Mabuchi funcional

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En matemáticas , y especialmente en geometría compleja , el funcional de Mabuchi o funcional de energía K es un funcional en el espacio de los potenciales de Kähler de una variedad compacta de Kähler cuyos puntos críticos son métricas de Kähler de curvatura escalar constante . El funcional de Mabuchi fue introducido por Toshiki Mabuchi en 1985 como un funcional que integra el invariante de Futaki , que es una obstrucción a la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad de Fano. ^[1]

El funcional de Mabuchi es una analogía del funcional log-norma del mapa de momentos en la teoría de la invariante geométrica y la reducción simpléctica . ^[2] El funcional de Mabuchi aparece en la teoría de la K-estabilidad como un funcional analítico que caracteriza la existencia de métricas de Kähler de curvatura escalar constante. La pendiente en el infinito del funcional de Mabuchi a lo largo de cualquier rayo geodésico en el espacio de los potenciales de Kähler está dada por el invariante de Donaldson-Futaki de una configuración de prueba correspondiente .

El funcional de Mabuchi se define en el espacio de los potenciales de Kähler dentro de una clase de cohomología de Kähler fija en una variedad compleja compacta . ^[3] Sea una variedad Kähler compacta con una métrica Kähler fija . Entonces, cualquier otra métrica de Kähler en la clase de cohomología de Rham puede relacionarse mediante una función suave , el potencial de Kähler:${\ estilo de visualización (M, \ omega)}$${\ estilo de visualización \ omega}$${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(M)}$${\ estilo de visualización \ omega}$${\displaystyle \varphi \in C^{\infty}(X)}$

Dado que dos potenciales de Kähler cualesquiera que difieren en una función constante definen la misma métrica de Kähler, el espacio de métricas de Kähler en la clase se puede identificar con , los potenciales de Kähler módulo las funciones constantes. En cambio, se puede restringir a aquellos potenciales de Kähler que se normalizan de modo que su integral desaparezca.${\ estilo de visualización [\ omega]}$${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$${\ estilo de visualización M}$

El espacio tangente a se puede identificar con el espacio de funciones suaves de valores reales en . Sea la curvatura escalar de la métrica de Riemann correspondiente a , y sea el promedio de esta curvatura escalar sobre , que no depende de la elección del teorema de Stokes . Defina una forma diferencial en el espacio de los potenciales de Kähler por${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\ estilo de visualización M}$${\ Displaystyle S_ {\ varphi}}$${\ estilo de visualización \ omega _ {\ varphi}}$${\ estilo de visualización {\ sombrero {S}}}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización \ varphi}$

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