En geometría , un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud. A veces se especifica que tiene exactamente dos lados de igual longitud y, a veces, que tiene al menos dos lados de igual longitud, por lo que la última versión incluye el triángulo equilátero como un caso especial . Ejemplos de triángulos isósceles incluyen el triángulo rectángulo isósceles , el triángulo dorado y las caras de bipirámides y ciertos sólidos catalanes .
Triángulo isósceles | |
---|---|
Tipo | triángulo |
Aristas y vértices | 3 |
Símbolo de Schläfli | () ∨ {} |
Grupo de simetría | Dih 2 , [], (*), orden 2 |
Polígono dual | Auto-dual |
Propiedades | convexo , cíclico |
El estudio matemático de los triángulos isósceles se remonta a las matemáticas del antiguo Egipto y las matemáticas babilónicas . Los triángulos isósceles se han utilizado como decoración incluso desde épocas anteriores y aparecen con frecuencia en la arquitectura y el diseño, por ejemplo, en los frontones y frontones de los edificios.
Los dos lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base del triángulo. Las otras dimensiones del triángulo, como su altura, área y perímetro, se pueden calcular mediante fórmulas simples a partir de las longitudes de los catetos y la base. Todo triángulo isósceles tiene un eje de simetría a lo largo de la bisectriz perpendicular de su base. Los dos ángulos opuestos a los catetos son iguales y siempre agudos , por lo que la clasificación del triángulo como agudo, recto u obtuso depende solo del ángulo entre sus dos catetos.
Terminología, clasificación y ejemplos
Euclides definió un triángulo isósceles como un triángulo con exactamente dos lados iguales, [1] pero los tratamientos modernos prefieren definir los triángulos isósceles como si tuvieran al menos dos lados iguales. La diferencia entre estas dos definiciones es que la versión moderna hace que los triángulos equiláteros (con tres lados iguales) sean un caso especial de triángulos isósceles. [2] Un triángulo que no es isósceles (que tiene tres lados desiguales) se llama escaleno . [3] "Isósceles" se hace a partir de las raíces griegas "isos" (igual) y "skelos" (pierna). La misma palabra se utiliza, por ejemplo, para trapezoides isósceles , trapezoides con dos lados iguales, [4] y para conjuntos isósceles , conjuntos de puntos cada tres de los cuales forman un triángulo isósceles. [5]
En un triángulo isósceles que tiene exactamente dos lados iguales, los lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base . El ángulo incluido por los catetos se llama ángulo de vértice y los ángulos que tienen la base como uno de sus lados se llaman ángulos de base . [6] El vértice opuesto a la base se llama vértice . [7] En el caso del triángulo equilátero, dado que todos los lados son iguales, cualquier lado puede llamarse base. [8]
El hecho de que un triángulo isósceles sea agudo, recto u obtuso depende solo del ángulo en su vértice. En la geometría euclidiana , los ángulos base no pueden ser obtusos (mayores de 90 °) o rectos (igual a 90 °) porque sus medidas sumarían al menos 180 °, el total de todos los ángulos en cualquier triángulo euclidiano. [8] Dado que un triángulo es obtuso o recto si y solo si uno de sus ángulos es obtuso o recto, respectivamente, un triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo si y solo si su ángulo de vértice es respectivamente obtuso, recto o agudo. [7] En el libro Flatland de Edwin Abbott , esta clasificación de formas se utilizó como una sátira de la jerarquía social : los triángulos isósceles representaban a la clase trabajadora , con triángulos isósceles agudos más altos en la jerarquía que los triángulos isósceles rectos u obtusos. [9]
Así como el triángulo rectángulo isósceles , varias otras formas específicas de triángulos isósceles se han estudiado. Estos incluyen el triángulo de Calabi (un triángulo con tres cuadrados inscritos congruentes), [10] el triángulo dorado y el gnomon dorado (dos triángulos isósceles cuyos lados y base están en la proporción áurea ), [11] el triángulo 80-80-20 que aparece en el rompecabezas de los ángulos adventicios de Langley , [12] y el triángulo 30-30-120 del mosaico triangular triakis . Cinco sólidos catalanes , el triakis tetraedro , triakis octaedro , tetrakis hexaedro , pentakis dodecaedro y triakis icosaedro , cada uno tiene caras de triángulo isósceles, al igual que infinitas pirámides [8] y bipirámides . [13]
Fórmulas
Altura
Para cualquier triángulo isósceles, los siguientes seis segmentos de línea coinciden:
- la altitud , un segmento de línea desde el vértice perpendicular a la base, [14]
- la bisectriz del ángulo desde el vértice hasta la base, [14]
- la mediana desde el ápice hasta el punto medio de la base, [14]
- la bisectriz perpendicular de la base dentro del triángulo, [14]
- el segmento dentro del triángulo del eje único de simetría del triángulo, y [14]
- el segmento dentro del triángulo de la línea de Euler del triángulo, excepto cuando el triángulo es equilátero . [15]
Su longitud común es la altura. del triángulo. Si el triángulo tiene lados iguales de longitud y base de longitud , las fórmulas generales del triángulo para las longitudes de estos segmentos se simplifican a [16]
Esta fórmula también se puede derivar del teorema de Pitágoras usando el hecho de que la altitud biseca la base y divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos congruentes. [17]
La línea de Euler de cualquier triángulo pasa por el ortocentro del triángulo (la intersección de sus tres altitudes), su centroide (la intersección de sus tres medianas) y su circuncentro (la intersección de las bisectrices perpendiculares de sus tres lados, que también es la centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices). En un triángulo isósceles con exactamente dos lados iguales, estos tres puntos son distintos y (por simetría) todos se encuentran en el eje de simetría del triángulo, de donde se sigue que la línea de Euler coincide con el eje de simetría. El incentro del triángulo también se encuentra en la línea de Euler, algo que no es cierto para otros triángulos. [15] Si dos de la bisectriz de un ángulo, la mediana o la altitud coinciden en un triángulo dado, ese triángulo debe ser isósceles. [18]
Área
La zona de un triángulo isósceles se puede derivar de la fórmula para su altura, y de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de la base y la altura: [16]
La misma fórmula de área también se puede derivar de la fórmula de Heron para el área de un triángulo de sus tres lados. Sin embargo, aplicar la fórmula de Heron directamente puede ser numéricamente inestable para triángulos isósceles con ángulos muy agudos, debido a la casi cancelación entre el semiperímetro y la longitud del lado en esos triángulos. [19]
Si el ángulo del vértice y longitudes de piernas de un triángulo isósceles, entonces el área de ese triángulo es: [20]
Este es un caso especial de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo incluido. [21]
Perímetro
El perimetro de un triángulo isósceles con lados iguales y base es solo [16]
Como en cualquier triángulo, el área y perímetro están relacionados por la desigualdad isoperimétrica [22]
Esta es una desigualdad estricta para triángulos isósceles con lados desiguales a la base y se convierte en una igualdad para el triángulo equilátero. El área, el perímetro y la base también se pueden relacionar entre sí mediante la ecuación [23]
Si la base y el perímetro son fijos, entonces esta fórmula determina el área del triángulo isósceles resultante, que es el máximo posible entre todos los triángulos con la misma base y perímetro. [24] Por otro lado, si el área y el perímetro son fijos, esta fórmula se puede utilizar para recuperar la longitud de la base, pero no de forma única: en general, hay dos triángulos isósceles distintos con un área determinada y perímetro . Cuando la desigualdad isoperimétrica se convierte en una igualdad, solo hay uno de esos triángulos, que es equilátero. [25]
Longitud de la bisectriz de ángulo
Si los dos lados iguales tienen longitud y el otro lado tiene longitud , luego la bisectriz del ángulo interno de uno de los dos vértices de ángulos iguales satisface [26]
así como
y a la inversa, si se cumple la última condición, un triángulo isósceles parametrizado por y existe. [27]
El teorema de Steiner-Lehmus establece que todo triángulo con dos bisectrices angulares de igual longitud es isósceles. Fue formulado en 1840 por CL Lehmus . Su otro homónimo, Jakob Steiner , fue uno de los primeros en proporcionar una solución. [28] Aunque originalmente se formuló solo para bisectrices de ángulos internos, funciona para muchos (pero no todos) los casos en los que, en cambio, dos bisectrices de ángulos externos son iguales. El triángulo isósceles 30-30-120 constituye un caso límite para esta variación del teorema, ya que tiene cuatro bisectrices de ángulos iguales (dos internas y dos externas). [29]
Radios
Las fórmulas inradius y circunradius para un triángulo isósceles pueden derivarse de sus fórmulas para triángulos arbitrarios. [30] El radio del círculo inscrito de un triángulo isósceles con longitud de lado, base y altura es: [16]
El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia por encima de la base. Un triángulo isósceles tiene el círculo inscrito más grande posible entre los triángulos con la misma base y ángulo de vértice, además de tener el área y perímetro más grandes entre la misma clase de triángulos. [31]
El radio del círculo circunscrito es: [16]
El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia por debajo del vértice.
Plaza inscrita
Para cualquier triángulo isósceles, hay un cuadrado único con un lado colineal con la base del triángulo y las dos esquinas opuestas en sus lados. El triángulo de Calabi es un triángulo isósceles especial con la propiedad de que los otros dos cuadrados inscritos, con lados colineales con los lados del triángulo, son del mismo tamaño que el cuadrado base. [10] Un teorema mucho más antiguo, conservado en las obras de Hero of Alexandria , establece que, para un triángulo isósceles con base y altura , la longitud del lado del cuadrado inscrito en la base del triángulo es [32]
Subdivisión isósceles de otras formas.
Para cualquier entero , cualquier triángulo se puede dividir entriángulos isósceles. [33] En un triángulo rectángulo , la mediana de la hipotenusa (es decir, el segmento de línea desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice en ángulo recto) divide el triángulo rectángulo en dos triángulos isósceles. Esto se debe a que el punto medio de la hipotenusa es el centro de la circunferencia del triángulo rectángulo, y cada uno de los dos triángulos creados por la partición tiene dos radios iguales como dos de sus lados. [34] De manera similar, un triángulo agudo se puede dividir en tres triángulos isósceles por segmentos desde su circuncentro, [35] pero este método no funciona para triángulos obtusos, porque el circuncentro se encuentra fuera del triángulo. [30]
Generalizando la partición de un triángulo agudo, cualquier polígono cíclico que contenga el centro de su círculo circunscrito se puede dividir en triángulos isósceles por los radios de este círculo a través de sus vértices. El hecho de que todos los radios de un círculo tengan la misma longitud implica que todos estos triángulos son isósceles. Esta partición se puede utilizar para derivar una fórmula para el área del polígono en función de las longitudes de sus lados, incluso para polígonos cíclicos que no contienen sus circuncentros. Esta fórmula generaliza la fórmula de Heron para triángulos y la fórmula de Brahmagupta para cuadriláteros cíclicos . [36]
Cualquiera de las diagonales de un rombo lo divide en dos triángulos isósceles congruentes . De manera similar, una de las dos diagonales de una cometa la divide en dos triángulos isósceles, que no son congruentes excepto cuando la cometa es un rombo. [37]
Aplicaciones
En arquitectura y diseño
Los triángulos isósceles aparecen comúnmente en la arquitectura como formas de frontones y frontones . En la arquitectura griega antigua y sus imitaciones posteriores, se utilizó el triángulo isósceles obtuso; en la arquitectura gótica esto fue reemplazado por el triángulo isósceles agudo. [8]
En la arquitectura de la Edad Media , se hizo popular otra forma de triángulo isósceles: el triángulo isósceles egipcio. Este es un triángulo isósceles que es agudo, pero menos que el triángulo equilátero; su altura es proporcional a 5/8 de su base. [38] El triángulo isósceles egipcio fue vuelto a utilizar en la arquitectura moderna por el arquitecto holandés Hendrik Petrus Berlage . [39]
Las estructuras de celosía de Warren , como los puentes, se disponen comúnmente en triángulos isósceles, aunque a veces también se incluyen vigas verticales para mayor resistencia. [40] Las superficies teseladas por triángulos isósceles obtusos se pueden utilizar para formar estructuras desplegables que tienen dos estados estables: un estado desplegado en el que la superficie se expande a una columna cilíndrica y un estado plegado en el que se pliega en una forma de prisma más compacta que se puede transportar más fácilmente. [41] El mismo patrón de teselación forma la base del pandeo de Yoshimura , un patrón formado cuando las superficies cilíndricas se comprimen axialmente, [42] y de la linterna de Schwarz , un ejemplo utilizado en matemáticas para mostrar que el área de una superficie lisa no siempre puede ser aproximado con precisión por poliedros que convergen a la superficie. [43]
En el diseño gráfico y las artes decorativas , los triángulos isósceles han sido un elemento de diseño frecuente en culturas de todo el mundo desde al menos el Neolítico temprano [44] hasta los tiempos modernos. [45] Son un elemento de diseño común en banderas y heráldica , apareciendo prominentemente con una base vertical, por ejemplo, en la bandera de Guyana , o con una base horizontal en la bandera de Santa Lucía , donde forman una imagen estilizada de un isla de montaña. [46]
También se han utilizado en diseños con significado religioso o místico, por ejemplo, en el Sri Yantra de la práctica de meditación hindú . [47]
En otras áreas de las matemáticas
Si una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces que no son todos números reales , entonces cuando estas raíces se trazan en el plano complejo como un diagrama de Argand , forman los vértices de un triángulo isósceles cuyo eje de simetría coincide con el eje horizontal (real). . Esto se debe a que las raíces complejas son conjugados complejos y, por lo tanto, son simétricos con respecto al eje real. [48]
En mecánica celeste , el problema de los tres cuerpos se ha estudiado en el caso especial de que los tres cuerpos forman un triángulo isósceles, porque suponiendo que los cuerpos están dispuestos de esta manera se reduce el número de grados de libertad del sistema sin reducirlo a la caso resuelto del punto de Lagrange cuando los cuerpos forman un triángulo equilátero. Los primeros casos del problema de los tres cuerpos que mostraron tener oscilaciones ilimitadas fueron en el problema de los tres cuerpos isósceles. [49]
Historia y falacias
Mucho antes de que los antiguos matemáticos griegos estudiaran los triángulos isósceles , los practicantes de las matemáticas del Antiguo Egipto y las matemáticas babilónicas sabían cómo calcular su área. Los problemas de este tipo se incluyen en el Papiro matemático de Moscú y el Papiro matemático Rhind . [50]
El teorema de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales aparece como la Proposición I.5 en Euclides. [51] Este resultado se ha denominado pons asinorum (el puente de asnos) o teorema del triángulo isósceles. Las explicaciones rivales para este nombre incluyen la teoría de que se debe a que el diagrama usado por Euclides en su demostración del resultado se asemeja a un puente, o porque este es el primer resultado difícil en Euclides, y actúa para separar a aquellos que pueden entender la geometría de Euclides de aquellos quien no puede. [52]
Una falacia bien conocida es la prueba falsa de la afirmación de que todos los triángulos son isósceles . Robin Wilson atribuye este argumento a Lewis Carroll , [53] quien lo publicó en 1899, pero WW Rouse Ball lo publicó en 1892 y luego escribió que Carroll obtuvo el argumento de él. [54] La falacia tiene sus raíces en la falta de reconocimiento de Euclides del concepto de intermediación y la ambigüedad resultante del interior frente al exterior de las figuras. [55]
Notas
- ↑ Heath (1956) , p. 187, definición 20.
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- ↑ Heath (1956) , p. 251.
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enlaces externos
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