La física matemática se refiere al desarrollo de métodos matemáticos para su aplicación a problemas de física . El Journal of Mathematical Physics define el campo como "la aplicación de las matemáticas a problemas de física y el desarrollo de métodos matemáticos adecuados para tales aplicaciones y para la formulación de teorías físicas". [1]
Hay varias ramas distintas de la física matemática, y estas corresponden aproximadamente a períodos históricos particulares.
La reformulación rigurosa, abstracta y avanzada de la mecánica newtoniana adoptando la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana incluso en presencia de restricciones. Ambas formulaciones están incorporadas en la mecánica analítica y conducen a la comprensión de la profunda interacción de las nociones de simetría y cantidades conservadas durante la evolución dinámica, tal como se materializa en la formulación más elemental del teorema de Noether . Estos enfoques e ideas se han extendido a otras áreas de la física como la mecánica estadística , la mecánica del continuo , la teoría clásica de campos y la teoría cuántica de campos .. Además, han proporcionado varios ejemplos e ideas en geometría diferencial (por ejemplo, varias nociones en geometría simpléctica y conjunto de vectores ).
Después de las matemáticas: la teoría de la ecuación diferencial parcial , el cálculo variacional , el análisis de Fourier , la teoría del potencial y el análisis vectorial están quizás más estrechamente asociados con la física matemática. Estos se desarrollaron intensamente desde la segunda mitad del siglo XVIII (por, por ejemplo, D'Alembert , Euler y Lagrange ) hasta la década de 1930. Las aplicaciones físicas de estos desarrollos incluyen hidrodinámica , mecánica celeste , mecánica continua , teoría de la elasticidad , acústica ,termodinámica , electricidad , magnetismo y aerodinámica .
La teoría de los espectros atómicos (y, más tarde, la mecánica cuántica ) se desarrolló casi al mismo tiempo que algunas partes de los campos matemáticos del álgebra lineal , la teoría espectral de operadores , álgebras de operadores y, más ampliamente, el análisis funcional . La mecánica cuántica no relativista incluye operadores de Schrödinger y tiene conexiones con la física atómica y molecular . La teoría de la información cuántica es otra subespecialidad.
Las teorías de la relatividad general y especial requieren un tipo de matemáticas bastante diferente. Esta fue la teoría de grupos , que jugó un papel importante tanto en la teoría cuántica de campos como en la geometría diferencial . Sin embargo, esto se complementó gradualmente con la topología y el análisis funcional en la descripción matemática de los fenómenos cosmológicos y de la teoría cuántica de campos . En la descripción matemática de estas áreas físicas, también son importantes algunos conceptos en álgebra homológica y teoría de categorías [2] .