 2009
- ^ Newsweek 2009
Fuentes
- Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1990). Precio de los bonos y estructura temporal de las tasas de interés: una aproximación de tiempo discreto . Revista de análisis financiero y cuantitativo , 25: 419-440.
- Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1991). Valoración de siniestros contingentes con evolución aleatoria de tipos de interés . Review of Futures Markets , 9: 54-76.
- Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1992). Fijación de precios de los bonos y estructura temporal de las tasas de interés: una nueva metodología para la valoración de reclamaciones contingentes . Econometrica , 60 (1): 77-105. doi : 10.2307 / 2951677
- Robert Jarrow (2002). Modelización de opciones de valores de renta fija y tipos de interés (2ª ed.). Economía y Finanzas de Stanford. ISBN 0-8047-4438-6
Otras lecturas
- Árboles no tupidos para modelos Gaussianos HJM y Lognormal Forward , profesor Alan Brace, Universidad de Tecnología de Sydney
- El modelo de estructura temporal de Heath-Jarrow-Morton , Prof.Don Chance EJ Ourso College of Business , Louisiana State University
- Recombinación de árboles para modelos de tasa directa unidimensionales , Dariusz Gatarek, Wyższa Szkoła Biznesu - Universidad Nacional Louis , y Jaroslaw Kolakowski
- Implementación de la estructura temporal sin arbitraje de los modelos de tasas de interés en tiempo discreto cuando las tasas de interés se distribuyen normalmente , Dwight M Grant y Gautam Vora. The Journal of Fixed Income, marzo de 1999, vol. 8, núm. 4: págs. 85, 98
- Modelo de Heath-Jarrow-Morton y su aplicación , Vladimir I Pozdynyakov, Universidad de Pensilvania
- Un estudio empírico de las propiedades de convergencia del árbol de tipos a plazo HJM no recombinante en la fijación de precios de derivados de tipos de interés , AR Radhakrishnan New York University
- Modelado de tipos de interés con Heath, Jarrow y Morton. Dr. Donald van Deventer, Kamakura Corporation :
- Con un factor y volatilidad dependiente de la madurez
- Con un factor y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento
- Con dos factores y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento
- Con tres factores y volatilidad dependiente de la tasa y el vencimiento