En el campo matemático de la teoría de grupos , el teorema de subgrupos de Kurosh describe la estructura algebraica de subgrupos de productos libres de grupos . El teorema fue obtenido por Alexander Kurosh , un matemático ruso, en 1934. [1] Informalmente, el teorema dice que cada subgrupo de un producto libre es en sí mismo un producto libre de un grupo libre y de sus intersecciones con los conjugados de los factores de el producto gratuito original.
Historia y generalizaciones
Después de la prueba original de Kurosh de 1934, hubo muchas pruebas posteriores del teorema del subgrupo de Kurosh, incluidas las pruebas de Harold W. Kuhn (1952), [2] Saunders Mac Lane (1958) [3] y otros. El teorema también se generalizó para describir subgrupos de productos libres fusionados y extensiones HNN . [4] [5] Otras generalizaciones incluyen considerar subgrupos de productos pro-finitos libres [6] y una versión del teorema de subgrupos de Kurosh para grupos topológicos . [7]
En términos modernos, el teorema del subgrupo de Kurosh es un corolario directo de los resultados estructurales básicos de la teoría de Bass-Serre sobre los grupos que actúan sobre los árboles . [8]
Declaración del teorema
Dejar ser el producto libre de los grupos A y B y dejarser un subgrupo de G . Entonces existe una familia de subgrupos , una familia de subgrupos , familias y de elementos de G , y un subconjunto tal que
Esto significa que X genera libremente un subgrupo de G isomorfo al grupo libre F ( X ) con base libre X y que, además, g i A i g i −1 , f j B j f j −1 y X generan H en G como producto libre de la forma anterior.
Hay una generalización de esto al caso de productos gratuitos con arbitrariamente muchos factores. [9] Su formulación es:
Si H es un subgrupo de ∗ i∈I G i = G , entonces
donde X ⊆ G y J es un conjunto de índices y g j ∈ G y cada H j es un subgrupo de algún G i .
Prueba mediante la teoría de Bass-Serre
El teorema del subgrupo de Kurosh se sigue fácilmente de los resultados estructurales básicos de la teoría de Bass-Serre , como se explica, por ejemplo, en el libro de Cohen (1987): [8]
Sea G = A ∗ B y considere G como el grupo fundamental de una gráfica de grupos Y que consta de un solo borde sin bucle con los grupos de vértices A y B y con el grupo de bordes trivial. Deje X ser el árbol que cubre Bass-Serre universal para la gráfica de los grupos Y . Desde H ≤ G actúa también sobre X , considere la gráfica cociente de los grupos Z para la acción de H en X . Los grupos de vértices de Z son subgrupos de G -stabilizers de vértices de X , es decir, que son conjugados en G a subgrupos de A y B . Los grupos de bordes de Z son triviales ya que los estabilizadores G de los bordes de X eran triviales. Por el teorema fundamental de la teoría Bass-Serre, H es canónicamente isomorfo al grupo fundamental de la gráfica de los grupos Z . Dado que los grupos de aristas de Z son triviales, se deduce que H es igual al producto libre de los grupos de vértices de Z y el grupo libre F ( X ) que es el grupo fundamental (en el sentido topológico estándar) del gráfico subyacente Z de Z . Esto implica la conclusión del teorema del subgrupo de Kurosh.
Extensión
El resultado se extiende al caso de que G es el producto amalgamado a lo largo de un subgrupo común C , con la condición de que H se encuentre con cada conjugado de C solo en el elemento de identidad. [10]
Ver también
Referencias
- ↑ Alexander Kurosh , Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen. Mathematische Annalen , vol. 109 (1934), págs. 647–660.
- ^ Harold W. Kuhn. Teoremas de subgrupos para grupos presentados por generadores y relaciones. Annals of Mathematics (2), 56 (1952), 22–46
- ^ Saunders Mac Lane , Una prueba del teorema de subgrupos para productos gratuitos, Mathematika , 5 (1958), 13-19
- ^ Abraham Karrass y Donald Solitar, Los subgrupos de un producto libre de dos grupos con un subgrupo amalgamado. Transacciones de la American Mathematical Society , vol. 150 (1970), págs. 227-255.
- ^ Abraham Karrass y Donald Solitar, subgrupos de grupos HNN y grupos con una relación definitoria . Revista canadiense de matemáticas , 23 (1971), 627–643.
- ^ Zalesskii, Pavel Aleksandrovich (1990). "[Abrir subgrupos de productos libres lucrativos sobre un espacio lucrativo de índices]". Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 34 (1): 17-20.
- ^ Peter Nickolas, un teorema de subgrupo de Kurosh para grupos topológicos. Actas de la London Mathematical Society (3), 42 (1981), no. 3, 461–477. SEÑOR0614730
- ^ a b Daniel E. Cohen. Teoría combinatoria de grupos: un enfoque topológico. London Mathematical Society Student Texts, 14. Cambridge University Press , Cambridge, 1989. ISBN 0-521-34133-7 ; 0-521-34936-2
- ^ William S. Massey , Topología algebraica: una introducción , Textos de posgrado en matemáticas , Springer-Verlag , Nueva York, 1977, ISBN 0-387-90271-6 ; págs. 218-225
- ^ Serre, Jean-Pierre (2003). Árboles . Saltador. págs. 56–57. ISBN 3-540-44237-5.