En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo Janko J 2 o el grupo Hall-Janko HJ es un grupo simple esporádico de orden.
- 2 7 · 3 3 · 5 2 · 7 = 604800
- ≈ 6 × 10 5 .
Historia y propiedades
J 2 es uno de los 26 grupos esporádicos y también se llama grupo Hall – Janko – Wales . En 1969, Zvonimir Janko predijo J 2 como uno de los dos nuevos grupos simples que tienen 2 1 + 4 : A 5 como centralizador de una involución (el otro es el grupo Janko J3 ). Fue construido por Hall y Wales ( 1968 ) como un grupo de permutación de rango 3 en 100 puntos.
Tanto el multiplicador de Schur como el grupo de automorfismo externo tienen orden 2. Como grupo de permutación en 100 puntos, J 2 tiene involuciones que mueven los 100 puntos y las involuciones que se mueven solo 80 puntos. Las primeras involuciones son producto de 25 transportes dobles, un número impar y, por lo tanto, se elevan a 4 elementos en la cubierta doble 2.A 100 . La doble cobertura 2.J 2 ocurre como un subgrupo del grupo Conway Co 0 .
J 2 es el único de los 4 grupos Janko que es un subcociente del grupo de monstruos ; por tanto, forma parte de lo que Robert Griess llama la familia feliz. Dado que también se encuentra en el grupo Co1 de Conway , por lo tanto, es parte de la segunda generación de Happy Family.
Representaciones
Es un subgrupo del índice dos del grupo de automorfismos del gráfico de Hall-Janko , lo que lleva a una representación de permutación de grado 100. También es un subgrupo del índice dos del grupo de automorfismos del octágono cercano de Hall-Janko , [ 1] que conduce a una representación de permutación del grado 315.
Tiene una representación modular de dimensión seis sobre el campo de cuatro elementos; si en la característica dos tenemos w 2 + w + 1 = 0 , entonces J 2 es generado por las dos matrices
y
Estas matrices satisfacen las ecuaciones
(Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices en un campo finito de orden 4 se define de forma ligeramente diferente de la multiplicación de matrices ordinario. Ver campo finito § Campo con cuatro elementos para la adición específica y multiplicación tablas, con w la misma como una y w 2 lo mismo que 1 + a .)
Por tanto, J 2 es un grupo de Hurwitz , una imagen homomórfica finita del grupo triangular (2,3,7) .
La representación matricial dada anteriormente constituye una incrustación en el grupo G 2 (4) de Dickson . Solo hay una clase de conjugación de J 2 en G 2 (4). Cada subgrupo J 2 contenido en G 2 (4) se extiende a un subgrupo J 2 : 2 = Aut (J 2 ) en G 2 (4): 2 = Aut ( G 2 (4)) ( G 2 (4) extendido por los automorfismos de campo de F 4 ). G 2 (4) es a su vez isomorfo a un subgrupo del grupo Co 1 de Conway .
Subgrupos máximos
Hay 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de J 2 . Algunos se describen aquí en términos de acción en el gráfico de Hall-Janko.
- U 3 (3) orden 6048 - estabilizador de un punto, con órbitas de 36 y 63
- Simple, que contiene 36 subgrupos simples de orden 168 y 63 involuciones, todas conjugadas, cada una moviéndose 80 puntos. Una involución dada se encuentra en 12 168 subgrupos, por lo que los fija bajo conjugación. Su centralizador tiene la estructura 4.S 4 , que contiene 6 involuciones adicionales.
- 3.PGL (2,9) orden 2160 - tiene un subquotiente A 6
- 2 1 + 4 : Un orden 5 1920 - centralizador de involución moviendo 80 puntos
- 2 2 + 4 : (3 × S 3 ) orden 1152
- A 4 × A 5 pedido 720
- Contiene 2 2 × A 5 (orden 240), centralizador de 3 involuciones cada una moviendo 100 puntos
- A 5 × D 10 orden 600
- PGL (2,7) pedido 336
- 5 2 : D 12 orden 300
- Un orden de 5 60
Clases conjugadas
El orden máximo de cualquier elemento es 15. Como permutaciones, los elementos actúan sobre los 100 vértices del gráfico de Hall-Janko.
Pedido | No elementos | Estructura del ciclo y conjugación |
---|---|---|
1 = 1 | 1 = 1 | 1 clase |
2 = 2 | 315 = 3 2 · 5 · 7 | 2 40 , 1 clase |
2520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 | 2 50 , 1 clase | |
3 = 3 | 560 = 2 4 · 5 · 7 | 3 30 , 1 clase |
16800 = 2 5 · 3 · 5 2 · 7 | 3 32 , 1 clase | |
4 = 2 2 | 6300 = 2 2 · 3 2 · 5 2 · 7 | 2 6 4 20 , 1 clase |
5 = 5 | 4032 = 2 6 · 3 2 · 7 | 5 20 , 2 clases, potencia equivalente |
24192 = 2 7 · 3 3 · 7 | 5 20 , 2 clases, potencia equivalente | |
6 = 2 · 3 | 25200 = 2 4 · 3 2 · 5 2 · 7 | 2 4 3 6 6 12 , 1 clase |
50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7 | 2 2 6 16 , 1 clase | |
7 = 7 | 86400 = 2 7 · 3 3 · 5 2 | 7 14 , 1 clase |
8 = 2 3 | 75600 = 2 4 · 3 3 · 5 2 · 7 | 2 3 4 3 8 10 , 1 clase |
10 = 2 · 5 | 60480 = 2 6 · 3 3 · 5 · 7 | 10 10 , 2 clases, potencia equivalente |
120960 = 2 7 · 3 3 · 5 · 7 | 5 4 10 8 , 2 clases, potencia equivalente | |
12 = 2 2 · 3 | 50400 = 2 5 · 3 2 · 5 2 · 7 | 3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 clase |
15 = 3 · 5 | 80640 = 2 8 · 3 2 · 5 · 7 | 5 2 15 6 , 2 clases, potencia equivalente |
Referencias
- Robert L. Griess , Jr., "Doce grupos esporádicos", Springer-Verlag, 1998.
- Hall, Marshall; Wales, David (1968), "The simple group of order 604,800", Journal of Algebra , 9 : 417–450, doi : 10.1016 / 0021-8693 (68) 90014-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0240192(Griess relata [p. 123] cómo Marshall Hall, como editor de The Journal of Algebra , recibió un artículo muy breve titulado "Un grupo simple de orden 604801". Sí, 604801 es primo.)
- Janko, Zvonimir (1969), "Algunos nuevos grupos simples de orden finito. I", Symposia Mathematica (INDAM, Roma, 1967/68), vol. 1 , Boston, MA: Academic Press , págs. 25–64, MR 0244371
- Wales, David B., "La singularidad del grupo simple de orden 604800 como un subgrupo de SL (6,4)", Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
- Gales, David B., "Generadores del grupo Hall-Janko como subgrupo de G2 (4)", Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90113-6 , SEÑOR0251133 , ISSN 0021-8693
enlaces externos
- MathWorld: Grupos Janko
- Atlas de representaciones de grupos finitos: J 2
- La celosía del subgrupo de J 2