En física , la teoría de campo de Liouville (o simplemente la teoría de Liouville ) es una teoría de campo conforme bidimensional cuya ecuación de movimiento clásica es una generalización de la ecuación de Liouville .
La teoría de Liouville se define para todos los valores complejos de la carga central.de su álgebra de simetría de Virasoro , pero es unitaria sólo si
- ,
y su límite clásico es
- .
Aunque es una teoría que interactúa con un espectro continuo , la teoría de Liouville se ha resuelto. En particular, su función de tres puntos en la esfera se ha determinado analíticamente.
Introducción
La teoría de Liouville describe la dinámica de un campo. llamado el campo de Liouville, que vive en un espacio bidimensional. Este campo no es un campo libre debido a la presencia de un potencial exponencial
donde el parámetro se llama constante de acoplamiento . En una teoría de campo libre, los vectores propios de energía sería linealmente independiente, y el impulso se conservaría en interacciones. En la teoría de Liouville, el impulso no se conserva.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/38/Liouville_reflection.svg/220px-Liouville_reflection.svg.png)
Además, el potencial refleja los vectores propios de energía antes de que alcancen , y dos vectores propios son linealmente dependientes si sus momentos están relacionados por la reflexión
donde está la carga de fondo
Si bien el potencial exponencial rompe la conservación del momento, no rompe la simetría conforme, y la teoría de Liouville es una teoría de campo conforme con la carga central
Bajo transformaciones conformes, un vector propio de energía con momento se transforma como un campo primario con la dimensión conforme por
La carga central y las dimensiones conformes son invariantes bajo la dualidad
Las funciones de correlación de la teoría de Liouville son covariantes bajo esta dualidad y bajo reflejos de los momentos. Sin embargo, estas simetrías cuánticas de la teoría de Liouville no se manifiestan en la formulación lagrangiana, en particular, el potencial exponencial no es invariante bajo la dualidad.
Funciones de espectro y correlación
Espectro
El espectro de la teoría de Liouville es una combinación diagonal de módulos Verma del álgebra de Virasoro ,
dónde y denotan el mismo módulo Verma, visto como una representación del álgebra de Virasoro que se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente. En términos de momentos ,
corresponde a
- .
La relación de reflexión es responsable de que el impulso tome valores en una media línea, en lugar de una línea completa para una teoría libre.
La teoría de Liouville es unitaria si y sólo si . El espectro de la teoría de Liouville no incluye un estado de vacío . Se puede definir un estado de vacío, pero no contribuye a las expansiones del producto del operador .
Relación de campos y reflexión
En la teoría de Liouville, los campos primarios generalmente se parametrizan por su cantidad de movimiento en lugar de su dimensión conforme , y se denotan. Ambos campos y corresponden al estado primario de la representación , y están relacionados por la relación de reflexión
donde el coeficiente de reflexión es [1]
(El letrero es Si y de lo contrario, y el parámetro de normalización es arbitrario.)
Funciones de correlación y fórmula DOZZ
Para , la constante de estructura de tres puntos viene dada por la fórmula DOZZ (para Dorn-Otto [2] y Zamolodchikov-Zamolodchikov [3] ),
donde la función especial es una especie de función gamma múltiple .
Para , la constante de estructura de tres puntos es [1]
dónde
Las funciones de puntos en la esfera se pueden expresar en términos de constantes de estructura de tres puntos y bloques conformes . UnLa función -punto puede tener varias expresiones diferentes: que estén de acuerdo es equivalente a cruzar la simetría de la función de cuatro puntos, que ha sido verificada numéricamente [3] [4] y probada analíticamente. [5] [6]
La teoría de Liouville existe no solo en la esfera, sino también en cualquier superficie de Riemann del género.. Técnicamente, esto es equivalente a la invariancia modular de la función de un punto del toro . Debido a las notables identidades de los bloques conformes y las constantes de estructura, esta propiedad de invariancia modular se puede deducir de la simetría cruzada de la función de cuatro puntos de la esfera. [7] [4]
Unicidad de la teoría de Liouville
Usando el enfoque de bootstrap conforme , se puede demostrar que la teoría de Liouville es la única teoría del campo conforme, tal que [1]
- el espectro es un continuo, sin multiplicidades superiores a uno,
- las funciones de correlación dependen analíticamente de y los momentos,
- existen campos degenerados.
Formulación lagrangiana
Acción y ecuación de movimiento
La teoría de Liouville se define por la acción local
dónde es la métrica del espacio bidimensional en el que se formula la teoría,es el escalar de Ricci de ese espacio, yes el campo de Liouville. El parámetro, que a veces se denomina constante cosmológica, está relacionada con el parámetro que aparece en funciones de correlación por
- .
La ecuación de movimiento asociada a esta acción es
dónde es el operador de Laplace-Beltrami . Sies la métrica euclidiana , esta ecuación se reduce a
que es equivalente a la ecuación de Liouville .
Simetría conforme
Usando un sistema de coordenadas complejo y una métrica euclidiana
- ,
los componentes del tensor de energía-momento obedecen
Los componentes que no desaparecen son
Cada uno de estos dos componentes genera un álgebra de Virasoro con la carga central
- .
Para ambas álgebras de Virasoro, un campo es un campo primario con la dimensión conforme
- .
Para que la teoría tenga invariancia conforme , el campoque aparece en la acción debe ser marginal , es decir, tener la dimensión conforme
- .
Esto conduce a la relación
entre la carga de fondo y la constante de acoplamiento. Si se obedece esta relación, entonces es en realidad exactamente marginal, y la teoría es conforme invariante.
Integral de ruta
La representación integral de trayectoria de un -La función de correlación de puntos de los campos primarios es
Ha sido difícil definir y calcular esta integral de trayectoria. En la representación integral de trayectoria, no es obvio que la teoría de Liouville tenga invariancia conforme exacta , y no es manifiesto que las funciones de correlación sean invariantes bajoy obedecer la relación de reflexión. Sin embargo, la representación integral de trayectoria se puede utilizar para calcular los residuos de funciones de correlación en algunos de sus polos como integrales de Dotsenko-Fateev (es decir, integrales de gas de Coulomb), y así es como se adivinó por primera vez la fórmula DOZZ en la década de 1990. Solo en la década de 2010 se encontró una construcción probabilística rigurosa de la integral de trayectoria, lo que condujo a una prueba de la fórmula DOZZ [8] y el bootstrap conforme. [9]
Relaciones con otras teorías de campo conforme
Algunos límites de la teoría de Liouville
Cuando la carga central y las dimensiones conformes se envían a los valores discretos relevantes, las funciones de correlación de la teoría de Liouville se reducen a funciones de correlación de los modelos mínimos de Virasoro diagonales (serie A) . [1]
Por otro lado, cuando la carga central se envía a uno mientras que las dimensiones conformes permanecen continuas, la teoría de Liouville tiende a la teoría de Runkel-Watts, una teoría de campo conforme (CFT) no trivial con un espectro continuo cuya función de tres puntos no es analítica como un función de los momentos. [10] Las generalizaciones de la teoría de Runkel-Watts se obtienen de la teoría de Liouville tomando límites del tipo. [4] Entonces, para, se conocen dos CFT distintos con el mismo espectro: la teoría de Liouville, cuya función de tres puntos es analítica, y otro CFT con una función de tres puntos no analítica.
Modelos WZW
La teoría de Liouville se puede obtener de la Modelo de Wess-Zumino-Witten mediante una reducción cuántica de Drinfeld-Sokolov . Además, las funciones de correlación del modelo (la versión euclidiana del Modelo WZW) se puede expresar en términos de funciones de correlación de la teoría de Liouville. [11] [12] Esto también es cierto para las funciones de correlación del agujero negro 2dmodelo coset. [11] Además, existen teorías que interpolan continuamente entre la teoría de Liouville y lamodelo. [13]
Teoría de Toda conforme
La teoría de Liouville es el ejemplo más simple de una teoría de campo de Toda , asociada a la Matriz de Cartan . Las teorías de Toda conforme más generales pueden verse como generalizaciones de la teoría de Liouville, cuyos lagrangianos involucran varios bosones en lugar de un bosón., y cuyas álgebras de simetría son W-álgebras en lugar del álgebra de Virasoro.
Teoría supersimétrica de Liouville
La teoría de Liouville admite dos extensiones supersimétricas diferentes llamadas teoría supersimétrica de Liouville y teoría supersimétrica de Liouville. [14]
Aplicaciones
Gravedad de Liouville
En dos dimensiones, las ecuaciones de Einstein se reducen a la ecuación de Liouville , por lo que la teoría de Liouville proporciona una teoría cuántica de la gravedad que se llama gravedad de Liouville . No debe confundirse [15] [16] con el modelo CGHS o la gravedad Jackiw-Teitelboim .
Teoria de las cuerdas
La teoría de Liouville aparece en el contexto de la teoría de cuerdas al intentar formular una versión no crítica de la teoría en la formulación de la integral de trayectoria . [17] También en el contexto de la teoría de cuerdas, si se acopla a un campo bosónico libre, la teoría de campo de Liouville puede considerarse como la teoría que describe las excitaciones de las cuerdas en un espacio (tiempo) bidimensional.
Otras aplicaciones
La teoría de Liouville está relacionada con otras materias en física y matemáticas, como la relatividad general tridimensional en espacios con curvas negativas , el problema de uniformización de las superficies de Riemann y otros problemas en el mapeo conforme . También está relacionado con las funciones de partición instantánea en ciertas teorías de calibre superconformal de cuatro dimensiones por la correspondencia AGT .
Nombrar confusión para
Teoría de Liouville con apareció por primera vez como un modelo de teoría de cuerdas dependiente del tiempo bajo el nombre de teoría de Liouville similar al tiempo . [18] También se le ha llamado modelo mínimo generalizado . [19] Se llamó por primera vez teoría de Liouville cuando se descubrió que realmente existía y que era más parecida a un espacio que a un tiempo. [4] A partir de 2020, ninguno de estos tres nombres es universalmente aceptado.
Referencias
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enlaces externos
- Antti Kupiainen , Introducción a la teoría de Liouville, charla en el Instituto de Estudios Avanzados, mayo de 2018