En matemáticas , el teorema de automorfismos de Hurwitz delimita el orden del grupo de automorfismos , a través de mapeos conformes que preservan la orientación , de una superficie de Riemann compacta del género g > 1, indicando que el número de tales automorfismos no puede exceder 84 ( g - 1). Un grupo para el que se alcanza el máximo se denomina grupo de Hurwitz , y la superficie de Riemann correspondiente, una superficie de Hurwitz . Debido a que las superficies compactas de Riemann son sinónimo de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares , una superficie de Hurwitz también se puede llamar curva de Hurwitz.. [1] El teorema lleva el nombre de Adolf Hurwitz , quien lo demostró en ( Hurwitz 1893 ).
De Hurwitz obligado también es válido para las curvas algebraicas sobre un cuerpo de característica 0, y sobre los campos de característica positiva p > 0 para los grupos cuyo fin es primos entre sí a p , pero pueden fallar sobre los campos de característica positiva p > 0 cuando p divide el orden del grupo. Por ejemplo, la doble cobertura de la línea proyectiva y 2 = x p - x ramificada en todos los puntos definidos sobre el campo principal tiene género g = ( p −1) / 2 pero es actuada por el grupo SL 2 ( p ) de orden p 3 - p .
Interpretación en términos de hiperbolicidad
Uno de los temas fundamentales de la geometría diferencial es una tricotomía entre las variedades de Riemann de curvatura K positiva, cero y negativa . Se manifiesta en muchas situaciones diversas y en varios niveles. En el contexto de superficies compactas de Riemann X , a través del teorema de uniformización de Riemann , esto puede verse como una distinción entre las superficies de diferentes topologías:
- X una esfera , una superficie compacta de Riemann de género cero con K > 0;
- X un toro plano , o una curva elíptica , una superficie de Riemann del género uno con K = 0;
- y X una superficie hiperbólica , que tiene un género mayor que uno y K <0.
Mientras que en los dos primeros casos la superficie X admite un número infinito de automorfismos conformes (de hecho, el grupo de automorfismos conformes es un grupo de Lie complejo de dimensión tres para una esfera y de dimensión uno para un toro), una superficie de Riemann hiperbólica solo admite una discreta conjunto de automorfismos. El teorema de Hurwitz afirma que, de hecho, más es cierto: proporciona un límite uniforme en el orden del grupo de automorfismo en función del género y caracteriza aquellas superficies de Riemann para las que el límite es agudo .
Declaración y prueba
Teorema : Sea ser una superficie de Riemann lisa y conectada del género . Entonces su grupo de automorfismo tiene tamaño como máximo
Prueba: asuma por ahora que es finito (lo demostraremos al final).
- Considere el mapa de cocientes . Desde actúa mediante funciones holomórficas, el cociente es localmente de la forma y el cociente es una superficie lisa de Riemann. El mapa del cocientees una cubierta ramificada, y veremos a continuación que los puntos de ramificación corresponden a las órbitas que tienen un estabilizador no trivial. Dejar ser el género de .
- Por la fórmula de Riemann-Hurwitz , donde la suma supera el puntos de ramificación para el mapa del cociente . El índice de ramificación a es solo el orden del grupo estabilizador, ya que dónde el número de preimágenes de (el número de puntos en la órbita), y . Por definición de puntos de ramificación, para todos índices de ramificación.
Ahora llama al lado derecho y desde Debemos tener . Reordenando la ecuación encontramos:
- Si luego , y
- Si , luego y así que eso ,
- Si , luego y
- Si luego , así que eso
- Si luego , así que eso ,
- Si a continuación, escribir . Podemos asumir.
- Si luego así que eso ,
- Si luego
- Si luego así que eso ,
- Si luego así que eso .
En conclusión, .
Para mostrar que es finito, tenga en cuenta que actúa sobre la cohomología preservando la descomposición de Hodge y la celosía .
- En particular, su acción sobre da un homomorfismo con imagen discreta.
- Además, la imagen preserva el producto interno hermitiano natural no degenerado en . En particular la imagenestá contenido en el grupo unitario que es compacto . Así la imagen no es solo discreto, sino finito.
- Queda por demostrar que tiene kernel finito. De hecho, probaremoses inyectable. Asumir actúa como la identidad en . Sies finito, entonces por el teorema del punto fijo de Lefschetz ,
Esto es una contradicción, por lo que es infinito. Desde es una subvariedad compleja cerrada de dimensión positiva y es una curva suave conectada (es decir ), Debemos tener . Por lo tanto es la identidad, y concluimos que es inyectable y es finito. QED
Corolario de la demostración : una superficie de Riemann de género posee automorfismos si y solo si es una cubierta ramificada con tres puntos de ramificación, de índices 2 , 3 y 7 .
La idea de otra prueba y construcción de las superficies de Hurwitz
Según el teorema de la uniformización, cualquier superficie hiperbólica X , es decir, la curvatura gaussiana de X es igual a uno negativo en cada punto, está cubierta por el plano hiperbólico . Los mapeos conformes de la superficie corresponden a automorfismos que preservan la orientación del plano hiperbólico. Según el teorema de Gauss-Bonnet , el área de la superficie es
- Una ( X ) = - 2π χ ( X ) = 4π ( g - 1).
Para hacer que el grupo de automorfismos G de X sea lo más grande posible, queremos que el área de su dominio fundamental D para esta acción sea lo más pequeña posible. Si el dominio fundamental es un triángulo con el vértice ángulos π / p, π / q y π / r, que define un suelo de baldosas del plano hiperbólico, a continuación, p , q , y r son números enteros mayores que uno, y la zona es
- Una ( D ) = π (1 - 1 / p - 1 / q - 1 / r ).
Por lo tanto, estamos pidiendo números enteros que hagan que la expresión
- 1 - 1 / p - 1 / q - 1 / r
estrictamente positivo y lo más pequeño posible. Este valor mínimo es 1/42 y
- 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42
da un triple único (hasta la permutación) de tales números enteros. Esto indicaría que la orden | G | del grupo de automorfismo está delimitado por
- A ( X ) / A ( D ) ≤ 168 ( g - 1).
Sin embargo, un razonamiento más delicado muestra que esto es una sobreestimación por el factor de dos, porque el grupo G puede contener transformaciones de inversión de orientación. Para los automorfismos conformales que preservan la orientación, el límite es 84 ( g - 1).
Construcción
Para obtener un ejemplo de un grupo de Hurwitz, comencemos con una inclinación (2,3,7) del plano hiperbólico. Su grupo de simetría completo es el grupo de triángulos completo (2,3,7) generado por las reflexiones a través de los lados de un único triángulo fundamental con los ángulos π / 2, π / 3 y π / 7. Dado que una reflexión voltea el triángulo y cambia la orientación, podemos unir los triángulos en pares y obtener un polígono de mosaico que conserva la orientación. Una superficie de Hurwitz se obtiene "cerrando" una parte de este mosaico infinito del plano hiperbólico a una superficie compacta de Riemann del género g . Esto implicará necesariamente exactamente 84 ( g - 1) baldosas de triángulo doble.
Los siguientes dos mosaicos regulares tienen el grupo de simetría deseado; el grupo de rotación corresponde a la rotación alrededor de un borde, un vértice y una cara, mientras que el grupo de simetría completo también incluiría una reflexión. Los polígonos en el mosaico no son dominios fundamentales; el mosaico de (2,3,7) triángulos refina ambos y no es regular.
mosaico heptagonal de orden 3 | mosaico triangular order-7 |
Las construcciones Wythoff producen más mosaicos uniformes , produciendo ocho mosaicos uniformes , incluidos los dos regulares que se dan aquí. Todos estos descienden a las superficies de Hurwitz, produciendo mosaicos de las superficies (triangulación, mosaico por heptágonos, etc.).
De los argumentos anteriores se puede deducir que un grupo Hurwitz G se caracteriza por la propiedad de que es un cociente finita del grupo con dos generadores de un y b y tres relaciones
así G es un grupo finito generado por dos elementos de orden dos y tres, cuyo producto es de orden siete. Más precisamente, cualquier superficie de Hurwitz, es decir, una superficie hiperbólica que realiza el orden máximo del grupo de automorfismos para las superficies de un género dado, se puede obtener mediante la construcción dada. Esta es la última parte del teorema de Hurwitz.
Ejemplos de grupos y superficies de Hurwitz
El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL (2,7) , de orden 168, y la curva correspondiente es la curva cuártica de Klein . Este grupo también es isomorfo a PSL (3,2) .
La siguiente es la curva de Macbeath , con el grupo de automorfismo PSL (2,8) de orden 504. Muchos más grupos simples finitos son grupos de Hurwitz; por ejemplo, todos menos 64 de los grupos alternos son grupos de Hurwitz, siendo el ejemplo más grande que no es de Hurwitz el grado 167. El grupo alterno más pequeño que es un grupo de Hurwitz es A 15 .
La mayoría de los grupos lineales especiales proyectivos de gran rango son grupos de Hurwitz ( Lucchini, Tamburini & Wilson 2000 ). Para los rangos más bajos, menos de esos grupos son Hurwitz. Para n p el orden de p módulo 7, se tiene que PSL (2, q ) es Hurwitz si y solo si q = 7 o q = p n p . De hecho, PSL (3, q ) es Hurwitz si y solo si q = 2, PSL (4, q ) nunca es Hurwitz, y PSL (5, q ) es Hurwitz si y solo si q = 7 4 o q = p n p , ( Tamburini y Vsemirnov 2006 ).
Del mismo modo, muchos grupos de tipo Lie son Hurwitz. Los grupos clásicos finitos de gran rango son Hurwitz, ( Lucchini & Tamburini 1999 ). Los grupos de Lie excepcionales del tipo G2 y los grupos Ree del tipo 2G2 son casi siempre Hurwitz ( Malle 1990 ). Otras familias de grupos de Lie excepcionales y retorcidos de bajo rango se muestran como Hurwitz en ( Malle 1995 ).
Hay 12 grupos esporádicos que se pueden generar como grupos Hurwitz: los grupos Janko J 1 , J 2 y J 4 , los grupos de Fischer Fi 22 y FI' 24 , el grupo Rudvalis , el grupo llevó a cabo , el grupo Thompson , la Harada Norton Group , el tercer grupo Conway Co 3 , el grupo Lyons y el Monster , ( Wilson 2001 ).
Grupos de automorfismo en género bajo
El más grande | Aut ( X ) | puede obtener para una superficie de Riemann X del género g se muestra a continuación, para 2≤ g ≤10, junto con una superficie X 0 con | Aut ( X 0 ) | máximo.
género g | Mayor posible | Aut ( X ) | | X 0 | Aut ( X 0 ) |
---|---|---|---|
2 | 48 | Curva de bolza | GL 2 (3) |
3 | 168 (con destino a Hurwitz) | Klein cuartico | PSL 2 (7) |
4 | 120 | Traer curva | S 5 |
5 | 192 | ||
6 | 150 | ||
7 | 504 (con destino a Hurwitz) | Curva de Macbeath | PSL 2 (8) |
8 | 336 | ||
9 | 320 | ||
10 | 432 | ||
11 | 240 |
En este rango, solo existe una curva de Hurwitz en el género g = 3 y g = 7.
Ver también
- (2,3,7) grupo triangular
Notas
- ^ Técnicamente hablando, existe una equivalencia de categorías entre la categoría de superficies compactas de Riemann con los mapas conformales que preservan la orientación y la categoría de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares con los morfismos algebraicos.
- ^ ( Richter ) Tenga en cuenta que cada cara en el poliedro consta de varias caras en el mosaico: dos caras triangulares constituyen una cara cuadrada y así sucesivamente, según esta imagen explicativa .
Referencias
- Hurwitz, A. (1893), "Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich", Mathematische Annalen , 41 (3): 403–442, doi : 10.1007 / BF01443420 , JFM 24.0380.02 .
- Lucchini, A .; Tamburini, MC (1999), "Grupos clásicos de gran rango como grupos de Hurwitz", Journal of Algebra , 219 (2): 531–546, doi : 10.1006 / jabr.1999.7911 , ISSN 0021-8693 , MR 1706821
- Lucchini, A .; Tamburini, MC; Wilson, JS (2000), "Hurwitz groups of large rank", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 61 (1): 81–92, doi : 10.1112 / S0024610799008467 , ISSN 0024-6107 , MR 1745399
- Malle, Gunter (1990), "Hurwitz groups and G2 (q)", Canadian Mathematical Bulletin , 33 (3): 349–357, doi : 10.4153 / CMB-1990-059-8 , ISSN 0008-4395 , MR 1077110
- Malle, Gunter (1995), " Grupos de Hurwitz excepcionales de rango pequeño", Grupos de tipo Lie y sus geometrías (Como, 1993) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 207 , Cambridge University Press , págs. 173–183, MR 1320522
- Tamburini, MC; Vsemirnov, M. (2006), "Irreducible (2,3,7) -subgoups of PGL (n, F) for n ≤ 7", Journal of Algebra , 300 (1): 339–362, doi : 10.1016 / j .jalgebra.2006.02.030 , ISSN 0021-8693 , MR 2228652
- Wilson, RA (2001), "The Monster is a Hurwitz group" , Journal of Group Theory , 4 (4): 367–374, doi : 10.1515 / jgth.2001.027 , MR 1859175 , archivado desde el original el 2012-03- 05 , consultado el 4 de septiembre de 2015
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , consultado el 15 de abril de 2010CS1 maint: ref duplica el valor predeterminado ( enlace )