Logaritmo

En matemáticas , el logaritmo es la función inversa de la exponenciación . Eso significa que el logaritmo de un número dado  x es el exponente al que se debe elevar otro número fijo, la base  b , para producir ese número  x . En el caso más simple, el logaritmo cuenta el número de ocurrencias del mismo factor en multiplicaciones repetidas; por ejemplo, dado que 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , el "logaritmo en base 10" de 1000 es 3, o log 10  (1000) = 3 . El logaritmo de x en base  bse denota como log b  ( x ) , o sin paréntesis, log b  x , o incluso sin la base explícita, log  x , cuando no es posible la confusión, o cuando la base no importa, como en la notación O grande .

El logaritmo en base 10 (es decir, b = 10 ) se llama logaritmo decimal o común y se usa comúnmente en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene como base el número  e (es decir b ≈ 2.718 ); su uso está muy extendido en matemáticas y física , debido a su integral y derivada más simples . El logaritmo binario usa la base 2 (es decir, b = 2 ) y se usa con frecuencia en informática .

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en 1614 como un medio para simplificar los cálculos. [1] Fueron adoptados rápidamente por navegantes, científicos, ingenieros, topógrafos y otros para realizar cálculos de alta precisión con mayor facilidad. Usando tablas de logaritmos , los tediosos pasos de multiplicación de varios dígitos pueden ser reemplazados por búsquedas en tablas y sumas más simples. Esto es posible debido al hecho, importante por derecho propio, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

siempre que b , x e y sean todos positivos y b ≠ 1 . La regla de cálculo , también basada en logaritmos, permite cálculos rápidos sin tablas, pero con menor precisión. La noción actual de logaritmos proviene de Leonhard Euler , quien los relacionó con la función exponencial en el siglo XVIII, y quien también introdujo la letra e como base de los logaritmos naturales. [2]

Las escalas logarítmicas reducen cantidades de amplio alcance a alcances más pequeños. Por ejemplo, el decibelio (dB) es una unidad que se usa para expresar la relación como logaritmos , principalmente para la potencia y la amplitud de la señal (de las cuales la presión del sonido es un ejemplo común). En química, el pH es una medida logarítmica de la acidez de una solución acuosa . Los logaritmos son comunes en las fórmulas científicas y en las medidas de la complejidad de los algoritmos y de los objetos geométricos llamados fractales . Ayudan a describir las relaciones de frecuencia de los intervalos musicales., aparecen en fórmulas que cuentan números primos o se aproximan a factoriales , informan algunos modelos en psicofísica y pueden ayudar en la contabilidad forense .

El concepto de logaritmo como el inverso de la exponenciación se extiende también a otras estructuras matemáticas. Sin embargo, en la configuración general, el logaritmo tiende a ser una función de varios valores. Por ejemplo, el logaritmo complejo es el inverso multivaluado de la función exponencial compleja. De manera similar, el logaritmo discreto es el inverso multivaluado de la función exponencial en grupos finitos; tiene usos en criptografía de clave pública .

Gráficos de funciones logarítmicas, con tres bases de uso común. Los puntos especiales log b  b = 1 se indican con líneas de puntos y todas las curvas se intersecan en log b  1 = 0 .
Gráfico que muestra una curva logarítmica, cruzando el eje x en x= 1 y acercándose a menos infinito a lo largo del eje y.
La gráfica del logaritmo en base 2 cruza el eje x en x = 1 y pasa por los puntos (2, 1) , (4, 2) y (8, 3) , representando, por ejemplo, log 2 (8) = 3 y 2 3 = 8 . La gráfica se acerca arbitrariamente al eje y , pero no lo alcanza .
Gráficas de logaritmo para bases 0.5, 2 y e
La explicación de los logaritmos de la Encyclopædia Britannica de 1797
Representación esquemática de una regla de cálculo. Comenzando desde 2 en la escala inferior, agregue la distancia a 3 en la escala superior para llegar al producto 6. La regla de cálculo funciona porque está marcada de tal manera que la distancia de 1 a x es proporcional al logaritmo de x .
La gráfica de la función logarítmica log b  ( x ) (azul) se obtiene reflejando la gráfica de la función b x (roja) en la línea diagonal ( x = y ).
La gráfica del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1,5 (negro)
El logaritmo natural de t es el área sombreada debajo del gráfico de la función f ( x ) = 1/ x (recíproco de x ).
Una prueba visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.
Las teclas logarítmicas (LOG para base 10 y LN para base  e ) en una calculadora gráfica TI-83 Plus
La serie de Taylor de ln( z ) centrada en z = 1 . La animación muestra las primeras 10 aproximaciones junto con la 99 y la 100. Las aproximaciones no convergen más allá de una distancia de 1 desde el centro.
Un nautilus mostrando una espiral logarítmica
Un gráfico logarítmico que representa el valor de un Goldmark en Papiermarks durante la hiperinflación alemana en la década de 1920
Tres funciones de densidad de probabilidad (PDF) de variables aleatorias con distribuciones logarítmicas normales. El parámetro de ubicación  μ , que es cero para las tres PDF que se muestran, es la media del logaritmo de la variable aleatoria, no la media de la variable en sí.
Distribución de primeros dígitos (en %, barras rojas) en la población de los 237 países del mundo. Los puntos negros indican la distribución predicha por la ley de Benford.
Billar en una mesa de billar ovalada . Dos partículas, comenzando en el centro con un ángulo que difiere en un grado, toman caminos que divergen caóticamente debido a los reflejos en el límite.
El triángulo de Sierpinski (a la derecha) se construye reemplazando repetidamente triángulos equiláteros por tres más pequeños.
Cuatro octavas diferentes mostradas en una escala lineal, luego mostradas en una escala logarítmica (como el oído las escucha).
Forma polar de z = x + iy . Tanto φ como φ' son argumentos de z .
La rama principal (- π , π ) del logaritmo complejo, Log( z ) . El punto negro en z = 1 corresponde al valor absoluto cero y los colores más brillantes se refieren a valores absolutos más grandes. El matiz del color codifica el argumento de Log( z ) .