En la geometría diferencial , un campo de las matemáticas , un paquete normal es un tipo particular de paquete vectorial , complementario al paquete tangente y que proviene de una incrustación (o inmersión ).
Definición
Colector de Riemann
Dejar ser una variedad de Riemann , yuna subvariedad de Riemann . Definir, para un determinado, un vector ser normal para cuando sea para todos (así que eso es ortogonal a). El conjunto de todos esos entonces se llama el espacio normal para a .
Así como el espacio total del haz tangente a un colector se construye a partir de todos los espacios tangentes al colector, el espacio total del haz normal [1] a Se define como
- .
El paquete conormal se define como el paquete dual del paquete normal. Se puede realizar de forma natural como un sub-paquete del paquete cotangente .
Definición general
De manera más abstracta, dada una inmersión (por ejemplo, una incrustación), se puede definir un paquete normal de N en M , por en cada punto de N , teniendo el espacio cociente del espacio tangente en M por el espacio tangente en N . Para una variedad de Riemann, se puede identificar este cociente con el complemento ortogonal, pero en general no se puede (tal elección es equivalente a una sección de la proyección).
Así, el haz normal es en general un cociente del haz tangente del espacio ambiental restringido al subespacio.
Formalmente, el paquete normal [2] a N en M es un paquete cociente del paquete tangente en M : uno tiene la secuencia corta exacta de paquetes vectoriales en N :
dónde es la restricción del paquete tangente en M a N (correctamente, el retrocesodel paquete tangente en M a un paquete vectorial en N a través del mapa). La fibra del haz normal en se conoce como el espacio normal en (de en ).
Paquete conormal
Si es un sub-colector suave de un colector , podemos elegir coordenadas locales alrededor tal que está definido localmente por ; luego con esta elección de coordenadas
y la gavilla ideal es generada localmente por. Por tanto, podemos definir un emparejamiento no degenerado
que induce un isomorfismo de haces . Podemos reformular este hecho introduciendo el paquete conormal definido a través de la secuencia exacta conormal
- ,
luego , a saber. las secciones del paquete conormal son los vectores cotangentes para desapareciendo en .
Cuándo es un punto, entonces la gavilla ideal es la gavilla de gérmenes suaves que se desvanecen en y el isomorfismo se reduce a la definición del espacio tangente en términos de gérmenes de funciones suaves en
- .
Paquete normal estable
Las variedades abstractas tienen un paquete tangente canónico , pero no tienen un paquete normal: solo una incrustación (o inmersión) de una variedad en otra produce un paquete normal. Sin embargo, dado que cada colector puede integrarse en, según el teorema de la incrustación de Whitney , cada variedad admite un paquete normal, dada dicha incrustación.
En general, no hay una opción natural de incrustación, pero para una M dada , dos incrustaciones cualesquiera enpara N suficientemente grandes son homotópicos regulares y, por lo tanto, inducen el mismo haz normal. La clase resultante de paquetes normales (es una clase de paquetes y no un paquete específico porque N podría variar) se denomina paquete normal estable .
Paquete dual a tangente
El paquete normal es dual al paquete tangente en el sentido de la teoría K : por la secuencia corta exacta anterior,
en el grupo Grothendieck . En caso de inmersión en, el haz tangente del espacio ambiental es trivial (ya que es contráctil, por lo tanto, paralelizable ), por lo que, y por lo tanto .
Esto es útil en el cálculo de clases de características y permite probar los límites inferiores de inmersibilidad e incrustabilidad de variedades en el espacio euclidiano .
Para variedades simplécticas
Supongamos una variedad está incrustado en una variedad simpléctica , de modo que el retroceso de la forma simpléctica tiene un rango constante en . Entonces se puede definir el paquete normal simpléctico a X como el paquete vectorial sobre X con fibras
dónde denota la incrustación. Observe que la condición de rango constante asegura que estos espacios normales encajen para formar un paquete. Además, cualquier fibra hereda la estructura de un espacio vectorial simpléctico. [3]
Según el teorema de Darboux , la incrustación de rango constante está determinada localmente por. El isomorfismo
de paquetes de vectores simplécticos sobre implica que el paquete normal simpléctico ya determina el rango constante incrustado localmente. Esta característica es similar al caso de Riemann.
Referencias
- ^ John M. Lee, Manifolds riemannianos, una introducción a la curvatura , (1997) Springer-Verlag Nueva York, Textos de posgrado en matemáticas 176 ISBN 978-0-387-98271-7
- ^ Tammo tom Dieck , Topología algebraica , (2010) Libros de texto de EMS en matemáticas ISBN 978-3-03719-048-7
- ^ Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X