Las matemáticas de la relatividad general son complejas. En Newton teorías de movimiento, la longitud de un objeto y la tasa 's en la que pasa el tiempo se mantienen constantes mientras que el objeto se acelera , lo que significa que muchos problemas en la mecánica de Newton pueden ser resueltos por el álgebra solo. En relatividad , sin embargo, la longitud de un objeto y la velocidad a la que pasa el tiempo cambian apreciablemente a medida que la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz , lo que significa que se requieren más variables y matemáticas más complicadas para calcular el movimiento del objeto. Como resultado, la relatividad requiere el uso de conceptos como vectores , tensores ,pseudotensores y coordenadas curvilíneas .
Para una introducción basada en el ejemplo de partículas que siguen órbitas circulares sobre una gran masa, se dan tratamientos no relativistas y relativistas en, respectivamente, Motivaciones newtonianas para la relatividad general y Motivación teórica para la relatividad general .
Vectores y tensores
Vectores
En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano (a veces llamado vector geométrico [1] o espacial , [2] o, como aquí, simplemente un vector) es un objeto geométrico que tiene una magnitud (o longitud ) y una dirección. . Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B ; la palabra latina vector significa "uno que lleva". [3] La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos y la dirección se refiere a la dirección de desplazamiento de A a B . Muchas operaciones algebraicas con números reales , como la suma , la resta , la multiplicación y la negación, tienen análogos cercanos a los vectores, operaciones que obedecen las conocidas leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad .
Tensores
Un tensor extiende el concepto de vector a direcciones adicionales. Un escalar , es decir, un número simple sin dirección, se mostraría en un gráfico como un punto, un objeto de dimensión cero. Un vector, que tiene una magnitud y una dirección, aparecería en un gráfico como una línea, que es un objeto unidimensional. Un vector es un tensor de primer orden, ya que tiene una dirección. Un tensor de segundo orden tiene dos magnitudes y dos direcciones, y aparecería en un gráfico como dos líneas similares a las manecillas de un reloj. El "orden" de un tensor es el número de direcciones que contiene, que está separado de las dimensiones de las direcciones individuales. Un tensor de segundo orden en dos dimensiones se puede representar matemáticamente por una matriz de 2 por 2 y en tres dimensiones por una matriz de 3 por 3, pero en ambos casos la matriz es "cuadrada" para un tensor de segundo orden. . Un tensor de tercer orden tiene tres magnitudes y direcciones, y estaría representado por un cubo de números, 3 por 3 por 3 para direcciones en tres dimensiones, y así sucesivamente.
Aplicaciones
Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden usar para representar cualquier cantidad que tenga tanto una magnitud como una dirección, como la velocidad , cuya magnitud es la velocidad . Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como 'arriba'). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza , ya que tiene magnitud y dirección. Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como el desplazamiento , la aceleración , el momento y el momento angular . Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y magnético , se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial .
Los tensores también tienen amplias aplicaciones en física:
- Tensor electromagnético (o tensor de Faraday) en electromagnetismo
- Tensores de deformación finita para describir deformaciones y tensor de deformación para deformación en mecánica continua
- La permitividad y la susceptibilidad eléctrica son tensores en medios anisotrópicos
- Tensor de tensión-energía en la relatividad general , utilizado para representar los flujos de momento
- Los operadores de tensor esférico son las funciones propias del operador de momento angular cuántico en coordenadas esféricas
- Los tensores de difusión, la base de las imágenes del tensor de difusión , representan tasas de difusión en entornos biológicos.
Dimensiones
En la relatividad general , se requieren vectores de cuatro dimensiones o cuatro vectores . Estas cuatro dimensiones son largo, alto, ancho y tiempo. Un "punto" en este contexto sería un evento, ya que tiene una ubicación y un tiempo. Al igual que los vectores, los tensores en relatividad requieren cuatro dimensiones. Un ejemplo es el tensor de curvatura de Riemann .
Transformación de coordenadas
Un vector v , se muestra con dos cuadrículas de coordenadas, e x y e r . En el espacio, no hay una cuadrícula de coordenadas clara para usar. Esto significa que el sistema de coordenadas cambia según la ubicación y orientación del observador. El observador e x y e r en esta imagen se encuentran en diferentes direcciones.
Aquí vemos que e x y e r ven el vector de manera diferente. La dirección del vector es la misma. Pero para e x , el vector se mueve hacia su izquierda. Para e r , el vector se mueve hacia la derecha.
En física, así como en matemáticas, un vector a menudo se identifica con una tupla , o lista de números, que dependen de algún sistema de coordenadas auxiliar o marco de referencia . Cuando las coordenadas se transforman, por ejemplo, mediante rotación o estiramiento del sistema de coordenadas, los componentes del vector también se transforman. El vector en sí no ha cambiado, pero el marco de referencia sí, por lo que los componentes del vector (o las medidas tomadas con respecto al marco de referencia) deben cambiar para compensar.
El vector se llama covariante o contravariante dependiendo de cómo se relacione la transformación de los componentes del vector con la transformación de coordenadas.
- Los vectores contravariantes tienen unidades de distancia (como un desplazamiento) o distancia multiplicada por alguna otra unidad (como velocidad o aceleración) y se transforman de manera opuesta al sistema de coordenadas. Por ejemplo, al cambiar las unidades de metros a milímetros, las unidades de coordenadas se vuelven más pequeñas, pero los números en un vector se vuelven más grandes: 1 m se convierte en 1000 mm.
- Los vectores covariantes, por otro lado, tienen unidades de uno sobre la distancia (como un gradiente ) y se transforman de la misma manera que el sistema de coordenadas. Por ejemplo, al cambiar de metros a milímetros, las unidades de coordenadas se vuelven más pequeñas y el número que mide un gradiente también se volverá más pequeño: 1 K / m se convierte en 0.001 K / mm.
En la notación de Einstein , los vectores contravariantes y componentes de tensores se muestran con superíndices, por ejemplo, x i , y los vectores covariantes y componentes de tensores con subíndices, por ejemplo, x i . Los índices se "elevan" o "disminuyen" mediante la multiplicación por una matriz apropiada, a menudo la matriz de identidad.
La transformación de coordenadas es importante porque la relatividad establece que no hay un punto de referencia (o perspectiva) en el universo que sea más favorecido que otro. En la Tierra, utilizamos dimensiones como norte, este y elevación, que se utilizan en todo el planeta. No existe tal sistema para el espacio. Sin una cuadrícula de referencia clara, es más preciso describir las cuatro dimensiones como hacia / lejos, izquierda / derecha, arriba / abajo y pasado / futuro. Como ejemplo de evento, suponga que la Tierra es un objeto inmóvil y considere la firma de la Declaración de Independencia . Para un observador moderno en el Monte Rainier mirando hacia el este, el evento está adelante, a la derecha, abajo y en el pasado. Sin embargo, para un observador en la Inglaterra medieval que mira hacia el norte, el evento está detrás, a la izquierda, ni hacia arriba ni hacia abajo, y en el futuro. El evento en sí no ha cambiado, la ubicación del observador sí.
Ejes oblicuos
Un sistema de coordenadas oblicuas es aquel en el que los ejes no son necesariamente ortogonales entre sí; es decir, se encuentran en ángulos distintos de los ángulos rectos . Cuando se utilizan transformaciones de coordenadas como se describe anteriormente, el nuevo sistema de coordenadas a menudo parecerá tener ejes oblicuos en comparación con el sistema anterior.
No tensores
Un no tensor es una cantidad similar a un tensor que se comporta como un tensor en la subida y bajada de índices, pero que no se transforma como un tensor bajo una transformación de coordenadas. Por ejemplo, los símbolos de Christoffel no pueden ser tensores en sí mismos si las coordenadas no cambian de forma lineal.
En relatividad general, no se puede describir la energía y el momento del campo gravitacional mediante un tensor de energía-momento. En cambio, se introducen objetos que se comportan como tensores solo con respecto a transformaciones de coordenadas restringidas. Estrictamente hablando, tales objetos no son tensores en absoluto. Un ejemplo famoso de tal pseudotensor es el pseudotensor Landau-Lifshitz .
Coordenadas curvilíneas y espacio-tiempo curvo
Las coordenadas curvilíneas son coordenadas en las que los ángulos entre ejes pueden cambiar de un punto a otro. Esto significa que en lugar de tener una cuadrícula de líneas rectas, la cuadrícula tiene curvatura.
Un buen ejemplo de esto es la superficie de la Tierra. Si bien los mapas suelen representar el norte, sur, este y oeste como una simple cuadrícula cuadrada, ese no es el caso. En cambio, las líneas de longitud que van de norte a sur son curvas y se encuentran en el polo norte. Esto se debe a que la Tierra no es plana, sino redonda.
En la relatividad general, la energía y la masa tienen efectos de curvatura en las cuatro dimensiones del universo (= espacio-tiempo). Esta curvatura da lugar a la fuerza gravitacional. Una analogía común es colocar un objeto pesado sobre una hoja de goma estirada, lo que hace que la hoja se doble hacia abajo. Esto curva el sistema de coordenadas alrededor del objeto, al igual que un objeto en el universo curva el sistema de coordenadas en el que se encuentra. Las matemáticas aquí son conceptualmente más complejas que en la Tierra, ya que dan como resultado cuatro dimensiones de coordenadas curvas en lugar de tres como se usa para describen una superficie 2D curva.
Transporte paralelo
El intervalo en un espacio de alta dimensión.
En un espacio euclidiano , la separación entre dos puntos se mide por la distancia entre los dos puntos. La distancia es puramente espacial y siempre positiva. En el espacio-tiempo, la separación entre dos eventos se mide por el intervalo invariante entre los dos eventos, que tiene en cuenta no solo la separación espacial entre los eventos, sino también su separación en el tiempo. El intervalo, s 2 , entre dos eventos se define como:
- (intervalo de espacio-tiempo),
donde c es la velocidad de la luz, y Δ r y Δ t denotan diferencias de las coordenadas espaciales y temporales, respectivamente, entre los eventos. La elección de los signos para s 2 anterior sigue la convención de espacio (- +++) . Una notación como Δ r 2 significa (Δ r ) 2 . La razón por la que s 2 se llama intervalo y no s es que s 2 puede ser positivo, cero o negativo.
Los intervalos de espacio-tiempo pueden clasificarse en tres tipos distintos, en función de si la separación temporal ( c 2 Δ t 2 ) o la separación espacial ( Δ r 2 ) de los dos eventos es mayor: similar al tiempo, similar a la luz o similar al espacio .
Ciertos tipos de líneas del mundo se llaman geodésicas del espacio-tiempo: líneas rectas en el caso del espacio-tiempo plano de Minkowski y su equivalente más cercano en el espacio-tiempo curvo de la relatividad general. En el caso de trayectorias puramente temporales, las geodésicas son (localmente) las trayectorias de mayor separación (intervalo espaciotemporal) medidas a lo largo del trayecto entre dos eventos, mientras que en el espacio euclidiano y las variedades de Riemann, las geodésicas son trayectorias de distancia más corta entre dos puntos . [4] [5] El concepto de geodésica se vuelve central en la relatividad general , ya que el movimiento geodésico puede considerarse como "movimiento puro" ( movimiento inercial ) en el espacio-tiempo, es decir, libre de influencias externas.
La derivada covariante
La derivada covariante es una generalización de la derivada direccional del cálculo vectorial. Al igual que con la derivada direccional, la derivada covariante es una regla, que toma como entradas: (1) un vector, u , (a lo largo del cual se toma la derivada) definido en un punto P , y (2) un campo vectorial, v , definida en un entorno de P . La salida es un vector, también en el punto P . La principal diferencia con la derivada direccional habitual es que la derivada covariante debe, en cierto sentido preciso, ser independiente de la forma en que se expresa en un sistema de coordenadas.
Transporte paralelo
Dada la derivada covariante, se puede definir el transporte paralelo de un vector v en un punto P a lo largo de una curva γ a partir de P . Para cada punto x de γ , el transporte paralelo de v en x será una función de x , y se puede escribir como v ( x ) , donde v (0) = v . La función v está determinada por el requisito de que la derivada covariante de v ( x ) a lo largo de γ sea 0. Esto es similar al hecho de que una función constante es aquella cuya derivada es constantemente 0.
Símbolos de Christoffel
La ecuación de la derivada covariante se puede escribir en términos de símbolos de Christoffel. Los símbolos de Christoffel encuentran un uso frecuente en la teoría de la relatividad general de Einstein , donde el espacio-tiempo está representado por una variedad de Lorentz curva de 4 dimensiones con una conexión Levi-Civita . Las ecuaciones de campo de Einstein , que determinan la geometría del espacio-tiempo en presencia de materia, contienen el tensor de Ricci . Dado que el tensor de Ricci se deriva del tensor de curvatura de Riemann, que puede escribirse en términos de símbolos de Christoffel, es esencial un cálculo de los símbolos de Christoffel. Una vez determinada la geometría, se calculan las trayectorias de las partículas y los haces de luz resolviendo las ecuaciones geodésicas en las que aparecen explícitamente los símbolos de Christoffel.
Geodésicas
En la relatividad general , una geodésica generaliza la noción de una "línea recta" al espacio-tiempo curvo . Es importante destacar que la línea del mundo de una partícula libre de toda fuerza externa, no gravitacional, es un tipo particular de geodésica. En otras palabras, una partícula que se mueve o cae libremente siempre se mueve a lo largo de una geodésica.
En la relatividad general, la gravedad puede considerarse no como una fuerza sino como una consecuencia de una geometría espaciotemporal curva donde la fuente de curvatura es el tensor de tensión-energía (que representa la materia, por ejemplo). Así, por ejemplo, la trayectoria de un planeta que orbita alrededor de una estrella es la proyección de una geodésica de la geometría espaciotemporal curvada de 4 dimensiones alrededor de la estrella en un espacio tridimensional.
Una curva es geodésica si el vector tangente de la curva en cualquier punto es igual al transporte paralelo del vector tangente del punto base.
Tensor de curvatura
El tensor de curvatura de Riemann nos dice, matemáticamente, cuánta curvatura hay en una región determinada del espacio. Contraer el tensor produce 2 objetos matemáticos más:
- El tensor de curvatura de Riemann : R ρ σμν , que proporciona la mayor cantidad de información sobre la curvatura de un espacio y se deriva de las derivadas del tensor métrico . En el espacio plano, este tensor es cero.
- El tensor de Ricci : R σν , proviene de la necesidad en la teoría de Einstein de un tensor de curvatura con solo 2 índices. Se obtiene promediando ciertas porciones del tensor de curvatura de Riemann.
- La curvatura escalar : R , la medida de curvatura más simple, asigna un único valor escalar a cada punto de un espacio. Se obtiene promediando el tensor de Ricci.
El tensor de curvatura de Riemann se puede expresar en términos de la derivada covariante.
El Einstein tensor G es un rango-2 tensor definido sobre colectores pseudoriemanniana . En notación sin índice se define como
donde R es el tensor de Ricci , g es el tensor métrico y R es la curvatura escalar . Se utiliza en las ecuaciones de campo de Einstein .
Tensor de estrés-energía
El tensor de tensión-energía (a veces tensión-energía-tensor de momento o energía-tensor de momento ) es una cantidad tensorial en física que describe la densidad y el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo , generalizando el tensor de tensión de la física newtoniana. Es un atributo de la materia , la radiación y los campos de fuerza no gravitacionales . El tensor de tensión-energía es la fuente del campo gravitacional en las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general , al igual que la densidad de masa es la fuente de dicho campo en la gravedad newtoniana . Debido a que este tensor tiene 2 índices (consulte la siguiente sección), el tensor de curvatura de Riemann debe contraerse en el tensor de Ricci, también con 2 índices.
Ecuación de Einstein
Las ecuaciones de campo de Einstein ( EFE ) o las ecuaciones de Einstein son un conjunto de 10 ecuaciones en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein que describen la interacción fundamental de la gravitación como resultado de que el espacio-tiempo está curvado por la materia y la energía . [6] Publicado por primera vez por Einstein en 1915 [7] como una ecuación tensorial , la EFE equipara la curvatura del espacio-tiempo local (expresada por el tensor de Einstein ) con la energía local y el momento dentro de ese espacio-tiempo (expresado por el tensor de tensión-energía ). [8]
Las ecuaciones de campo de Einstein se pueden escribir como
donde G μν es el tensor de Einstein y T μν es el tensor de tensión-energía .
Esto implica que la curvatura del espacio (representada por el tensor de Einstein) está directamente relacionada con la presencia de materia y energía (representada por el tensor de tensión-energía).
Solución de Schwarzschild y agujeros negros
En Einstein teoría de la 's relatividad general , la métrica de Schwarzschild (también Schwarzschild vacío o solución de Schwarzschild ), es una solución a los ecuaciones de campo de Einstein que describe el campo gravitatorio fuera de una masa esférica, en el supuesto de que la carga eléctrica de la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica universal son todos cero. La solución es una aproximación útil para describir objetos astronómicos que giran lentamente, como muchas estrellas y planetas , incluidos la Tierra y el Sol. La solución lleva el nombre de Karl Schwarzschild , quien la publicó por primera vez en 1916, justo antes de su muerte.
De acuerdo con el teorema de Birkhoff , la métrica de Schwarzschild es el más general esféricamente simétrica , solución de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein . Un agujero negro de Schwarzschild o un agujero negro estático es un agujero negro que no tiene carga ni momento angular . Un agujero negro de Schwarzschild se describe mediante la métrica de Schwarzschild y no se puede distinguir de ningún otro agujero negro de Schwarzschild excepto por su masa.
Ver también
- Colector diferenciable
- Símbolo de Christoffel
- Geometría riemanniana
- Cálculo de Ricci
- Topología y geometría diferencial
- Lista de temas de geometría diferencial
- Relatividad general
- Teoría de la gravitación del calibre
- Transformaciones covariantes generales
- Derivaciones de las transformaciones de Lorentz
Notas
- ↑ Ivanov 2001cita no encontrada ] [
- ^ Heinbockel 2001cita no encontrada ] [
- ^ Del latín vectus , participio perfecto de vehere , "llevar". Para conocer el desarrollo histórico de la palabra vector , consulte "vector n " . Diccionario de inglés de Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford. (Suscripción o de miembros de las instituciones participantes necesarios.) Y Jeff Miller. "Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas" . Consultado el 25 de mayo de 2007 .
- ↑ Esta caracterización no es universal: ambos arcos entre dos puntos de un gran círculo en una esfera son geodésicos.
- ^ Berry, Michael V. (1989). Principios de cosmología y gravitación . Prensa CRC . pag. 58. ISBN 0-85274-037-9.
- ^ Einstein, Albert (1916). "La Fundación de la Teoría General de la Relatividad" . Annalen der Physik . 354 (7): 769. Bibcode : 1916AnP ... 354..769E . doi : 10.1002 / yp.19163540702 . Archivado desde el original ( PDF ) el 29 de agosto de 2006.
- ^ Einstein, Albert (25 de noviembre de 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation" . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Consultado el 12 de septiembre de 2006 .
- ^ Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0. Capítulo 34, p 916
Referencias
- PAM Dirac (1996). Teoría general de la relatividad . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-01146-X.
- Misner, Charles; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
- Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de los campos (cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.
- RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Conferencias Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley . ISBN 0-201-62734-5.
- Einstein, A. (1961). Relatividad: la teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.