En matemáticas , los conjuntos abiertos son una generalización de intervalos abiertos en la línea real. En un espacio métrico , es decir, cuando se define una distancia, los conjuntos abiertos son los conjuntos que, con cada punto P , contienen todos los puntos que están suficientemente cerca de P (es decir, todos los puntos cuya distancia a P es menor que algún valor dependiendo de P ).
De manera más general, se definen conjuntos abiertos como los miembros de una colección dada de subconjuntos de un conjunto dado, una colección que tiene la propiedad de contener cada unión de sus miembros, cada intersección finita de sus miembros, el conjunto vacío y el conjunto completo. sí mismo. Un conjunto en el que se proporciona una colección de este tipo se denomina espacio topológico y la colección se denomina topología . Estas condiciones son muy flexibles y permiten una enorme flexibilidad en la elección de sets abiertos. Por ejemplo, cada subconjunto puede estar abierto (la topología discreta ), o ningún conjunto puede estar abierto excepto el espacio en sí y el conjunto vacío (la topología indiscreta ).
En la práctica, sin embargo, los conjuntos abiertos generalmente se eligen para proporcionar una noción de proximidad similar a la de los espacios métricos, sin tener una medida de distancia definida. En particular, una topología permite definir propiedades como la continuidad , la conectividad y la compacidad , que originalmente se definieron mediante una distancia.
El caso más común de una topología sin distancia alguna lo dan las variedades , que son espacios topológicos que, cerca de cada punto, se asemejan a un conjunto abierto de un espacio euclidiano , pero en el que no se define ninguna distancia en general. En otras ramas de las matemáticas se utilizan topologías menos intuitivas; por ejemplo, la topología de Zariski , que es fundamental en la geometría algebraica y la teoría de esquemas .
Motivación
Intuitivamente, un conjunto abierto proporciona un método para distinguir dos puntos . Por ejemplo, si alrededor de uno de dos puntos en un espacio topológico , existe un conjunto abierto que no contiene el otro punto (distinto), los dos puntos se denominan topológicamente distinguibles . De esta manera, se puede hablar de si dos puntos, o más generalmente dos subconjuntos , de un espacio topológico están "cerca" sin definir concretamente una distancia . Por tanto, los espacios topológicos pueden verse como una generalización de espacios dotados de una noción de distancia, que se denominan espacios métricos .
En el conjunto de todos los números reales , uno tiene la métrica euclidiana natural; es decir, una función que mide la distancia entre dos números reales: d ( x , y ) = | x - y | . Por tanto, dado un número real x , se puede hablar del conjunto de todos los puntos cercanos a ese número real; es decir, dentro de ε de x . En esencia, los puntos dentro de ε de x se aproximan a x con una precisión de grado ε . Tenga en cuenta que ε > 0 siempre, pero a medida que ε se vuelve cada vez más pequeño, se obtienen puntos que se aproximan a x con un grado de precisión cada vez más alto. Por ejemplo, si x = 0 y ε = 1, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos del intervalo (−1, 1); es decir, el conjunto de todos los números reales entre −1 y 1. Sin embargo, con ε = 0.5, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos de (−0.5, 0.5). Claramente, estos puntos se aproximan a x con un mayor grado de precisión que cuando ε = 1.
La discusión anterior muestra, para el caso x = 0, que uno puede aproximar x a grados cada vez más altos de precisión al definir ε como cada vez más pequeño. En particular, los conjuntos de la forma (- ε , ε ) nos dan mucha información sobre puntos cercanos ax = 0. Por lo tanto, en lugar de hablar de una métrica euclidiana concreta, se pueden usar conjuntos para describir puntos cercanos ax . Esta idea innovadora tiene consecuencias de gran alcance; en particular, al definir diferentes colecciones de conjuntos que contienen 0 (distintos de los conjuntos (- ε , ε )), se pueden encontrar resultados diferentes con respecto a la distancia entre 0 y otros números reales. Por ejemplo, si tuviéramos que definir R como el único tal conjunto para "medición de distancia", todos los puntos se encuentran cerca de 0 ya que sólo hay una posible grado de una precisión puede alcanzar en la aproximación de 0: ser un miembro de R . Por lo tanto, encontramos que, en cierto sentido, todo número real está a una distancia de 0 de 0. En este caso, puede ayudar pensar en la medida como una condición binaria: todas las cosas en R están igualmente cerca de 0, mientras que cualquier elemento que no está en R no está cerca de 0.
En general, se hace referencia a la familia de conjuntos que contienen 0, que se utiliza para aproximar a 0, como base de vecindad ; un miembro de esta base de vecindad se denomina conjunto abierto . De hecho, se pueden generalizar estas nociones a un conjunto arbitrario ( X ); en lugar de solo los números reales. En este caso, dado un punto ( x ) de ese conjunto, se puede definir una colección de conjuntos "alrededor" (es decir, que contienen) x , que se utiliza para aproximar x . Por supuesto, esta colección tendría que satisfacer ciertas propiedades (conocidas como axiomas ) porque, de lo contrario, es posible que no tengamos un método bien definido para medir la distancia. Por ejemplo, cada punto en X debe aproximarse a x con cierto grado de precisión. Por tanto, X debería estar en esta familia. Una vez que comenzamos a definir conjuntos "más pequeños" que contienen x , tendemos a aproximar x con un mayor grado de precisión. Teniendo esto en cuenta, se pueden definir los axiomas restantes que la familia de conjuntos sobre x debe satisfacer.
Definiciones
Aquí se dan varias definiciones, en un orden creciente de tecnicismos. Cada uno es un caso especial del siguiente.
Espacio euclidiano
Un subconjunto de la euclidiano n -espacio R n es abierto si, para cada punto x en, existe un número real positivo ε (dependiendo de x ) tal que un punto en R n pertenece atan pronto como su distancia euclidiana de x sea menor que ε . [1] De manera equivalente, un subconjuntode R n está abierto si cada punto enes el centro de una bola abierta contenida en
Espacio métrico
Un subconjunto U de un espacio métrico ( M , d ) se llama abierto si, dado cualquier punto x en U , existe un número real ε > 0 tal que, dado cualquier puntosatisfacer d ( x , y ) < ε , y también pertenece a U . De manera equivalente, U es abierto si cada punto en U tiene una vecindad contenida en U .
Esto generaliza el ejemplo del espacio euclidiano, ya que el espacio euclidiano con la distancia euclidiana es un espacio métrico.
Espacio topológico
Un espacio topológico es un conjunto en el que se define una topología , que consiste en una colección de subconjuntos que se dice que están abiertos y satisfacen los axiomas que se dan a continuación.
Más precisamente, dejemos ser un conjunto. Una familia de subconjuntos de es una topología en, y los elementos de son los conjuntos abiertos de la topología si
- y (ambas cosas y son conjuntos abiertos)
- luego (cualquier unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto)
- luego (cualquier intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto)
No es necesario que estén abiertas las intersecciones infinitas de conjuntos abiertos. Por ejemplo, la intersección de todos los intervalos de la forma dónde es un entero positivo, es el conjunto que no está abierto en la línea real.
Un espacio métrico es un espacio topológico, cuya topología consiste en la colección de todos los subconjuntos que son uniones de bolas abiertas. Sin embargo, hay espacios topológicos que no son espacios métricos.
Tipos especiales de conjuntos abiertos
Conjuntos clopen y conjuntos no abiertos y / o no cerrados
Un conjunto puede estar abierto, cerrado, ambos o ninguno. En particular, los conjuntos abiertos y cerrados no son mutuamente excluyentes, lo que significa que en general es posible que un subconjunto de un espacio topológico sea simultáneamente un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado. Estos subconjuntos se conocen como conjuntos abiertos . Explícitamente, un subconjunto de un espacio topológico se llama clopen si ambos y su complemento son subconjuntos abiertos de ; o de manera equivalente, si y
En cualquier espacio topológico el conjunto vacío y el set en sí están siempre abiertos. Estos dos conjuntos son los ejemplos más conocidos de subconjuntos abiertos y muestran que existen subconjuntos cerrados en todos los espacios topológicos. Para ver porque está abierta, empiece recordando que los conjuntos y son, por definición, subconjuntos siempre abiertos (de ). También por definición, un subconjuntose llama cerrado si (y solo si) su complemento en cual es el set es un subconjunto abierto. Porque el complemento (en) de todo el conjunto es el conjunto vacío (es decir ), que es un subconjunto abierto, esto significa que es un subconjunto cerrado de (por definición de "subconjunto cerrado"). Por lo tanto, no importa qué topología se coloque en todo el espacio es simultáneamente un subconjunto abierto y también un subconjunto cerrado de ; dicho de otra manera,es siempre un subconjunto abierto de Porque el complemento del conjunto vacío es que es un subconjunto abierto, se puede usar el mismo razonamiento para concluir que es también un subconjunto abierto de
Considere la línea real dotado de su topología euclidiana habitual , cuyos conjuntos abiertos se definen de la siguiente manera: cada intervalo de números reales pertenece a la topología, cada unión de tales intervalos, por ejemplo pertenece a la topología, y como siempre, tanto y pertenecen a la topología.
- El intervalo está abierto en porque pertenece a la topología euclidiana. Si si tuviera un complemento abierto, significaría por definición que fueron cerrados. Perono tiene un complemento abierto; su complemento esque no pertenece a la topología euclidiana ya que no es una unión de intervalos abiertos de la forma Por eso, es un ejemplo de un conjunto que está abierto pero no cerrado.
- Por un argumento similar, el intervalo es un subconjunto cerrado pero no un subconjunto abierto.
- Finalmente, dado que ninguno de los dos ni su complemento pertenece a la topología euclidiana (porque no se puede escribir como una unión de intervalos de la forma ), esto significa que no está abierto ni cerrado.
Si un espacio topológico está dotado de la topología discreta (de modo que, por definición, cada subconjunto de está abierto) entonces cada subconjunto de es un subconjunto abierto. Para obtener un ejemplo más avanzado que recuerda a la topología discreta, suponga quees un ultrafiltro en un equipo no vacío Entonces el sindicato es una topología en con la propiedad de que cada subconjunto propio no vacío de es o bien un subconjunto abierto o bien un subconjunto cerrado, pero nunca ambos; eso es, si (dónde ) entonces exactamente una de las siguientes dos afirmaciones es verdadera: o (1) o si no, (2) Dicho de otra manera, cada subconjunto está abierto o cerrado, pero los únicos subconjuntos que son ambos (es decir, que están cerrados) son y
Conjuntos abiertos regulares
Un subconjunto de un espacio topológico se llama un conjunto abierto regular si o de manera equivalente, si dónde (resp. ) denota el límite topológico (resp. interior , cierre ) de en Un espacio topológico para el que existe una base que consta de conjuntos abiertos regulares se denomina espacio semirregular . Un subconjunto de es un conjunto abierto regular si y solo si su complemento en es un conjunto cerrado regular, donde por definición un subconjunto de se llama un conjunto cerrado regular si o de manera equivalente, si Todo conjunto abierto regular (resp. Conjunto cerrado regular) es un subconjunto abierto (resp. Es un subconjunto cerrado) aunque en general, [nota 1] lo contrario no es cierto.
Propiedades
La unión de cualquier número de conjuntos abiertos, o de un número infinito de conjuntos abiertos, es abierta. [2] La intersección de un número finito de conjuntos abiertos está abierta. [2]
Un complemento de un conjunto abierto (relativo al espacio en el que se define la topología) se denomina conjunto cerrado . Un conjunto puede ser tanto abierto como cerrado (un conjunto cerrado ). El conjunto vacío y el espacio completo son ejemplos de conjuntos abiertos y cerrados. [3]
Usos
Los conjuntos abiertos tienen una importancia fundamental en topología . El concepto es necesario para definir y dar sentido al espacio topológico y otras estructuras topológicas que se ocupan de las nociones de cercanía y convergencia para espacios como espacios métricos y espacios uniformes .
Cada subconjunto A de un espacio topológico X contiene un conjunto abierto (posiblemente vacío); el máximo (ordenado bajo inclusión) tal conjunto abierto se llama el interior de A . Puede construirse mediante la adopción de la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en una .
Una función entre dos espacios topológicos y es continua si la preimagen de cada conjunto abierto en está abierto en La función se llama abierto si la imagen de cada conjunto abierto en está abierto en
Un conjunto abierto en la línea real tiene la propiedad característica de que es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos.
Notas y precauciones
"Abierto" se define en relación con una topología particular
El hecho de que un conjunto esté abierto depende de la topología que se esté considerando. Habiendo optado por una mayor brevedad sobre una mayor claridad , nos referimos a un conjunto X dotado de una topologíacomo "el espacio topológico X " en lugar de "el espacio topológico", a pesar de que todos los datos topológicos están contenidos en Si hay dos topologías en el mismo conjunto, un conjunto U que está abierto en la primera topología puede no estar abierto en la segunda topología. Por ejemplo, si X es cualquier espacio topológico e Y es cualquier subconjunto de X , al conjunto Y se le puede dar su propia topología (llamada 'topología subespacial') definida por "un conjunto U está abierto en la topología subespacial en Y si y sólo si U es la intersección de Y con un conjunto abierto de la topología original en X ". Esto introduce potencialmente nuevos conjuntos abiertos: si V está abierto en la topología original en X , perono está abierto en la topología original en X , entonceses abierto en la topología del subespacio en Y .
Como ejemplo concreto de esto, si U se define como el conjunto de números racionales en el intervaloentonces U es un subconjunto abierto de los números racionales , pero no de los números reales . Esto es porque cuando el espacio circundante es los números racionales, para cada punto x en U , existe un número positivo un tal que todos los racionales puntos dentro de distancia una de x también están en U . Por otro lado, cuando el espacio circundante son los reales, entonces para cada punto x en U no hay un a positivo tal que todos los puntos reales dentro de la distancia a de x estén en U (porque U no contiene números no racionales).
Generalizaciones de conjuntos abiertos
A lo largo de, será un espacio topológico.
Un subconjunto de un espacio topológico se llama:
- α-abierto si, y el complemento de dicho conjunto se llama α-cerrado . [4]
- pre- abierto , casi abierto o localmente denso si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- [5]
- Existen subconjuntos tal que está abierto en es un subconjunto denso de y [5]
- Existe un abierto (en ) subconjunto tal que es un subconjunto denso de [5]
El complemento de un conjunto pre-abierto se llama precierre .
- b-abierto si. El complemento de un conjunto b-abierto se llama b-cerrado . [4]
- β-abierto o semiabierto si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- [4]
- es un subconjunto cerrado regular de [5]
- Existe un subconjunto preopen de tal que [5]
El complemento de un conjunto β-abierto se llama β-cerrado .
- abrir secuencialmente si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Siempre que una secuencia en converge a algún punto de entonces esa secuencia finalmente está en Explícitamente, esto significa que si es una secuencia en y si existe alguna es tal que en luego eventualmente está en (es decir, existe algún número entero tal que si luego ).
- es igual a su interior secuencial en que por definición es el conjunto
El complemento de un conjunto secuencialmente abierto se denomina secuencialmente cerrado . Un subconjunto se cierra secuencialmente en si y solo si es igual a su cierre secuencial , que por definición es el conjunto que consta de todos para el cual existe una secuencia en que converge a (en ).
- casi abierto y se dice que tiene la propiedad de Baire si existe un subconjunto abierto tal que es un subconjunto escaso , dondedenota la diferencia simétrica . [6]
- El subconjunto se dice que tiene la propiedad de Baire en el sentido restringido si para cada subconjunto de la intersección tiene la propiedad de Baire relativa a . [7]
- semiabierto si. El complemento ende un conjunto semiabierto se denomina conjunto semicerrado . [8]
- El semi-cierre (en) de un subconjunto denotado por es la intersección de todos los subconjuntos semicerrados de que contienen como un subconjunto. [8]
- semiabierto si para cada existe algún subconjunto semiabierto de tal que [8]
- θ-abierto (resp. δ-abierto ) si su complemento enes un conjunto θ-cerrado (resp. δ-cerrado ), donde por definición, un subconjunto dese llama θ-cerrado (resp. δ-cerrado ) si es igual al conjunto de todos sus puntos θ-cluster (resp. δ-cluster points). Un puntose llama un punto del grupo cluster (resp. un punto del grupo δ ) de un subconjunto si por cada barrio abierto de en la intersección no está vacío (resp. no está vacío). [8]
Usando el hecho de que
- y
siempre que dos subconjuntos satisfacer se puede deducir lo siguiente:
- Cada subconjunto α-abierto es semiabierto, semiabierto, preoperatorio y b-abierto.
- Cada conjunto b-abierto es semiabierto (es decir, β-abierto).
- Cada conjunto de preoperatorio es b-abierto y semiabierto.
- Cada conjunto semiabierto es b-abierto y semiabierto.
Además, un subconjunto es un conjunto abierto regular si y solo si está pre-abierto y semicerrado. [5] La intersección de un conjunto α-abierto y un conjunto semiabierto (resp. Semiabierto, preoperado, b-abierto) es un conjunto semiabierto (resp. Semiabierto, preoperado, b-abierto). [5] Los conjuntos pre-abiertos no necesitan ser semiabiertos y los conjuntos semiabiertos no necesitan estar pre-abiertos. [5]
Las uniones arbitrarias de conjuntos preopen (resp. Α-open, b-open, semi-preopen) son nuevamente preopen (resp. Α-open, b-open, semi-preopen). [9] Sin embargo, las intersecciones finitas de conjuntos pre-abiertos no necesitan estar pre-abiertos. [8] El conjunto de todos los subconjuntos α-abiertos de un espacio. forma una topología en que es mas fino que[4]
Un espacio topológico es Hausdorff si y solo si cada subespacio compacto deestá θ-cerrado. [8] Un espacioestá totalmente desconectado si y solo si cada subconjunto cerrado regular está preoperado o, de manera equivalente, si cada subconjunto semiabierto está preoperado. Además, el espacio está totalmente desconectado si y solo si el cierre de cada subconjunto preoperatorio está abierto. [4]
Ver también
- Mapa casi abierto : un mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto.
- Base (topología) : colección de conjuntos abiertos que es suficiente para definir una topología
- Conjunto clopen : subconjunto que está abierto y cerrado
- Conjunto cerrado : el complemento de un subconjunto abierto de un espacio topológico. Contiene todos los puntos que están "cercanos" a él.
- Homeomorfismo local : un mapa abierto continuo que, alrededor de cada punto de su dominio, tiene un vecindario en el que se restringe a un homomorfismo.
- Abrir mapa
- Subbase : colección de subconjuntos cuyo cierre por intersecciones finitas forman la base de una topología
Notas
- ^ Una excepción si elestá dotado de la topología discreta , en cuyo caso cada subconjunto de es un subconjunto abierto regular y un subconjunto cerrado regular de
Referencias
- ^ Ueno, Kenji; et al. (2005). "El nacimiento de múltiples". Un don matemático: la interacción entre topología, funciones, geometría y álgebra . 3 . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 38. ISBN 9780821832844.
- ^ a b Taylor, Joseph L. (2011). "Funciones analíticas". Variables complejas . La serie Sally. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 29. ISBN 9780821869017.
- ^ Krantz, Steven G. (2009). "Fundamentos". Fundamentos de topología con aplicaciones . Prensa CRC. págs. 3–4. ISBN 9781420089745.
- ↑ a b c d e Hart , 2004 , p. 9.
- ↑ a b c d e f g h Hart , 2004 , págs. 8–9.
- ^ Oxtoby, John C. (1980), "4. La propiedad de Baire", Medida y categoría , Textos de posgrado en matemáticas, 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, págs. 19-21, ISBN 978-0-387-90508-2.
- ^ Kuratowski, Kazimierz (1966), Topología. Vol. 1 , prensa académica y editores científicos polacos.
- ↑ a b c d e f Hart , 2004 , p. 8.
- ^ Hart 2004 , págs. 8-9.
Bibliografía
- Hart, Klaas (2004). Enciclopedia de topología general . Amsterdam Boston: Elsevier / Holanda Septentrional. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277 .
- Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
enlaces externos
- "Conjunto abierto" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]