Armónicos esféricos

En matemáticas y ciencias físicas , los armónicos esféricos son funciones especiales definidas en la superficie de una esfera . A menudo se emplean para resolver ecuaciones diferenciales parciales en muchos campos científicos.

Dado que los armónicos esféricos forman un conjunto completo de funciones ortogonales y, por lo tanto, una base ortonormal , cada función definida en la superficie de una esfera se puede escribir como una suma de estos armónicos esféricos. Esto es similar a las funciones periódicas definidas en un círculo que se pueden expresar como una suma de funciones circulares (senos y cosenos) a través de series de Fourier . Al igual que los senos y cosenos en las series de Fourier, los armónicos esféricos pueden organizarse por frecuencia angular (espacial) , como se ve en las filas de funciones en la ilustración de la derecha. Además, los armónicos esféricos son funciones básicas para representaciones irreductibles deSO (3) , el grupo de rotaciones en tres dimensiones, y por lo tanto juega un papel central en la discusión teórica grupal de SO (3).

Los armónicos esféricos se originan al resolver la ecuación de Laplace en los dominios esféricos. Las funciones que son soluciones a la ecuación de Laplace se llaman armónicos. A pesar de su nombre, armónicos esféricos toman su forma más simple en coordenadas cartesianas , en donde pueden ser definidas como polinomios homogéneos de grado en que la ecuación obey de Laplace. La conexión con coordenadas esféricas surge inmediatamente si se usa la homogeneidad para extraer un factor de dependencia radial del polinomio de grado antes mencionado ; el factor restante se puede considerar como una función de las coordenadas angulares esféricas y sólo, o equivalentemente de la${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle (x, y, z)}$${\ Displaystyle r ^ {\ ell}}$${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ varphi}$de orientación vector unidad especificada por estos ángulos. En esta configuración, pueden ser vistos como la porción angular de un conjunto de soluciones para la ecuación de Laplace en tres dimensiones, y este punto de vista se toma a menudo como una definición alternativa.${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$

Un conjunto específico de armónicos esféricos, denominados o , se conocen como armónicos esféricos de Laplace, ya que fueron introducidos por primera vez por Pierre Simon de Laplace en 1782. ^[1] Estas funciones forman un sistema ortogonal y, por lo tanto, son básicas para la expansión de un sistema general. función en la esfera como se mencionó anteriormente.${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ mathbf {r}})}$

Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, incluida la representación de campos electrostáticos y electromagnéticos multipolares , configuraciones electrónicas , campos gravitacionales , geoides , campos magnéticos de cuerpos planetarios y estrellas, y la radiación de fondo de microondas cósmica . En los gráficos por computadora en 3D , los armónicos esféricos juegan un papel en una amplia variedad de temas, incluida la iluminación indirecta ( oclusión ambiental , iluminación global , transferencia de radiación precalculada , etc.) y el modelado de formas 3D.

Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos reales. Las porciones azules representan regiones donde la función es positiva y las porciones amarillas representan donde es negativa. La distancia de la superficie desde el origen indica el valor absoluto de en dirección angular .${\ Displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi)}$${\ Displaystyle (\ theta, \ phi)}$

Armónicos esféricos reales (Laplace) Y _ℓm para ℓ = 0,…, 4 (de arriba a abajo) ym = 0,…, ℓ (de izquierda a derecha). Los armónicos zonales, sectoriales y teserales se representan a lo largo de la columna más a la izquierda, la diagonal principal y en otros lugares, respectivamente. (Los armónicos de orden negativo se mostrarían rotados alrededor del eje z con respecto a los de orden positivo).${\ Displaystyle Y _ {\ ell (-m)}}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ} / m}$

Imagen alternativa para los armónicos esféricos reales .${\ Displaystyle Y _ {\ ell m}}$

La rotación de una función esférica real con m = 0 y ℓ = 3. Los coeficientes no son iguales a las matrices D de Wigner, ya que se muestran funciones reales, pero pueden obtenerse descomponiendo las funciones complejas.

Representación esquemática de sobre la esfera unidad y sus líneas nodales. es igual a 0 a lo largo de m grandes círculos que pasan a través de los polos, y a lo largo de ℓ - m círculos de igual latitud. La función cambia de signo cada vez que cruza una de estas líneas.${\ Displaystyle Y _ {\ ell m}}$${\ Displaystyle \ Re [Y _ {\ ell m}]}$

Gráfico de color 3D de los armónicos esféricos de grado n = 5. Tenga en cuenta que n = ℓ .