El problema de existencia y uniformidad de Navier-Stokes se refiere a las propiedades matemáticas de las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes , un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de un fluido en el espacio. Las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan en muchas aplicaciones prácticas. Sin embargo, la comprensión teórica de las soluciones a estas ecuaciones es incompleta. En particular, las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes a menudo incluyen turbulencia , que sigue siendo uno de los mayores problemas sin resolver en física , a pesar de su inmensa importancia en ciencia e ingeniería.
Incluso las propiedades más básicas de las soluciones de Navier-Stokes nunca se han probado. Para el sistema de ecuaciones tridimensionales, y dadas algunas condiciones iniciales , los matemáticos aún no han demostrado que siempre existan soluciones suaves . Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes .
Dado que la comprensión de las ecuaciones de Navier-Stokes se considera el primer paso para comprender el esquivo fenómeno de la turbulencia , el Clay Mathematics Institute en mayo de 2000 convirtió este problema en uno de sus siete problemas del Premio Millennium en matemáticas. Ofreció un premio de US $ 1.000.000 a la primera persona que proporcionara una solución para una declaración específica del problema: [1]
Demuestre o dé un contraejemplo de la siguiente afirmación:
En tres dimensiones espaciales y temporales, dado un campo de velocidad inicial, existe un campo de velocidad vectorial y un campo de presión escalar, ambos suaves y definidos globalmente, que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes.
En matemáticas, las ecuaciones de Navier-Stokes son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para campos vectoriales abstractos de cualquier tamaño. En física e ingeniería, son un sistema de ecuaciones que modela el movimiento de líquidos o gases no enrarecidos (en los que el camino libre medio es lo suficientemente corto como para que pueda considerarse como un medio continuo en lugar de una colección de partículas). utilizando la mecánica del continuo . Las ecuaciones son un enunciado de la segunda ley de Newton , con las fuerzas modeladas de acuerdo con las de un fluido newtoniano viscoso , como la suma de las contribuciones de la presión, la tensión viscosa y una fuerza externa del cuerpo. Dado que el escenario del problema propuesto por el Clay Mathematics Institute es en tres dimensiones, para un fluido incompresible y homogéneo, solo ese caso se considera a continuación.
Dejar ser un campo vectorial tridimensional, la velocidad del fluido, y sea sea la presión del fluido. [nota 1] Las ecuaciones de Navier-Stokes son:
dónde es la viscosidad cinemática, la fuerza volumétrica externa, es el operador de gradiente yes el operador laplaciano , que también se denota por o . Tenga en cuenta que esta es una ecuación vectorial, es decir, tiene tres ecuaciones escalares. Escribiendo las coordenadas de la velocidad y la fuerza externa.
luego para cada existe la ecuación escalar de Navier-Stokes correspondiente:
Las incógnitas son la velocidad y la presion . Dado que en tres dimensiones, hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas (tres velocidades escalares y la presión), entonces se necesita una ecuación suplementaria. Esta ecuación adicional es la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles que describe la conservación de la masa del fluido:
Debido a esta última propiedad, las soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes se buscan en el conjunto de funciones solenoidales (" libres de divergencia "). Para este flujo de un medio homogéneo, la densidad y la viscosidad son constantes.
Dado que solo aparece su gradiente, la presión p se puede eliminar tomando el rizo de ambos lados de las ecuaciones de Navier-Stokes. En este caso, las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a las ecuaciones de transporte de vorticidad .
Dos configuraciones: espacio ilimitado y periódico
Hay dos configuraciones diferentes para el problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes, que cuesta un millón de dólares. El problema original está en todo el espacio., que necesita condiciones adicionales sobre el comportamiento de crecimiento de la condición inicial y las soluciones. Para descartar los problemas en el infinito, las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden establecer en un marco periódico, lo que implica que ya no funcionan en todo el espacio. pero en el toro tridimensional . Cada caso se tratará por separado.
Declaración del problema en todo el espacio.
Hipótesis y condiciones de crecimiento
La condición inicial se supone que es una función suave y libre de divergencias (ver función suave ) de modo que, para cada índice múltiple(ver notación de índices múltiples ) y cualquier, existe una constante tal que
- para todos
La fuerza externa se supone que también es una función suave y satisface una desigualdad muy análoga (ahora el índice múltiple también incluye derivadas de tiempo):
- para todos
Para condiciones físicamente razonables, el tipo de soluciones esperadas son funciones suaves que no crecen tanto como . Más precisamente, se hacen las siguientes suposiciones:
- Existe una constante tal que para todos
La condición 1 implica que las funciones son uniformes y están definidas globalmente y la condición 2 significa que la energía cinética de la solución está limitada globalmente.
Las conjeturas del Millennium Prize en todo el espacio
(A) Existencia y fluidez de las soluciones Navier-Stokes en
Dejar . Para cualquier condición inicial satisfaciendo las hipótesis anteriores, existen soluciones suaves y definidas globalmente para las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, hay un vector de velocidad y una presión satisfaciendo las condiciones 1 y 2 anteriores.
(B) Desglose de las soluciones Navier-Stokes en
Existe una condición inicial y una fuerza externa tal que no existen soluciones y satisfaciendo las condiciones 1 y 2 anteriores.
Declaración del problema periódico
Hipótesis
Las funciones buscadas ahora son periódicas en las variables espaciales del período 1. Más precisamente, sea ser el vector unitario en la dirección i :
Luego es periódica en las variables espaciales si para alguna , luego:
Tenga en cuenta que esto está considerando las coordenadas mod 1 . Esto permite trabajar no en todo el espacio.pero en el espacio del cociente , que resulta ser el toro tridimensional:
Ahora las hipótesis se pueden formular correctamente. La condición inicial se supone que es una función suave y libre de divergencias y la fuerza externa también se supone que es una función fluida. El tipo de soluciones físicamente relevantes son aquellas que cumplen estas condiciones:
- Existe una constante tal que para todos
Al igual que en el caso anterior, la condición 3 implica que las funciones son uniformes y están definidas globalmente y la condición 4 significa que la energía cinética de la solución está acotada globalmente.
Los teoremas periódicos del Premio del Milenio
(C) Existencia y fluidez de las soluciones Navier-Stokes en
Dejar . Para cualquier condición inicial satisfaciendo las hipótesis anteriores, existen soluciones suaves y definidas globalmente para las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, hay un vector de velocidad y una presión satisfaciendo las condiciones 3 y 4 anteriores.
(D) Desglose de las soluciones Navier-Stokes en
Existe una condición inicial y una fuerza externa tal que no existen soluciones y satisfaciendo las condiciones 3 y 4 anteriores.
Resultados parciales
- El problema de Navier-Stokes en dos dimensiones se resolvió en la década de 1960: existen soluciones suaves y definidas globalmente. [2]
- Si la velocidad inicial es suficientemente pequeño, entonces la afirmación es verdadera: existen soluciones suaves y definidas globalmente para las ecuaciones de Navier-Stokes. [1]
- Dada una velocidad inicial existe un tiempo finito T , dependiendo de tal que las ecuaciones de Navier-Stokes en tener soluciones suaves y . No se sabe si existen las soluciones más allá de ese "tiempo de explosión" T . [1]
- Jean Leray en 1934 demostró la existencia de las llamadas soluciones débiles a las ecuaciones de Navier-Stokes, satisfaciendo las ecuaciones en valor medio, no puntual. [3]
- John Forbes Nash Jr . en 1962 demostró la existencia de soluciones regulares únicas en hora local para la ecuación de Navier-Stokes. [4]
- Terence Tao en 2016 publicó un resultado de aumento de tiempo finito para una versión promediada de la ecuación tridimensional de Navier-Stokes. Escribe que el resultado formaliza una "barrera de supercriticidad" para el problema de regularidad global para las verdaderas ecuaciones de Navier-Stokes, y afirma que el método de prueba de hecho apunta a una posible ruta para establecer la explosión de las ecuaciones verdaderas. [5] [6]
En la cultura popular
Se han utilizado problemas no resueltos para indicar un raro talento matemático en la ficción. El problema de Navier-Stokes aparece en The Mathematician's Shiva (2014), un libro sobre una prestigiosa matemática ficticia fallecida llamada Rachela Karnokovitch que se lleva la prueba a la tumba en protesta contra la academia. [7] [8] La película Gifted (2017) hizo referencia a los problemas del Millennium Prize y abordó el potencial de una niña de 7 años y su madre matemática fallecida para resolver el problema de Navier-Stokes. [9]
Ver también
- Lista de problemas de física sin resolver
- Lista de problemas matemáticos sin resolver
Notas
- ^ Más precisamente, p ( x , t ) es la presión dividida por la densidad del fluido, y la densidad es constante para este fluido incompresible y homogéneo.
Referencias
- ^ a b c "Declaración oficial del problema" (PDF) . Instituto Clay de Matemáticas.
- ^ Ladyzhenskaya, Olʹga Aleksandrovna (1969). La teoría matemática de los flujos incompresibles viscosos . Matemáticas y sus aplicaciones. 2 . Traducido del ruso por Richard A. Silverman y John Chu. (2ª ed.). Nueva York-Londres-París: Gordon and Breach, Science Publishers. Señor 0254401 .
- ^ Leray, Jean (1934). "Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace" . Acta Mathematica (en francés). 63 (1): 193–248. doi : 10.1007 / BF02547354 . Señor 1555394 .
- ^ Nasar, Sylvia (2001). "Capítulo 41: un interludio de racionalidad forzada". Una mente hermosa . Piedra de toque. pag. 297. ISBN 0-684-81906-6.
- ^ Tao, Terence (4 de febrero de 2014). "Ampliación de tiempo finito para una ecuación de Navier-Stokes tridimensional promediada" . ¿Qué hay de nuevo ? Archivado desde el original el 16 de octubre de 2015 . Consultado el 20 de julio de 2015 .
- ^ Tao, Terence (2016). "Ampliación de tiempo finito para una ecuación de Navier-Stokes tridimensional promediada". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 29 (3): 601–674. arXiv : 1402.0290 . doi : 10.1090 / jams / 838 . Señor 3486169 .
- ^ DeTurck, Dennis (octubre de 2017). "Shiva del matemático" (PDF) . Avisos del AMS . 64 (9): 1043–1045.
- ^ "MathFiction: Shiva del matemático (Stuart Rojstaczer)" . kasmana.people.cofc.edu . Consultado el 11 de septiembre de 2018 .
- ^ Chang, Justin (6 de abril de 2017). "Chris Evans cría a un joven prodigio de las matemáticas en el inteligente pero calculador 'Dotados ' " . latimes.com . Consultado el 11 de septiembre de 2018 .
Otras lecturas
- Constantin, Peter (2001). "Algunos problemas abiertos y direcciones de investigación en el estudio matemático de la dinámica de fluidos". Mathematics Unlimited - 2001 y más allá . Berlín: Springer. págs. 353–360. doi : 10.1007 / 978-3-642-56478-9_15 . ISBN 3-642-63114-2.
enlaces externos
- Aizenman, Michael . "Existencia global y unicidad de las ecuaciones de Navier Stokes" .Contribuido por: Yakov Sinai
- Premio de la ecuación de Navier-Stokes del Clay Mathematics Institute
- Por qué la regularidad global para Navier-Stokes es difícil : Terence Tao examina con detenimiento las posibles vías de resolución .
- Existencia y suavidad de Navier-Stokes (Millennium Prize Problem) Conferencia sobre el problema de Luis Caffarelli .
- "Ecuación de Navier Stokes - una pregunta de un millón de dólares en mecánica de fluidos" . Aleph Zero . 3 de junio de 2020 - a través de YouTube .