En matemáticas , específicamente la teoría de grupos , el producto libre es una operación que lleva dos grupos G y H y construye un nuevo grupo G * H . El resultado contiene tanto G como H como subgrupos , es generado por los elementos de estos subgrupos, y es el grupo " universal " que tiene estas propiedades, en el sentido de que dos homomorfismos cualesquiera de G y H en un factor de grupo K únicamente a través de un homomorfismo de G* H a K . A menos que uno de los grupos G y H sea trivial, el producto gratuito es siempre infinito. La construcción de un producto libre es similar en espíritu a la construcción de un grupo libre (el grupo universal con un conjunto dado de generadores).
El producto gratuito es el coproducto en la categoría de grupos . Es decir, el producto libre juega el mismo papel en la teoría de grupos que la unión disjunta juega en la teoría de conjuntos , o que la suma directa juega en la teoría de módulos . Incluso si los grupos son conmutativos, su producto gratuito no lo es, a menos que uno de los dos grupos sea el grupo trivial . Por tanto, el producto libre no es el coproducto en la categoría de grupos abelianos .
El producto libre es importante en topología algebraica debido al teorema de van Kampen , que establece que el grupo fundamental de la unión de dos espacios topológicos conectados por caminos cuya intersección también está conectada por caminos es siempre un producto libre amalgamado de los grupos fundamentales de los espacios. . En particular, el grupo fundamental de la suma en cuña de dos espacios (es decir, el espacio obtenido al unir dos espacios en un solo punto) es simplemente el producto libre de los grupos fundamentales de los espacios.
Los productos gratuitos también son importantes en la teoría de Bass-Serre , el estudio de grupos que actúan por automorfismos en los árboles . Específicamente, cualquier grupo que actúe con estabilizadores de vértices finitos en un árbol puede construirse a partir de grupos finitos utilizando productos libres fusionados y extensiones HNN . Usando la acción del grupo modular en una cierta teselación del plano hiperbólico , se sigue de esta teoría que el grupo modular es isomórfico al producto libre de grupos cíclicos de órdenes 4 y 6 amalgamados sobre un grupo cíclico de orden 2.
donde cada s i es o bien un elemento de G o un elemento de H . Dicha palabra se puede reducir mediante las siguientes operaciones:
El producto libre G ∗ H es el grupo cuyos elementos son las palabras reducidas en G y H , bajo la operación de concatenación seguida de reducción.