En geometría , un hemipoliedro es un poliedro en estrella uniforme, algunas de cuyas caras pasan por su centro. Estas caras "hemi" se encuentran paralelas a las caras de algún otro poliedro simétrico, y su recuento es la mitad del número de caras de ese otro poliedro, de ahí el prefijo "hemi". [1]
El prefijo "hemi" también se utiliza para referirse a ciertos poliedros proyectivos , como el hemi-cubo , que son la imagen de un mapa 2 a 1 de un poliedro esférico con simetría central .
Símbolo de Wythoff y figura de vértice
Sus símbolos de Wythoff son de la forma p / ( p - q ) p / q | r ; sus figuras de vértice son cuadriláteros cruzados . Por lo tanto, están relacionados con los poliedros cantelados , que tienen símbolos de Wythoff similares. La configuración del vértice es p / q .2 r . p / ( p - q ) .2 r . Las 2 caras del gón- r pasan por el centro del modelo: si se representan como caras de poliedros esféricos , cubren un hemisferio completo y sus bordes y vértices se encuentran a lo largo de un gran círculo . La notación p / ( p - q) implica una cara { p / q } que gira hacia atrás alrededor de la figura del vértice.
Las nueve formas, enumeradas con sus símbolos Wythoff y configuraciones de vértices son:
Tetrahemihexahedron 3 / 2 3 | 2 (3.4. 3 / 2 0.4) ( p / q = 3, r = 2) | Octahemioctahedron 3 / 2 3 | 3 (3.6. 3 / 2 0.6) ( p / q = 3, r = 3) | Pequeño icosihemidodecahedron 3 / 2 3 | 5 (3,10. 3 / 2 0,10) ( p / q = 3, r = 5) | Gran icosihemidodecahedron 3 / 2 3 | 5 / 3 (3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 ) ( p / q = 3, r = 5 / 3 ) | Pequeño dodecahemicosahedron 5 / 3 5 / 2 | 3 ( 5 / 2 0.6. 5 / 3 0,6) ( p / q = 5 / 2 , r = 3) |
Cubohemioctahedron 4 / 3 4 | 3 (4.6. 4 / 3 0,6) ( p / q = 4, r = 3) | Pequeño dodecahemidodecahedron 5 / 4 5 | 5 (5,10. 5 / 4 0,10) ( p / q = 5, r = 5) | Gran dodecahemidodecahedron 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3 ( 5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 ) ( p / q = 5 / 2 , r = 5 / 3 ) | Gran dodecahemicosahedron 5 / 4 5 | 3 (5.6. 5 / 4 0,6) ( p / q = 5, r = 3) |
Tenga en cuenta que la construcción caleidoscópica de Wythoff genera los hemipoliedros no orientables (todos excepto el octahemioctaedro) como cubiertas dobles (dos hemipoliedros coincidentes).
En el plano euclidiano, la secuencia de hemipolyhedra continúa con las siguientes cuatro teselaciones de estrellas, donde aparecen apeirogons como los polígonos ecuatoriales antes mencionados: [ cita requerida ]
Original rectificada alicatado | Diagrama de aristas | Sólido | Configuración de vértice | Wythoff | Simetría |
---|---|---|---|---|---|
Azulejos cuadrados | 4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | ||
Azulejos triangulares | (3.∞.3.∞.3.∞) / 2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m | ||
Trihexagonal alicatado | 6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |||
∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
De estos cuatro mosaicos, sólo 6/5 6 | ∞ se genera como una doble cubierta por la construcción de Wythoff.
Orientabilidad
Solo el octahemioctaedro representa una superficie orientable ; los hemipoliedros restantes tienen superficies no orientables o de un solo lado.
Duales de los hemipolyhedra
Dado que los hemipolyhedra tienen caras que pasan por el centro, las figuras duales tienen vértices correspondientes en el infinito; correctamente, en el plano proyectivo real en el infinito. [2] En los modelos duales de Magnus Wenninger , se representan con prismas que se cruzan , cada uno de los cuales se extiende en ambas direcciones hasta el mismo vértice en el infinito, para mantener la simetría. En la práctica, los prismas modelo se cortan en un punto que es conveniente para el fabricante. Wenninger sugirió que estas figuras son miembros de una nueva clase de figuras de estelación , llamada estelación hasta el infinito . Sin embargo, también sugirió que estrictamente hablando no son poliedros porque su construcción no se ajusta a las definiciones habituales.
Hay 9 duales de este tipo, que comparten solo 5 formas externas distintas, cuatro de las cuales existen en pares aparentemente idénticos. Los miembros de un par visualmente idéntico dado difieren en sus disposiciones de vértices verdaderos y falsos (un vértice falso es donde dos bordes se cruzan pero no se unen). Las formas externas son:
Tetrahemihexacrón | Octahemioctacron y hexahemioctacron | Icosihemidodecacron pequeño y dodecahemidodecacron pequeño | Gran dodecahemidodecacron y gran icosihemidodecacron | Gran dodecahemicosacron y pequeño dodecahemicosacron |
3 prismas cuadrados infinitos que se cruzan | 4 prismas hexagonales infinitos que se cruzan | 6 prismas decagonales infinitos que se cruzan | 6 prismas decagrammicos infinitos que se cruzan | 10 prismas hexagonales infinitos que se cruzan |
Relación con los poliedros cuasirregulares
Los hemipoliedros aparecen en pares como facetas de los poliedros cuasirregulares con cuatro caras en un vértice. Estos poliedros cuasirregulares tienen una configuración de vértice m . n . m . n y sus aristas, además de formar las caras m - y n - gonales, también forman hemi-caras de los hemipolyhedra. Por tanto, los hemipoliedros pueden derivarse de los poliedros cuasirregulares descartando los gones m o los gones n (para mantener dos caras en un borde) y luego insertando las hemi caras. Dado que se pueden descartar los gones m o los gones n , de cada poliedro cuasirregular se puede derivar cualquiera de los dos hemipoliedros, excepto el octaedro como un tetratetraedro , donde m = n = 3 y las dos facetas son congruentes. (Esta construcción no funciona para los poliedros cuasirregulares con seis caras en un vértice, también conocidos como poliedros ditrigonales , ya que sus bordes no forman hemi-caras regulares). [1]
Dado que los hemipoliedros, como los poliedros cuasirregulares, también tienen dos tipos de caras que se alternan alrededor de cada vértice, a veces también se consideran cuasirregulares. [1]
Poliedro cuasirregular m . n . m . norte | Hemi-caras ( h -gons) | Hemipoliedro con m -gones descartados n . h . n / n - 1 . h | Hemipoliedro con n gones descartados m . h . m / m - 1 . h |
---|---|---|---|
Tetratetraedro 3.3.3.3 m = 3, n = 3 | cuadrados {4} | Tetrahemihexaedro 3.4.3 / 2.4 | Tetrahemihexaedro 3.4.3 / 2.4 |
Cuboctaedro 3.4.3.4 m = 3, n = 4 | hexágonos {6} | Cubohemioctaedro 4.6.4 / 3.6 | Octahemioctaedro 3.6.3 / 2.6 |
Icosidodecaedro 3,5,3,5 m = 3, n = 5 | decagones {10} | Pequeño dodecahemidodecaedro 5.10.5 / 4.10 | Pequeño icosihemidodecaedro 3.10.3 / 2.10 |
Dodecadodecaedro 5.5 / 2.5.5 / 2 m = 5, n = 5/2 | hexágonos {6} | Pequeño dodecahemicosaedro 5 / 2.6.5 / 3.6 | Gran dodecahemicosaedro 5.6.5 / 4.6 |
Gran icosidodecaedro 3,5 / 2,3,5 / 2 m = 3, n = 5/2 | decagramos {10/3} | Gran dodecahemidodecaedro 5 / 2.10 / 3.5 / 3.10 / 3 | Gran icosihemidodecaedro 3.10 / 3.3 / 2.10 / 3 |
Aquí m y n corresponden a p / q anteriormente, y h corresponde a 2 r anteriormente.
Referencias
- ↑ a b c Hart, George (1996). "Poliedros cuasirregulares" . Poliedros virtuales: la enciclopedia de poliedros . Consultado el 6 de mayo de 2012 .
- ↑ ( Wenninger , 2003 , p. 101 )
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas , The Royal Society, 246 (916): 401–450, doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446
- Wenninger, Magnus (1974), Modelos de poliedros , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 (Modelos Wenninger: 67, 68, 78, 89, 91, 100, 102, 106, 107)
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208
- Har'El, Z. Solución uniforme para poliedros uniformes. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El (Página 10, 5.2. Hemi polyhedra p p '| r.)
enlaces externos
- Glosario poliédrico de Stella
- Poliedros versi-regulares en poliedros visuales