En matemáticas, la semi-simplicidad es un concepto generalizado en disciplinas como el álgebra lineal , el álgebra abstracta , la teoría de la representación , la teoría de categorías y la geometría algebraica . Un objeto semi-simple es aquel que se puede descomponer en una suma de objetos simples , y los objetos simples son aquellos que no contienen subobjetos propios no triviales. Las definiciones precisas de estas palabras dependen del contexto.
Por ejemplo, si G es un grupo finito , se dice que una representación V no trivial de dimensión finita sobre un campo es simple si las únicas subrepresentaciones que contiene son {0} o V (también se denominan representaciones irreducibles ). Ahora bien, el teorema de Maschke dice que cualquier representación de dimensión finita de un grupo finito es una suma directa de representaciones simples (siempre que la característica del campo base no divida el orden del grupo). Entonces, en el caso de grupos finitos con esta condición, toda representación de dimensión finita es semi-simple. Especialmente en el álgebra y la teoría de la representación, la "semi-simplicidad" también se llama reducibilidad completa . Por ejemplo, el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa dice que una representación de dimensión finita de un grupo de Lie compacto semisimple es semisimple.
Una matriz cuadrada (en otras palabras, un operador lineal con V finito espacio vectorial dimensional) se dice que es sencillo si sus únicos subespacios invariantes bajo T son {0} y V . Si el campo es algebraicamente cerrado (como los números complejos ), entonces las únicas matrices simples son de tamaño 1 por 1. Una matriz semi-simple es aquella que es similar a una suma directa de matrices simples ; si el campo está algebraicamente cerrado, es lo mismo que diagonalizable .
Estas nociones de semi-simplicidad pueden unificarse usando el lenguaje de módulos semi-simples y generalizarse a categorías semi-simples .
Ejemplo introductorio de espacios vectoriales
Si se consideran todos los espacios vectoriales (sobre un campo , como los números reales), los espacios vectoriales simples son aquellos que no contienen subespacios adecuados. Por lo tanto, los espacios vectoriales unidimensionales son los simples. Por tanto, es un resultado básico del álgebra lineal que cualquier espacio vectorial de dimensión finita es la suma directa de espacios vectoriales simples; en otras palabras, todos los espacios vectoriales de dimensión finita son semi-simples.
Matrices semi-simples
Una matriz o, equivalentemente, un operador lineal T en una dimensión finita espacio vectorial V es llamado semi-sencilla si cada T - subespacio invariante tiene una complementaria T -invariant subespacio. [1] [2] Esto es equivalente a que el polinomio mínimo de T sea libre de cuadrados.
Para espacios vectoriales sobre un campo F algebraicamente cerrado , la semi-simplicidad de una matriz es equivalente a la diagonalizabilidad . [1] Esto se debe a que dicho operador siempre tiene un vector propio; si es, además, semi-simple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario , que a su vez tiene un vector propio y, por lo tanto, por inducción es diagonalizable. Por el contrario, los operadores diagonalizables se ven fácilmente como semi-simples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base para este espacio puede extenderse a una base propia.
Módulos y anillos semi-simples
Para un fijo anillo R , un no trivial R -módulo M es simple, si no tiene submódulos distintos de 0 y M . Un R -módulo M es semi-simple si cada R -submódulo de M es un sumando directo de R -módulo de M (el módulo trivial 0 es semi-simple, pero no simple). Para un módulo R M , M es semi-simple si y solo si es la suma directa de módulos simples (el módulo trivial es la suma directa vacía). Finalmente, R se llama anillo semi-simple si es semi-simple como un módulo R. Como resultado, esto es equivalente a requerir que cualquier finitamente generado R -módulo M es semi-simple. [3]
Los ejemplos de anillos semi-simples incluyen campos y, más generalmente, productos directos finitos de campos. Para un grupo finito G, el teorema de Maschke afirma que el anillo de grupo R [ G ] sobre algún anillo R es semi-simple si y solo si R es semi-simple y | G | es invertible en R . Dado que la teoría de los módulos de R [ G ] es la misma que la teoría de la representación de G en los módulos R , este hecho es una dicotomía importante, que causa la teoría de la representación modular , es decir, el caso cuando | G | no dividir la característica de R a ser más difícil que el caso cuando | G | no divide la característica, en particular si R es un campo de característica cero. Según el teorema de Artin-Wedderburn , un anillo Artiniano unital R es semisimple si y solo si es (isomorfo a), donde cada es un anillo de división yes el anillo de n -by- n matrices con entradas en D .
Un operador T es semi-simple en el sentido anterior si y solo si la subálgebragenerado por las potencias (es decir, iteraciones) de T dentro del anillo de endomorfismos de V es semi-simple.
Como se indicó anteriormente, la teoría de los anillos semi-simples es mucho más fácil que la de los anillos generales. Por ejemplo, cualquier secuencia corta exacta
de módulos sobre un anillo semi-simple debe dividirse, es decir, . Desde el punto de vista del álgebra homológica , esto significa que no existen extensiones no triviales . El anillo Z de números enteros no es semi-simple: Z no es la suma directa de n Z y Z / n .
Categorías semi-simples
Muchas de las nociones anteriores de semi-simplicidad son recuperadas por el concepto de una categoría C semi-simple . En resumen, una categoría es una colección de objetos y mapas entre dichos objetos, con la idea de que los mapas entre los objetos conserven alguna estructura inherente a estos objetos. Por ejemplo, R -modules y R -linear mapas entre ellos forman una categoría, por cualquier anillo R .
Una categoría abeliana [4] C se llama semi-simple si hay una colección de objetos simples, es decir, aquellos sin subobjeto que no sea el objeto cero 0 yen sí mismo, de modo que cualquier objeto X es la suma directa (es decir, coproducto o, de manera equivalente, producto) de un número finito de objetos simples. Se deduce del lema de Schur que el anillo de endomorfismo
en una categoría semi-simple es un producto de anillos de matriz sobre anillos de división, es decir, semi-simple.
Además, un anillo R es semi-simple si y solo si la categoría de módulos R generados finitamente es semisimple.
Un ejemplo de la teoría de Hodge es la categoría de estructuras de Hodge puras polarizables , es decir, estructuras de Hodge puras equipadas con una forma bilineal definida positiva adecuada . La presencia de esta denominada polarización hace que la categoría de estructuras de Hodge polarizables sea semi-simple. [5] Otro ejemplo de la geometría algebraica es la categoría de motivos puros de variedades proyectivas suaves sobre un campo k módulo una relación de equivalencia adecuada . Como fue conjeturado por Grothendieck y mostrado por Jannsen , esta categoría es semi-simple si y sólo si la relación de equivalencia es equivalencia numérica . [6] Este hecho es una piedra angular conceptual en la teoría de los motivos.
Las categorías abelianas semisimple también surgen de una combinación de una estructura t y una estructura de ponderación (adecuadamente relacionada) en una categoría triangulada . [7]
Semi-simplicidad en la teoría de la representación
Uno puede preguntarse si la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo o un álgebra de Lie es semisimple, es decir, si toda representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreductibles. La respuesta, en general, es no. Por ejemplo, la representación de dada por
no es una suma directa de irreducibles. [8] (Hay precisamente un subespacio invariante no trivial, el intervalo del primer elemento base,.) Por otro lado, si es compacta, entonces toda representación de dimensión finita de admite un producto interior con respecto al cual es unitario, mostrando que se descompone como una suma de irreductibles. [9] Del mismo modo, si es un álgebra de Lie semisimple compleja, toda representación de dimensión finita de es una suma de irreductibles. [10] La prueba original de Weyl de esto utilizó el truco unitario : es la complejidad del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conectado . Desde está simplemente conectado, hay una correspondencia uno a uno entre las representaciones de dimensión finita de y de . [11] Por lo tanto, se aplica el resultado recién mencionado sobre representaciones de grupos compactos. También es posible probar la semisimplicidad de las representaciones de directamente por medios algebraicos, como en la Sección 10.3 del libro de Hall.
Ver también: categoría de fusión (que es semisimple).
Ver también
- Un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie que es una suma directa de álgebras de Lie simples.
- Un grupo algebraico semisimple es un grupo algebraico lineal cuyo radical del componente de identidad es trivial.
- Álgebra semimple
- Representación semisimple
Referencias
- ↑ a b Lam (2001), pág. 39
- ^ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Operadores semi-simples". Álgebra lineal (2ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .
- ^ * Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso en anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas. 131 (2 ed.). Saltador. ISBN 0-387-95183-0.
- ↑ De manera más general, la misma definición de semi-simplicidad funciona para categorías aditivas pseudo-abelianas . Véase, por ejemplo, Yves André, Bruno Kahn: Nilpotence, radicaux et structure monoïdales. Con un apéndice de Peter O'Sullivan . Desgarrar. Sem. Estera. Univ. Padova 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273 .
- ^ Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM Estructuras mixtas de Hodge . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. Una serie de encuestas modernas en matemáticas], 52. Springer-Verlag, Berlín, 2008. xiv + 470 págs. ISBN 978-3-540-77015-2 ; ver Corolario 2.12
- ^ Uwe Jannsen: Motivos, equivalencia numérica y semi-simplicidad , Invent. Matemáticas. 107, 447 ~ 452 (1992)
- ^ Bondarko, Mikhail V. (2012), "Estructuras de peso y 'pesos' en el corazón de las estructuras t ", Homology Homotopy Appl. , 14 (1): 239–261, doi : 10.4310 / HHA.2012.v14.n1.a12 , Zbl 1251.18006
- ^ Hall 2015 Ejemplo 4.25
- ^ Teorema 4.28 de Hall 2015
- ^ Teorema 10.9 de Hall 2015
- ^ Teorema 5.6 de Hall 2015
- Hall, Brian C. (2015), grupos de mentiras, álgebras de mentira y representaciones: una introducción elemental , textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer
enlaces externos
- ¿Son semisimples las categorías de tensores no degenerados abelianos?
- http://ncatlab.org/nlab/show/semisimple+category