En la teoría de nudos , un nudo de Lissajous es un nudo definido por ecuaciones paramétricas de la forma
dónde , , y son enteros y los cambios de fase , , y puede ser cualquier número real . [1]
La proyección de un nudo de Lissajous en cualquiera de los tres planos de coordenadas es una curva de Lissajous , y muchas de las propiedades de estos nudos están estrechamente relacionadas con las propiedades de las curvas de Lissajous.
Reemplazar la función coseno en la parametrización por una onda triangular transforma cada nudo de Lissajous isotópicamente en una curva de billar dentro de un cubo, el caso más simple de los llamados nudos de billar . Los nudos de billar también se pueden estudiar en otros dominios, por ejemplo, en un cilindro [2] o en un toro sólido (plano) ( nudo tórico de Lissajous ).
Formulario
Debido a que un nudo no puede intersecarse a sí mismo, los tres enteros debe ser primo relativo por pares , y ninguna de las cantidades
puede ser un múltiplo entero de pi . Además, al hacer una sustitución de la forma, se puede suponer que cualquiera de los tres cambios de fase , , es igual a cero.
Ejemplos de
Aquí hay algunos ejemplos de nudos de Lissajous, [3] todos los cuales tienen:
8 21 nudos
Hay infinitos nudos Lissajous diferentes, [4] y otros ejemplos con 10 o menos cruces incluyen el nudo 7 4 , el nudo 8 15 , el nudo 10 1 , el nudo 10 35 , el nudo 10 58 y el nudo compuesto 5 2 * # 5 2 , [1] así como el nudo 9 16 , el nudo 10 76 , el nudo 10 99 , el nudo 10 122 , el nudo 10 144 , el nudo abuelita y el nudo compuesto 5 2 # 5 2 . [5] Además, se sabe que cada nudo de torsión con Arf invariante cero es un nudo de Lissajous. [6]
Simetría
Los nudos de Lissajous son altamente simétricos, aunque el tipo de simetría depende de si los números , , y son todos extraños.
Caso extraño
Si , , y son todos impares, entonces el punto de reflexión a través del origen es una simetría del nudo de Lissajous que conserva la orientación del nudo.
En general, un nudo que tiene una simetría de reflexión puntual que conserva la orientación se conoce como fuertemente más anficheiral . [7] Esta es una propiedad bastante rara: solo siete u ocho nudos primos con doce o menos cruces son fuertemente más anfiqueirales (10 99 , 10 123 , 12a427, 12a1019, 12a1105, 12a1202, 12n706, y un caso indeciso, 12a435). [8] Dado que esto es tan raro, la mayoría de los nudos Lissajous primos se encuentran en el caso par.
Incluso caso
Si una de las frecuencias (digamos ) es uniforme, entonces la rotación de 180 ° alrededor del eje xes una simetría del nudo de Lissajous. En general, un nudo que tiene una simetría de este tipo se llama 2-periódico , por lo que cada nudo de Lissajous par debe ser 2-periódico.
Consecuencias
La simetría de un nudo de Lissajous impone severas restricciones al polinomio de Alexander . En el caso extraño, el polinomio de Alexander del nudo de Lissajous debe ser un cuadrado perfecto . [9] En el caso par, el polinomio de Alexander debe ser un cuadrado perfecto módulo 2. [10] Además, el invariante Arf de un nudo de Lissajous debe ser cero. Resulta que:
- El nudo de trébol y el nudo en forma de ocho no son Lissajous.
- Ningún nudo toro puede ser Lissajous.
- Ningún nudo de dos puentes con fibras puede ser Lissajous.
Referencias
- ^ a b Bogle, MGV; Hearst, JE; Jones, VFR; Stoilov, L. (1994). "Nudos de Lissajous". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 3 (2): 121–140. doi : 10.1142 / S0218216594000095 .
- ^ Lamm, C .; Obermeyer, D. (1999). "Nudos de billar en un cilindro". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 8 (3): 353–366. arXiv : matemáticas / 9811006 . Bibcode : 1998math ..... 11006L . doi : 10.1142 / S0218216599000225 .
- ^ Cromwell, Peter R. (2004). Nudos y eslabones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 13. ISBN 978-0-521-54831-1.
- ^ Lamm, C. (1997). "Hay infinitos nudos de Lissajous". Manuscripta Mathematica . 93 : 29–37. doi : 10.1007 / BF02677455 .
- ^ Boocher, Adam; Daigle, Jay; Hoste, Jim; Zheng, Wenjing (2007). "Muestreo de nudos de Lissajous y Fourier". arXiv : 0707.4210 [ math.GT ].
- ^ Hoste, Jim; Zirbel, Laura (2006). "Lissajous nudos y nudos con proyecciones Lissajous". arXiv : matemáticas.GT / 0605632 .
- ^ Przytycki, Jozef H. (2004). "Nudos simétricos y nudos de billar". En Stasiak, A .; Katrich, V .; Kauffman, L. (eds.). Nudos ideales . Serie sobre nudos y todo. 19 . World Scientific. págs. 374–414. arXiv : matemáticas / 0405151 . Código Bib : 2004math ...... 5151P .
- ^ Lamm, Christoph (2019). "La búsqueda de nudos de cinta asimétricos". Matemáticas experimentales . arXiv : 1710.06909 . doi : 10.1080 / 10586458.2018.1540313 .
- ^ Hartley, R .; Kawauchi, A (1979). "Polinomios de nudos anfiqueirales". Mathematische Annalen . 243 : 63–70. doi : 10.1007 / bf01420207 .
- ^ Murasugi, K. (1971). "Sobre nudos periódicos". Commentarii Mathematici Helvetici . 46 : 162-174. doi : 10.1007 / bf02566836 .