Logaritmo
En matemáticas , el logaritmo es la función inversa a la exponenciación . Eso significa que el logaritmo de un número x dado es el exponente al cual se debe elevar otro número fijo, la base b , para producir ese número x . En el caso más simple, el logaritmo cuenta el número de ocurrencias del mismo factor en una multiplicación repetida; por ejemplo, dado que 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , la "base logarítmica 10" de 1000 es 3, o log 10 (1000) = 3 . El logaritmo de x en base bse denota como log b ( x ) , o sin paréntesis, log b x , o incluso sin la base explícita, log x , cuando no hay confusión posible, o cuando la base no importa, como en la notación O grande .
El logaritmo en base 10 (que es b = 10 ) se llama logaritmo decimal o común y se usa comúnmente en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene el número e (es decir, b ≈ 2,718 ) como base; su uso está muy extendido en matemáticas y física , debido a su integral y derivada más simples . El logaritmo binario usa base 2 (que es b = 2 ) y se usa con frecuencia en ciencias de la computación .
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en 1614 como un medio para simplificar los cálculos. [1] Fueron rápidamente adoptados por navegantes, científicos, ingenieros, topógrafos y otros para realizar cálculos de alta precisión con mayor facilidad. Usando tablas de logaritmos , los tediosos pasos de multiplicación de varios dígitos se pueden reemplazar por búsquedas en tablas y sumas más simples. Esto es posible debido al hecho, importante en sí mismo, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
a condición de que b , x y y son todos positivos y b ≠ 1 . La regla de cálculo , también basada en logaritmos, permite cálculos rápidos sin tablas, pero con menor precisión. La noción actual de logaritmos proviene de Leonhard Euler , quien los conectó con la función exponencial en el siglo XVIII y también introdujo la letra e como base de los logaritmos naturales. [2]
Las escalas logarítmicas reducen cantidades amplias a alcances más pequeños. Por ejemplo, el decibelio (dB) es una unidad que se usa para expresar la relación en logaritmos , principalmente para la potencia y amplitud de la señal (de la cual la presión sonora es un ejemplo común). En química, el pH es una medida logarítmica de la acidez de una solución acuosa . Los logaritmos son un lugar común en las fórmulas científicas y en las mediciones de la complejidad de los algoritmos y de los objetos geométricos llamados fractales . Ayudan a describir las relaciones de frecuencia de los intervalos musicales., aparecen en fórmulas que cuentan números primos o aproximan factoriales , informan algunos modelos en psicofísica y pueden ayudar en la contabilidad forense .
El concepto de logaritmo como inverso de exponenciación se extiende también a otras estructuras matemáticas. Sin embargo, en la configuración general, el logaritmo tiende a ser una función de varios valores. Por ejemplo, el logaritmo complejo es el inverso de valores múltiples de la función exponencial compleja. De manera similar, el logaritmo discreto es el inverso de valores múltiples de la función exponencial en grupos finitos; tiene usos en criptografía de clave pública .
