Esta página enumera ejemplos notables de pruebas matemáticas publicadas incompletas . La mayoría de estos fueron aceptados como correctos durante varios años, pero luego se descubrió que contenían lagunas. Hay dos ejemplos en los que posteriormente se encontró una prueba completa y en los que el supuesto resultado resultó ser falso.
Ejemplos de
Esta sección enumera ejemplos de pruebas que fueron publicadas y aceptadas como completas antes de que se encontrara un vacío o error en ellas. No incluye ninguno de los muchos intentos de solución incompletos por aficionados a problemas famosos como el último teorema de Fermat o la cuadratura del círculo . Tampoco incluye preimpresiones no publicadas que se retiraron porque se encontró un error antes de la publicación.
Los ejemplos están ordenados aproximadamente según la fecha de publicación de la prueba incompleta. Varios de los ejemplos de la lista se tomaron de las respuestas a las preguntas del sitio MathOverflow , que se enumeran en los enlaces externos a continuación. Los ejemplos utilizan los siguientes símbolos:
Símbolo Significado El resultado es correcto y luego se demostró rigurosamente. El resultado es incorrecto como se indicó, pero luego se probó rigurosamente una versión modificada. El estado del resultado no está claro El estado del resultado no está claro, pero luego se probó rigurosamente una versión modificada. El resultado es incorrecto como se indicó, pero se sugirió una versión modificada cuyo estado no está claro. El resultado es incorrecto.
Elementos de Euclides . Las demostraciones de Euclides son esencialmente correctas, pero estrictamente hablando a veces contienen lagunas porque tácitamente usa algunas suposiciones no declaradas, como la existencia de puntos de intersección . En 1899, David Hilbert dio un conjunto completo de axiomas (de segundo orden ) para la geometría euclidiana, llamados axiomas de Hilbert , y entre 1926 y 1959 Tarski dio algunos conjuntos completos de axiomas de primer orden , llamados axiomas de Tarski .
Desigualdad isoperimétrica . Para tres dimensiones, establece que la forma que encierra el volumen máximo para su área de superficie es la esfera. Fue formulado por Arquímedes pero no probado rigurosamente hasta el siglo XIX, por Hermann Schwarz .
Infinitesimales . En el siglo XVIII hubo un uso generalizado de infinitesimales en cálculo, aunque estos no estaban realmente bien definidos. El cálculo se sentó sobre bases firmes en el siglo XIX, y Robinson puso infinitesimales en una base rigurosa con la introducción del análisis no estándar en el siglo XX.
Teorema fundamental del álgebra (ver Historia ). Se hicieron muchos intentos incompletos o incorrectos para probar este teorema en el siglo XVIII, incluso por d'Alembert (1746), Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772), Laplace (1795), Wood (1798) y Gauss (1799). La primera prueba rigurosa fue publicada por Argand en 1806.
En 1759 Euler afirmó que no había recorridos de caballeros cerrados en un tablero de ajedrez con 3 filas, pero en 1917 Ernest Bergholt encontró recorridos en tableros de 3 por 10 y 3 por 12. [1]
Conjetura de Euler sobre cuadrados grecolatinos . En la década de 1780, Euler conjeturó que no existen tales cuadrados para ningún número n ≡ 2 (mod 4) extrañamente par . En 1959, RC Bose y SS Shrikhande construyeron contraejemplos de orden 22. Luego, ET Parker encontró un contraejemplo de orden 10 usando una búsqueda por computadora de una hora. Finalmente, Parker, Bose y Shrikhande mostraron que esta conjetura es falsa para todo n ≥ 10.
En 1798 AM Legendre afirmó que 6 no es la suma de 2 cubos racionales, [2] que, como señaló Lamé en 1865, es falso como 6 = (37/21) 3 + (17/21) 3 .
En 1803, Gian Francesco Malfatti afirmó demostrar que una determinada disposición de tres círculos cubriría el área máxima posible dentro de un triángulo rectángulo. Sin embargo, para hacerlo, hizo ciertas suposiciones injustificadas sobre la configuración de los círculos. En 1930 se demostró que los círculos en una configuración diferente podían cubrir un área mayor, y en 1967 que la configuración de Malfatti nunca fue óptima. Ver círculos Malfatti .
En 1806, André-Marie Ampère afirmó probar que una función continua es diferenciable en la mayoría de los puntos (aunque no está del todo claro lo que afirma, ya que no dio una definición precisa de una función). Sin embargo, en 1872 Weierstrass dio un ejemplo de una función continua que no era diferenciable en ninguna parte: la función Weierstrass .
Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . En 1808, Legendre publicó un intento de demostración del teorema de Dirichlet, pero como señaló Dupré en 1859, uno de los lemas utilizados por Legendre es falso. Dirichlet dio una prueba completa en 1837.
Convergencia uniforme . En su Cours d'Analyse de 1821, Cauchy "demostró" que si una suma de funciones continuas converge puntualmente , entonces su límite también es continuo. Sin embargo, Abel observó tres años después que este no es el caso. Para que la conclusión sea válida, la "convergencia puntual" debe sustituirse por " convergencia uniforme ". No está del todo claro que el resultado original de Cauchy fuera incorrecto, porque su definición de convergencia puntual era un poco vaga y puede haber sido más fuerte que la que se usa actualmente, y hay formas de interpretar su resultado para que sea correcto. [3] Hay muchos contraejemplos que utilizan la definición estándar de convergencia puntual. Por ejemplo, una serie de Fourier de funciones seno y coseno , todas continuas, puede converger puntualmente a una función discontinua como una función escalonada .
Teoría de la intersección . En 1848, Steiner afirmó que el número de cónicas tangentes a 5 determinadas cónicas es 7776 = 6 5 , pero más tarde se dio cuenta de que esto era incorrecto. El número correcto 3264 fue encontrado por Berner en 1865 y por Ernest de Jonquieres alrededor de 1859 y por Chasles en 1864 usando su teoría de las características. Sin embargo, estos resultados, como muchos otros en la teoría clásica de la intersección, no parecen haber recibido pruebas completas hasta el trabajo de Fulton y Macpherson aproximadamente en 1978.
Principio de Dirichlet . Esto fue utilizado por Riemann en 1851, pero Weierstrass encontró un contraejemplo de una versión de este principio en 1870, y Hilbert declaró y probó una versión correcta en 1900.
Las demostraciones del teorema de Kronecker-Weber por Kronecker (1853) y Weber (1886) tenían lagunas. Hilbert dio la primera prueba completa en 1896.
Cayley ( 1878 ) afirmó incorrectamente que hay tres grupos diferentes de orden 6. Este error es extraño porque en un artículo anterior de 1854 afirmó correctamente que solo hay dos de esos grupos.
En 1879, Alfred Kempe publicó una supuesta prueba del teorema de los cuatro colores , cuya validez como prueba fue aceptada durante once años antes de ser refutada por Percy Heawood . Peter Guthrie Tait dio otra demostración incorrecta en 1880 que Julius Petersen demostró que era incorrecta en 1891. Sin embargo, la demostración de Kempe fue suficiente para mostrar el teorema de los cinco colores más débil . El teorema de los cuatro colores fue finalmente probado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976. [4]
Los fundamentos de las matemáticas de Frege en su libro de 1879 Begriffsschrift resultaron ser inconsistentes debido a la paradoja de Russell , encontrada en 1901.
En 1885, Evgraf Fedorov clasificó los poliedros convexos con caras rómbicas congruentes, pero perdió un caso. Stanko Bilinski redescubrió en 1960 el dodecaedro Bilinski (olvidado después de su anterior publicación de 1752) y demostró que, con la adición de esta forma, la clasificación era completa. [5]
Teorema de Schröder-Bernstein . En 1896, Schröder publicó un boceto de prueba [6] que, sin embargo, Alwin Reinhold Korselt demostró que era defectuoso en 1911 [7] (confirmado por Schröder). [8] [9]
Teorema de la curva de Jordan . Ha habido cierta controversia sobre si la prueba original de Jordan de esto en 1887 contiene lagunas. Oswald Veblen en 1905 afirmó que la prueba de Jordan está incompleta, pero en 2007 Hales dijo que las lagunas son menores y que la prueba de Jordan está esencialmente completa.
Wronskianos . En 1887, Mansion afirmó en su libro de texto que si un wronskiano de algunas funciones desaparece en todas partes, entonces las funciones son linealmente dependientes. En 1889 Peano señaló el contraejemplo x 2 y x | x |. El resultado es correcto si las funciones son analíticas .
Vahlen ( 1891 ) publicó un supuesto ejemplo de una curva algebraica en un espacio proyectivo tridimensional que no podía definirse como ceros de 3 polinomios, pero en 1941 Perron encontró 3 ecuaciones que definen la curva de Vahlen. En 1961, Kneser demostró que cualquier curva algebraica en el espacio proyectivo tridimensional se puede dar como ceros de tres polinomios. [10]
En 1898, Miller publicó un artículo afirmando incorrectamente que probaba que el grupo Mathieu M 24 no existe, aunque en 1900 señaló que su prueba era incorrecta.
Little afirmó en 1900 que el retorcimiento de un diagrama de nudos reducido es invariante. Sin embargo, en 1974, Perko descubrió un contraejemplo llamado par Perko , un par de nudos que figuran como distintos en las tablas durante muchos años y que de hecho son iguales.
En 1905, Lebesgue intentó probar el resultado (correcto) de que una función definida implícitamente por una función de Baire es Baire, pero su demostración asumió incorrectamente que la proyección de un conjunto de Borel es Borel. Suslin señaló el error y se inspiró en él para definir los conjuntos analíticos como imágenes continuas de conjuntos de Borel.
La conjetura de la función totient de Carmichael fue establecida como un teorema por Robert Daniel Carmichael en 1907, pero en 1922 señaló que su demostración estaba incompleta. A partir de 2016 el problema sigue abierto.
El vigésimo primer problema de Hilbert . En 1908 Plemelj afirmó haber demostrado la existencia de ecuaciones diferenciales fucsianas con cualquier grupo de monodromía dado , pero en 1989 Bolibruch descubrió un contraejemplo.
Lema de Dehn . Dehn publicó un intento de prueba en 1910, pero Kneser encontró una brecha en 1929. Finalmente fue probado en 1956 por Christos Papakyriakopoulos .
Escuela italiana de geometría algebraica . La mayoría de las lagunas en las pruebas se deben a un sutil descuido técnico o, antes del siglo XX, a una falta de definiciones precisas. Una excepción importante a esto es la escuela italiana de geometría algebraica en la primera mitad del siglo XX, donde los estándares más bajos de rigor gradualmente se volvieron aceptables. El resultado fue que hay muchos artículos en esta área donde las demostraciones están incompletas o los teoremas no se expresan con precisión. Esta lista contiene algunos ejemplos representativos, donde el resultado no solo se demostró de manera incompleta, sino que también fue irremediablemente erróneo.
Decimosexto problema de Hilbert sobre la finitud del número de ciclos límite de un campo vectorial polinomial plano. Henri Dulac publicó una solución parcial a este problema en 1923, pero alrededor de 1980 Écalle e Ilyashenko encontraron de forma independiente un vacío serio y lo solucionaron alrededor de 1991. [11]
En 1925, Ackermann publicó una prueba de que un sistema débil puede probar la consistencia de una versión del análisis, pero von Neumann encontró un error explícito en él unos años más tarde. Los teoremas de incompletitud de Gödel mostraron que no es posible probar la consistencia del análisis utilizando sistemas más débiles.
En 1929, Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann publicaron una prueba del teorema de las tres geodésicas , que luego se descubrió que tenía fallas. Werner Ballmann completó la prueba unos 50 años después.
Grupos de orden 64. En 1930 Miller publicó un artículo afirmando que hay 294 grupos de orden 64. Hall y Senior demostraron en 1964 que el número correcto es 267.
El intento original publicado por Church en 1932 de definir un sistema formal fue inconsistente, al igual que su corrección en 1933. La parte consistente de su sistema más tarde se convirtió en el cálculo lambda .
Kurt Gödel demostró en 1933 que la verdad de una cierta clase de oraciones de aritmética de primer orden , conocida en la literatura como [∃ * ∀ 2 ∃ * , all , (0)], era decidible . Es decir, existía un método para decidir correctamente si alguna afirmación de esa forma era verdadera. En la oración final de ese artículo, afirmó que la misma prueba funcionaría para la decidibilidad de la clase más grande [∃ * ∀ 2 ∃ * , all , (0)] = , que también incluye fórmulas que contienen un predicado de igualdad. Sin embargo, a mediados de la década de 1960, Stål Aanderaa demostró que la demostración de Gödel no sería válida para la clase más grande, y en 1982 Warren Goldfarb demostró que la validez de las fórmulas de la clase más grande era de hecho indecidible. [12] [13]
Teorema de Grunwald-Wang . Wilhelm Grunwald publicó una prueba incorrecta en 1933 de un teorema incorrecto, y George Whaples publicó más tarde otra prueba incorrecta. Shianghao Wang encontró un contraejemplo en 1948 y publicó una versión corregida del teorema en 1950.
En 1933, George David Birkhoff y Waldemar Joseph Trjitzinsky publicaron un teorema muy general [14] sobre la asintótica de secuencias que satisfacen recurrencias lineales. El teorema fue popularizado por Jet Wimp y Doron Zeilberger en 1985. [15] Sin embargo, aunque el resultado es probablemente cierto, a partir de ahora (2021) la demostración de Birkhoff y Trjitzinsky no es generalmente aceptada por los expertos, y el teorema está (aceptado) probado solo en casos especiales. [dieciséis]
En 1934, Severi afirmó que el espacio de clases de ciclos de equivalencia racional en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo.
Regla de Littlewood-Richardson . Robinson publicó una prueba incompleta en 1938, aunque las lagunas no se notaron durante muchos años. Las primeras pruebas completas fueron dadas por Marcel-Paul Schützenberger en 1977 y Thomas en 1974.
Conjetura jacobiana . Keller hizo esto como una pregunta en 1939, y en los años siguientes se publicaron varias pruebas incompletas, incluidas 3 de B. Segre, pero Vitushkin encontró lagunas en muchas de ellas. La conjetura jacobiana es (a partir de 2016) un problema abierto, y regularmente se anuncian más pruebas incompletas. Hyman Bass, Edwin H. Connell y David Wright ( 1982 ) discuten los errores en algunas de estas pruebas incompletas.
Quine publicó su descripción original del sistema Lógica matemática en 1940, pero en 1942 Rosser demostró que era inconsistente. Wang encontró una corrección en 1950; la coherencia de este sistema revisado aún no está clara.
Uno de los muchos ejemplos de geometría algebraica en la primera mitad del siglo XX: Severi (1946) afirmó que una superficie de grado- n en el espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo (n +2
3) -4 nodos, B. Segre señaló que esto estaba mal; por ejemplo, para el grado 6 el número máximo de nodos es 65, alcanzado por la sextica de Barth , que es más que el máximo de 52 reclamado por Severi.Invariante de Rokhlin . Rokhlin afirmó incorrectamente en 1951 que el tercer tallo estable de los grupos homotópicos de esferas es de orden 12. En 1952 descubrió su error: de hecho es cíclico de orden 24. La diferencia es crucial ya que da como resultado la existencia de la Rokhlin invariante, herramienta fundamental en la teoría de variedades tridimensionales y tetradimensionales .
Números de clase de campos cuadráticos imaginarios . En 1952, Heegner publicó una solución a este problema. Su artículo no fue aceptado como una prueba completa ya que contenía un espacio, y las primeras pruebas completas fueron dadas alrededor de 1967 por Baker y Stark . En 1969, Stark mostró cómo llenar el vacío en el artículo de Heegner.
Un refuerzo del decimosexto problema de Hilbert que pregunta si existe un límite superior finito uniforme para el número de ciclos límite de campos vectoriales polinomiales planos de grado n dado . En la década de 1950, Evgenii Landis e Ivan Petrovsky publicaron una supuesta solución, pero se demostró que estaba equivocada a principios de la década de 1960. [11]
En 1954 Zarankiewicz afirmó haber resuelto el problema de la fábrica de ladrillos de Turán sobre el número de cruces de gráficos bipartitos completos , pero Kainen y Ringel más tarde notaron un vacío en su demostración.
En 1954, Igor Shafarevich publicó una prueba de que todo grupo finito solucionable es un grupo de Galois sobre los racionales . Sin embargo, Schmidt [ ¿quién? ] señaló una laguna en el argumento en el primer 2, que Shafarevich solucionó en 1989.
Problema de realización de Nielsen . Kravetz afirmó haber resuelto esto en 1959 mostrando primero que el espacio de Teichmüller está curvado negativamente, pero en 1974 Masur demostró que no está curvado negativamente. El problema de la realización de Nielsen fue finalmente resuelto en 1980 por Kerckhoff .
Problema de Yamabe . Yamabe reclamó una solución en 1960, pero Trudinger descubrió una brecha en 1968, y no se dio una prueba completa hasta 1984.
En 1961, Jan-Erik Roos publicó un teorema incorrecta sobre la desaparición de la primera funtor derivado del límite inverso funtor bajo ciertas condiciones generales. [17] Sin embargo, en 2002, Amnon Neeman construyó un contraejemplo. [18] Roos demostró en 2006 que el teorema se cumple si se agrega la suposición de que la categoría tiene un conjunto de generadores . [19]
Conjetura de Mordell sobre campos funcionales . Manin publicó una prueba en 1963, pero Coleman (1990) encontró y corrigió un vacío en la prueba.
El multiplicador de Schur del grupo Mathieu M 22 es particularmente notorio ya que se calculó mal más de una vez: Burgoyne y Fong (1966) primero afirmaron que tenía el orden 3, luego, en una corrección de 1968, afirmaron que tenía el orden 6; su orden es de hecho (en la actualidad se cree que es) 12. Esto provocó un error en el título de Janko papel 's Un nuevo grupo finito simple de orden 86.775.570.046.077.562.880 que posee M 24 y el grupo de cubierta completa de M 22 como subgrupo en J4 : no tiene el grupo de cobertura completo como subgrupo, ya que el grupo de cobertura total es más grande de lo que se pensaba en ese momento.
La declaración original de la clasificación de grupos N por Thompson en 1968 omitió accidentalmente el grupo de Tits , aunque pronto lo solucionó.
En 1967 Reinhardt propuso los cardenales Reinhardt , que Kunen demostró ser incompatibles con ZFC en 1971, aunque no se sabe que sean incompatibles con ZF .
Estructuras complejas en las 6 esferas. En 1969 Alfred Adler publicó un artículo en el American Journal of Mathematics afirmando que la 6-esfera no tiene una estructura compleja. Su argumento estaba incompleto, y esto (a partir de 2016) sigue siendo un gran problema abierto.
Jean-Yves Girard demostró que la versión original de la teoría de tipos intuicionista propuesta en 1971 por Martin-Löf era inconsistente en 1972, y fue reemplazada por una versión corregida.
En 1973 Britton publicó un intento de solución de 282 páginas al problema de Burnside . En su demostración asumió la existencia de un conjunto de parámetros que satisfacen algunas desigualdades, pero Adian señaló que estas desigualdades eran inconsistentes. Novikov y Adian habían encontrado previamente una solución correcta alrededor de 1968.
En 1975, Leitzel, Madan y Queen afirmaron incorrectamente que solo hay 7 campos de función sobre campos finitos con género> 0 y clase número 1, pero en 2013 Stirpe encontró otro; de hecho, hay exactamente 8.
Geodésicas cerradas . En 1978, Wilhelm Klingenberg publicó una prueba de que las variedades compactas lisas sin límite tienen infinitas geodésicas cerradas. Su prueba fue controvertida, y actualmente (a partir de 2016) no hay consenso sobre si su prueba está completa.
Clasificación de grupos simples finitos . En 1983, Gorenstein anunció que se había completado la prueba de la clasificación, pero se le había informado mal sobre el estado de la prueba de clasificación de los grupos de cuasitinas , que tenían una seria laguna. Aschbacher y Smith publicaron una prueba completa de este caso en 2004.
Conjetura del telescopio . Ravenel anunció una refutación de esto en 1992, pero luego la retiró, y la conjetura sigue abierta.
Conjetura de Kepler . Hsiang publicó una prueba incompleta de esto en 1993. En 1998, Hales publicó una prueba basada en largos cálculos por computadora.
Problema de Busemann-Petty . Zhang publicó dos artículos en Annals of Mathematics en 1994 y 1999, en el primero de los cuales demostró que el problema de Busemann-Petty en R 4 tiene una solución negativa, y en el segundo de los cuales demostró que tiene una solución positiva.
Pilas algebraicas . El libro Laumon & Moret-Bailly (2000) sobre pilas algebraicas afirmaba erróneamente que los morfismos de las pilas algebraicas inducen morfismos de lisse-étale topoi . Los resultados en función de esto fueron reparados por Olsson (2007) .
Paquetes de matroides. En 2003, Biss publicó un artículo en Annals of Mathematics afirmando mostrar que los paquetes matroides son equivalentes a los paquetes de vectores reales, pero en 2009 publicó una corrección que señalaba una seria laguna en la prueba. [20] Su corrección se basó en un artículo de 2007 de Mnëv. [21]
En 2012, el matemático japonés Shinichi Mochizuki publicó en línea una serie de artículos en los que afirma probar la conjetura del abc . A pesar de la publicación posterior en una revista revisada por pares, su prueba no ha sido aceptada como correcta en la comunidad matemática convencional. [22]
Lecat (1935) es una lista de más de cien páginas de errores publicados (en su mayoría bastante triviales) cometidos por matemáticos.
Ver también
- Lista de pruebas matemáticas largas
- Lista de ideas matemáticas refutadas
Notas
- ↑ Zubkov, AM (2011). "Euler y cálculo combinatorio". Actas del Instituto de Matemáticas Steklov . 274 : 162-168. doi : 10.1134 / s0081543811070030 .
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- Vahlen, KT (1891), "Bemerkung zur vollställndigen Darstellung algebraischer Raumkurven" , J. Reine Angew. Matemáticas. , 108 : 346–347
enlaces externos
- Correo electrónico de David Mumford sobre los errores de la escuela italiana de geometría algebraica con Severi
- Las primeras 9 páginas de [1] mencionan algunos ejemplos de resultados incorrectos en la teoría de la homotopía.
Preguntas de MathOverflow
- Ilya Nikokoshev, ¿El error matemático más interesante?
- Kevin Buzzard, ¿qué errores cometieron realmente los geómetras algebraicos italianos?
- ¿Jagy, aceptó ampliamente los resultados matemáticos que luego se mostraron incorrectos?
- John Stillwell, ¿Cuáles son algunos resultados correctos descubiertos con pruebas incorrectas (o ninguna)?
- Moritz. Teoremas degradados a conjeturas
- Mei Zhang, pruebas que se muestran incorrectas después de la formalización con asistente de pruebas
Preguntas de StackExchange
- Steven-Owen, en la historia de las matemáticas, ¿ha habido alguna vez un error?