En física y matemáticas , el grupo de Lorentz es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski , el escenario clásico y cuántico para todos los fenómenos físicos (no gravitacionales) . El grupo Lorentz lleva el nombre del físico holandés Hendrik Lorentz .
Por ejemplo, las siguientes leyes, ecuaciones y teorías respetan la simetría de Lorentz:
- Las leyes cinemáticas de la relatividad especial
- Ecuaciones de campo de Maxwell en la teoría del electromagnetismo
- La ecuación de Dirac en la teoría del electrón
- El modelo estándar de física de partículas
El grupo de Lorentz expresa la simetría fundamental del espacio y el tiempo de todas las leyes fundamentales conocidas de la naturaleza . En la física de la relatividad general , en casos que involucran regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo donde las variaciones gravitacionales son insignificantes, las leyes físicas son invariantes de Lorentz de la misma manera que las de la física de la relatividad especial.
Propiedades básicas
El grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo de Poincaré, el grupo de todas las isometrías del espacio-tiempo de Minkowski . Las transformaciones de Lorentz son, precisamente, isometrías que dejan fijo el origen. Por tanto, el grupo de Lorentz es un subgrupo de isotropía del grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski. Por esta razón, el grupo de Lorentz a veces se denomina grupo de Lorentz homogéneo, mientras que el grupo de Poincaré a veces se denomina grupo de Lorentz no homogéneo . Las transformaciones de Lorentz son ejemplos de transformaciones lineales ; Las isometrías generales del espacio-tiempo de Minkowski son transformaciones afines . Matemáticamente, el grupo de Lorentz puede describirse como el grupo ortogonal indefinido O (1,3), el grupo de matriz de Lie que conserva la forma cuadrática
en R 4 . Esta forma cuadrática, cuando se pone en forma de matriz (ver grupo ortogonal clásico ), se interpreta en física como el tensor métrico del espacio-tiempo de Minkowski.
El grupo de Lorentz es un grupo de Lie real no abeliano no compacto de seis dimensiones que no está conectado . Los cuatro componentes conectados no están simplemente conectados . [1] El componente de identidad (es decir, el componente que contiene el elemento de identidad) del grupo de Lorentz es en sí mismo un grupo, y a menudo se denomina grupo de Lorentz restringido , y se denota SO + (1,3). El grupo de Lorentz restringido consiste en aquellas transformaciones de Lorentz que preservan la orientación del espacio y la dirección del tiempo. Su grupo fundamental tiene orden 2, y su cobertura universal, el grupo de espín indefinido Spin (1,3), es isomorfo tanto al grupo lineal especial SL (2, C ) como al grupo simpléctico Sp (2, C ). Estos isomorfismos permiten que el grupo de Lorentz actúe sobre un gran número de estructuras matemáticas importantes para la física, sobre todo los espinores . Así, en la mecánica cuántica relativista y en la teoría cuántica de campos , es muy común llamar a SL (2, C ) el grupo de Lorentz, entendiendo que SO + (1,3) es una representación específica (la representación vectorial) del mismo. . Los biquaternions , populares en álgebra geométrica , también son isomorfos a SL (2, C ).
El grupo de Lorentz restringido también surge como el grupo de simetría de puntos de una determinada ecuación diferencial ordinaria . [ cual? ]
Componentes conectados
Debido a que es un grupo de Lie , el grupo de Lorentz O (1,3) es a la vez un grupo y admite una descripción topológica como una variedad suave . Como colector, tiene cuatro componentes conectados. Intuitivamente, esto significa que consta de cuatro piezas separadas topológicamente.
Los cuatro componentes conectados se pueden clasificar por dos propiedades de transformación que tienen sus elementos:
- Algunos elementos se invierten bajo transformaciones de Lorentz que invierten el tiempo, por ejemplo, un vector similar al tiempo que apunta al futuro se invierte a un vector que apunta al pasado.
- Algunos elementos tienen orientación invertida por transformaciones de Lorentz impropias , por ejemplo, ciertas vierbein (tétradas)
Las transformaciones de Lorentz que conservan la dirección del tiempo se denominan ortocrónico . El subgrupo de transformaciones ortocrónicas a menudo se denota O+(1,3). Las que conservan la orientación se denominanpropias, y como transformaciones lineales tienen determinante +1. (Las transformaciones de Lorentz impropias tienen determinante -1.) El subgrupo de transformaciones de Lorentz adecuadas se denota SO (1,3).
El subgrupo de todas las transformaciones de Lorentz que preservan tanto la orientación como la dirección del tiempo se denomina grupo de Lorentz ortocrónico apropiado o grupo de Lorentz restringido , y se denota por SO + (1, 3). (Tenga en cuenta que algunos autores se refieren a SO (1,3) o incluso a O (1,3) cuando en realidad se refieren a SO + (1, 3)).
Al conjunto de los cuatro componentes conectados se le puede dar una estructura de grupo como el grupo cociente O (1,3) / SO + (1,3), que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein . Cada elemento en O (1,3) puede escribirse como el producto semidirecto de una transformación ortocrónica adecuada y un elemento del grupo discreto.
- {1, P , T , PT }
donde P y T son los operadores de paridad e inversión de tiempo :
- P = diag (1, −1, −1, −1)
- T = diag (-1, 1, 1, 1).
Por lo tanto, una transformación de Lorentz arbitraria se puede especificar como una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada junto con otros dos bits de información, que seleccionan uno de los cuatro componentes conectados. Este patrón es típico de los grupos de Lie de dimensión finita.
Grupo Lorentz restringido
El grupo de Lorentz restringido es el componente de identidad del grupo de Lorentz, lo que significa que consta de todas las transformaciones de Lorentz que se pueden conectar a la identidad mediante una curva continua que se encuentra en el grupo. El grupo de Lorentz restringido es un subgrupo normal conectado del grupo de Lorentz completo con la misma dimensión, en este caso con la dimensión seis.
El grupo de Lorentz restringido se genera mediante rotaciones espaciales ordinarias y refuerzos de Lorentz (que son rotaciones en un espacio hiperbólico que incluye una dirección similar al tiempo [2] ). Dado que cada transformación de Lorentz ortocrónica adecuada se puede escribir como un producto de una rotación (especificada por 3 parámetros reales ) y un impulso (también especificado por 3 parámetros reales), se necesitan 6 parámetros reales para especificar una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada arbitraria. Esta es una forma de entender por qué el grupo de Lorentz restringido es de seis dimensiones. (Véase también el álgebra de Lie del grupo de Lorentz ).
El conjunto de todas las rotaciones forma un subgrupo de Lie isomorfo al grupo de rotación ordinario SO (3) . El conjunto de todos los aumentos, sin embargo, no forma un subgrupo, ya que componer dos aumentos, en general, no da como resultado otro impulso. (Más bien, un par de impulsos no colineales equivale a un impulso y una rotación, y esto se relaciona con la rotación de Thomas ). Un impulso en alguna dirección o una rotación alrededor de algún eje genera un subgrupo de un parámetro .
Superficies de transitividad
Si un grupo G actúa sobre un espacio V , entonces una superficie S ⊂ V es una superficie de transitividad si S es invariante bajo G , es decir, ∀ g ∈ G , ∀ s ∈ S : gs ∈ S , y para dos puntos cualesquiera s 1 , s 2 ∈ S hay un g ∈ G tal que gs 1 = s 2 . Por definición del grupo de Lorentz, conserva la forma cuadrática
Las superficies de transitividad del grupo de Lorentz ortocrónico O + (1, 3) , Q ( x ) = const. del espacio-tiempo son los siguientes: [3]
- Q ( x )> 0, x 0 > 0 es la rama superior de un hiperboloide de dos hojas. Los puntos en esta hoja están separados del origen por unvector similar al tiempo futuro.
- Q ( x )> 0, x 0 <0 es la rama inferior de este hiperboloide. Los puntos de esta hoja sonvectores similares al tiempo pasado.
- Q ( x ) = 0, x 0 > 0 es la rama superior del cono de luz , el futuro cono de luz.
- Q ( x ) = 0, x 0 <0 es la rama inferior del cono de luz, el cono de luz pasado.
- Q ( x ) <0 es un hiperboloide de una hoja. Los puntos en esta hoja estánseparados del origen como un espacio .
- El origen x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 0 .
Estas superficies son 3 -dimensional , por lo que las imágenes no son fieles, pero son fieles a los correspondientes hechos acerca de O + (1, 2) . Para el grupo de Lorentz completo, las superficies de transitividad son solo cuatro, ya que la transformación T toma una rama superior de un hiperboloide (cono) a una inferior y viceversa.
Estas observaciones constituyen un buen punto de partida para encontrar todas las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz, de hecho, del grupo de Poincaré, utilizando el método de representaciones inducidas . [4] Uno comienza con un "vector estándar", uno para cada superficie de transitividad, y luego pregunta qué subgrupo conserva estos vectores. Estos subgrupos son llamados pequeños grupos por los físicos. Entonces, el problema se reduce esencialmente al problema más sencillo de encontrar representaciones de los pequeños grupos. Por ejemplo, un vector estándar en una de las hipérbolas de dos hojas podría elegirse adecuadamente como ( m , 0, 0, 0) . Para cada m ≠ 0 , el vector perfora exactamente una hoja. En este caso, el pequeño grupo es SO (3) , el grupo de rotación , cuyas representaciones se conocen todas. La representación unitaria de dimensión infinita precisa bajo la cual una partícula se transforma es parte de su clasificación. No todas las representaciones pueden corresponder a partículas físicas (hasta donde se conoce). Los vectores estándar en las hipérbolas de una hoja corresponderían a taquiones . Las partículas del cono de luz son fotones y, más hipotéticamente, gravitones . La "partícula" correspondiente al origen es el vacío.
Homomorfismos e isomorfismos
Varios otros grupos son homomórficos o isomórficos al grupo restringido de Lorentz SO + (1, 3). Estos homomorfismos juegan un papel clave en la explicación de varios fenómenos de la física.
- El grupo lineal especial SL (2, C ) es una doble cobertura del grupo de Lorentz restringido. Esta relación se usa ampliamente para expresar la invariancia de Lorentz de la ecuación de Dirac y la covarianza de espinores .
- El grupo simpléctico Sp (2, C ) es isomorfo a SL (2, C ); se utiliza para construir espinores de Weyl , así como para explicar cómo los espinores pueden tener masa.
- El grupo de espín Spin (1,3) es isomorfo a SL (2, C ); se utiliza para explicar el espín y los espinores en términos del álgebra de Clifford , dejando claro cómo generalizar el grupo de Lorentz a los ajustes generales de la geometría riemanniana , incluidas las teorías de la supergravedad y la teoría de cuerdas .
- El grupo de Lorentz restringido es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL (2, C ) que es, a su vez, isomorfo al grupo de Möbius , el grupo de simetría de geometría conforme en la esfera de Riemann . Esta relación es fundamental para la clasificación de los subgrupos del grupo de Lorentz de acuerdo con un esquema de clasificación anterior desarrollado para el grupo de Möbius.
La representación de Weyl
La representación de Weyl o mapa de espinor es un par de homomorfismos sobreyectivos de SL (2, C ) a SO + (1,3). Forman un par emparejado bajo transformaciones de paridad , correspondientes a espinores quirales izquierdo y derecho .
Se puede definir una acción de SL (2, C ) en el espacio-tiempo de Minkowski escribiendo un punto del espacio-tiempo como una matriz hermitiana de dos por dos en la forma
en términos de matrices de Pauli . Esta presentación, la presentación de Weyl, satisface
Por tanto, se ha identificado el espacio de matrices hermitianas (que es tetradimensional, como un espacio vectorial real ) con el espacio-tiempo de Minkowski, de tal manera que el determinante de una matriz hermitiana es la longitud al cuadrado del vector correspondiente en el espacio-tiempo de Minkowski. Un elemento actúa sobre el espacio de las matrices hermitianas a través de
dónde es la transposición hermitiana de. Esta acción conserva el determinante y, por lo tanto, SL (2, C ) actúa sobre el espacio-tiempo de Minkowski mediante isometrías (lineales). La forma de paridad invertida de lo anterior es
que se transforma como
Que esta es la transformación correcta se sigue al señalar que
permanece invariante bajo el par de transformaciones anterior.
Estos mapas son sobreyectiva , y kernel de cualquiera de mapa es el de dos elementos de subgrupos ± I . Según el primer teorema del isomorfismo , el grupo cociente PSL (2, C ) = SL (2, C ) / {± I } es isomorfo a SO + (1,3).
El mapa de paridad intercambia estas dos coberturas. Corresponde a que la conjugación hermitiana es un automorfismo deEstas dos cubiertas distintas corresponden a las dos acciones quirales distintas del grupo de Lorentz sobre los espinores . La forma no superpuesta corresponde a espinores diestros que se transforman como mientras que la forma sobrelínea corresponde a espinores zurdos que se transforman como [a]
Es importante observar que este par de cubiertas no sobrevive a la cuantificación; cuando se cuantifica, esto conduce al peculiar fenómeno de la anomalía quiral . Las simetrías clásicas ( es decir, no cuantificadas) del grupo de Lorentz se rompen por cuantificación; este es el contenido del teorema del índice de Atiyah-Singer .
Convenciones de notación
En física, es convencional denotar una transformación de Lorentz como mostrando así la matriz con índices espaciotemporales Se puede crear un vector de cuatro a partir de las matrices de Pauli de dos formas diferentes: como y como Las dos formas están relacionadas por una transformación de paridad . Tenga en cuenta que
Dada una transformación de Lorentz la doble cobertura del grupo de Lorentz ortocrónico por dado arriba se puede escribir como
Dejando caer el esto toma la forma
La forma conjugada de paridad es
Que lo anterior sea la forma correcta para la notación indexada no es inmediatamente obvio, en parte porque, cuando se trabaja en notación indexada, es bastante fácil confundir accidentalmente una transformada de Lorentz con su inversa o su transposición. Esta confusión surge debido a la identidadsiendo difícil de reconocer cuando se escribe en forma indexada. ¡Las transformadas de Lorentz no son tensores bajo las transformaciones de Lorentz! Por tanto, una prueba directa de esta identidad es útil para establecer su corrección. Se puede demostrar comenzando con la identidad
dónde de modo que las anteriores son solo las matrices de Pauli habituales, y es la transposición de la matriz, y es una conjugación compleja. La matriz es
Escrita como el cuatro-vector, la relación es
Esto se transforma como
Tomando una transposición más, se obtiene
El grupo simpléctico
El grupo simpléctico Sp (2, C ) es isomorfo a SL (2, C ). Este isomorfismo se construye para preservar una forma bilineal simpléctica enes decir, dejar la forma invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Esto se puede articular de la siguiente manera. El grupo simpléctico se define como
dónde
Otras notaciones comunes son para este elemento; algunas vecesse utiliza, pero esto invita a la confusión con la idea de estructuras casi complejas , que no son iguales, ya que se transforman de manera diferente.
Dado un par de espinores de Weyl (espinores de dos componentes)
la forma bilineal invariante se escribe convencionalmente como
Esta forma es invariante bajo el grupo de Lorentz, de modo que para uno tiene
Esto define una especie de "producto escalar" de espinores, y se usa comúnmente para definir un término de masa invariante de Lorentz en lagrangianos . Hay varias propiedades notables a destacar que son importantes para la física. Uno es que y entonces
La relación definitoria se puede escribir como
que se asemeja mucho a la relación definitoria para el grupo de Lorentz
dónde es el tensor métrico para el espacio de Minkowski y, por supuesto, como antes.
Cubriendo grupos
Dado que SL (2, C ) está simplemente conectado, es el grupo de cobertura universal del grupo restringido de Lorentz SO + (1, 3) . Por restricción, existe un homomorfismo SU (2) → SO (3) . Aquí, el grupo unitario especial SU (2), que es isomorfo al grupo de cuaterniones de norma unitaria , también está simplemente conectado, por lo que es el grupo de cobertura del grupo de rotación SO (3). Cada uno de estos mapas de cobertura son cubiertas dobles en el sentido de que precisamente dos elementos del grupo de cobertura se asignan a cada elemento del cociente. A menudo se dice que el grupo de Lorentz restringido y el grupo de rotación están doblemente conectados . Esto significa que el grupo fundamental de cada grupo es isomorfo al grupo cíclico de dos elementos Z 2 .
Los revestimientos dobles son característicos de los grupos de espín . De hecho, además de los revestimientos dobles
- Girar + (1, 3) = SL (2, C ) → SO + (1, 3)
- Girar (3) = SU (2) → SO (3)
tenemos los revestimientos dobles
- Pin (1, 3) → O (1, 3)
- Girar (1, 3) → SO (1, 3)
- Girar + (1, 2) = SU (1, 1) → SO (1, 2)
Estos revestimientos dobles espinoriales se construyen a partir de álgebras de Clifford .
Topología
Los grupos izquierdo y derecho en la doble cobertura.
- SU (2) → SO (3)
son retracciones de deformación de los grupos izquierdo y derecho, respectivamente, en el doble recubrimiento
- SL (2, C ) → SO + (1,3).
Pero el espacio homogéneo SO + (1,3) / SO (3) es homeomorfo al hiperbólico 3-espacio H 3 , por lo que hemos exhibido el grupo de Lorentz restringido como un haz de fibras principal con fibras SO (3) y base H 3 . Dado que este último es homeomorfo para R 3 , mientras que SO (3) es homeomorfo para el espacio proyectivo real tridimensional R P 3 , vemos que el grupo de Lorentz restringido es localmente homeomorfo al producto de R P 3 con R 3 . Dado que el espacio base es contráctil, esto puede extenderse a un homeomorfismo global. [ aclaración necesaria ]
Generadores de impulsos y rotaciones
El grupo de Lorentz se puede considerar como un subgrupo del grupo de difeomorfismo de R 4 y, por lo tanto, su álgebra de Lie se puede identificar con campos vectoriales en R 4 . En particular, los vectores que generan isometrías en un espacio son sus vectores Killing , que proporcionan una alternativa conveniente al campo vectorial invariante a la izquierda para calcular el álgebra de Lie. Podemos anotar un conjunto de seis generadores:
- Campos vectoriales en R 4 que generan tres rotaciones i J ,
- Campos vectoriales en R 4 que generan tres impulsos i K ,
Puede ser útil recordar aquí brevemente cómo obtener un grupo de un parámetro a partir de un campo vectorial , escrito en la forma de un operador diferencial parcial lineal de primer orden , como
El problema de valor inicial correspondiente es
La solución se puede escribir
o
donde reconocemos fácilmente el grupo de rotaciones de la matriz de un parámetro exp ( i λ J z ) alrededor del eje z.
Diferenciando con respecto al parámetro de grupo λ y configurándolo λ = 0 en ese resultado, recuperamos la matriz estándar,
que corresponde al campo vectorial con el que comenzamos. Esto ilustra cómo pasar entre representaciones de campos matriciales y vectoriales de elementos del álgebra de Lie. El mapa exponencial juega este papel especial no solo para el grupo de Lorentz sino para los grupos de Lie en general.
Invirtiendo el procedimiento de la sección anterior, vemos que las transformaciones de Möbius que corresponden a nuestros seis generadores surgen de exponenciar respectivamente η / 2 (para los tres aumentos) o iθ / 2 (para las tres rotaciones) por las tres matrices de Pauli.
Clases conjugadas
Debido a que el grupo de Lorentz restringido SO + (1, 3) es isomorfo al grupo de Möbius PSL (2, C ), sus clases de conjugación también se dividen en cinco clases:
- Transformaciones elípticas
- Transformaciones hiperbólicas
- Transformaciones loxodrómicas
- Transformaciones parabólicas
- La transformación de la identidad trivial
En el artículo sobre transformaciones de Möbius , se explica cómo surge esta clasificación al considerar los puntos fijos de las transformaciones de Möbius en su acción sobre la esfera de Riemann, que corresponde aquí a eigenspaces nulos de transformaciones de Lorentz restringidas en su acción sobre el espacio-tiempo de Minkowski.
En las subsecciones siguientes se da un ejemplo de cada tipo, junto con el efecto del subgrupo de un parámetro que genera (por ejemplo, en la apariencia del cielo nocturno).
Las transformaciones de Möbius son las transformaciones conformes de la esfera de Riemann (o esfera celeste). Luego, al conjugar con un elemento arbitrario de SL (2, C ) se obtienen los siguientes ejemplos de transformaciones de Lorentz arbitrarias elípticas, hiperbólicas, loxodrómicas y parabólicas (restringidas), respectivamente. El efecto sobre las líneas de flujo de los subgrupos correspondientes de un parámetro es transformar el patrón visto en los ejemplos mediante alguna transformación conforme. Por ejemplo, una transformación de Lorentz elíptica puede tener dos puntos fijos distintos en la esfera celeste, pero los puntos aún fluyen a lo largo de arcos circulares desde un punto fijo hacia el otro. Los otros casos son similares.
Elíptico
Un elemento elíptico de SL (2, C ) es
y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. Al escribir la acción como X ↦ P 1 X P 1 † y recopilar términos, el mapa de espinor convierte esto en la transformación de Lorentz (restringida)
Esta transformación entonces representa una rotación sobre el eje z , exp ( iθJ z ). El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando θ como una variable real, el ángulo de rotación, en lugar de una constante.
Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten todos los mismos dos puntos fijos, los polos norte y sur. Las transformaciones mueven todos los demás puntos alrededor de círculos de latitud de modo que este grupo produce una rotación continua en sentido antihorario sobre el eje z a medida que aumenta θ . La duplicación del ángulo evidente en el mapa de espinor es un rasgo característico de las cubiertas dobles espinoriales .
Hiperbólico
Un elemento hiperbólico de SL (2, C ) es
y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. Bajo proyección estereográfica desde la esfera de Riemann al plano euclidiano, el efecto de esta transformación de Möbius es una dilatación desde el origen.
El mapa de espinor convierte esto en la transformación de Lorentz
Esta transformación representa un impulso a lo largo del eje z con rapidez η . El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando η como una variable real, en lugar de una constante. Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten todos los mismos puntos fijos (los polos norte y sur), y mueven todos los demás puntos a lo largo de longitudes alejándose del polo sur y hacia el polo norte.
Loxodrómico
Un elemento loxodrómico de SL (2, C ) es
y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. El mapa de espinor convierte esto en la transformación de Lorentz
El subgrupo de un parámetro que esto genera se obtiene reemplazando η + iθ con cualquier múltiplo real de esta constante compleja. (Si η, θ varían independientemente, entonces se obtiene un subgrupo abeliano bidimensional , que consiste en rotaciones simultáneas sobre el eje z y refuerzos a lo largo del eje z ; en contraste, el subgrupo unidimensional discutido aquí consiste en aquellos elementos de este subgrupo bidimensional de modo que la rapidez del impulso y el ángulo de rotación tengan una relación fija .)
Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten todos los mismos dos puntos fijos (los polos norte y sur). Mueven todos los demás puntos lejos del polo sur y hacia el polo norte (o viceversa), a lo largo de una familia de curvas llamadas loxódromos . Cada loxódromo gira en espiral infinitamente a menudo alrededor de cada polo.
Parabólico
Un elemento parabólico de SL (2, C ) es
y tiene el único punto fijo ξ = ∞ en la esfera de Riemann. Bajo proyección estereográfica, aparece como una traslación ordinaria a lo largo del eje real .
El mapa de espinor convierte esto en la matriz (que representa una transformación de Lorentz)
Esto genera un subgrupo abeliano de dos parámetros, que se obtiene considerando α una variable compleja en lugar de una constante. Las correspondientes transformaciones continuas de la esfera celeste (excepto la transformación de identidad) mueven puntos a lo largo de una familia de círculos que son todos tangentes en el polo norte a cierto gran círculo . Todos los puntos, excepto el polo norte, se mueven a lo largo de estos círculos.
Las transformaciones parabólicas de Lorentz a menudo se denominan rotaciones nulas . Dado que es probable que estos sean los menos conocidos de los cuatro tipos de transformaciones de Lorentz sin identidad (elíptica, hiperbólica, loxodrómica, parabólica), aquí se ilustra cómo determinar el efecto de un ejemplo de una transformación de Lorentz parabólica en el espacio-tiempo de Minkowski.
La matriz dada arriba produce la transformación
Ahora, sin pérdida de generalidad, elija Im (α) = 0 . Diferenciar esta transformación con respecto al parámetro de grupo α ahora real y evaluar en α = 0 produce el campo vectorial correspondiente (operador diferencial parcial lineal de primer orden),
Aplique esto a una función f (t, x, y, z) y exija que permanezca invariante, es decir, que sea aniquilada por esta transformación. La solución de la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden resultante se puede expresar en la forma
donde F es una función suave arbitraria . Los argumentos de F dan tres invariantes racionales que describen cómo se mueven los puntos (eventos) bajo esta transformación parabólica, ya que ellos mismos no se mueven,
La elección de valores reales para las constantes en el lado derecho produce tres condiciones y, por lo tanto, especifica una curva en el espacio-tiempo de Minkowski. Esta curva es una órbita de la transformación.
La forma de los invariantes racionales muestra que estas líneas de flujo (órbitas) tienen una descripción simple: suprimiendo la coordenada no esencial y , cada órbita es la intersección de un plano nulo , t = z + c 2 , con un hiperboloide , t 2 - x 2 - z 2 = c 3 . El caso c 3 = 0 tiene el hiperboloide degenerado en un cono de luz con las órbitas convirtiéndose en parábolas que se encuentran en los correspondientes planos nulos.
Una línea nula particular que se encuentra en el cono de luz se deja invariante ; esto corresponde al punto fijo único (doble) en la esfera de Riemann mencionado anteriormente. Las otras líneas nulas que atraviesan el origen "giran alrededor del cono" por la transformación. Seguir el movimiento de una línea nula a medida que α aumenta corresponde a seguir el movimiento de un punto a lo largo de una de las líneas de flujo circulares en la esfera celeste, como se describió anteriormente.
Una elección Re (α) = 0 en vez, produce órbitas similares, ahora con los papeles de x y y intercambiado.
Las transformaciones parabólicas conducen a la simetría de calibre de partículas sin masa (como fotones ) con helicidad | h | ≥ 1. En el ejemplo anterior explícita, una partícula sin masa en movimiento en la z dirección, así que con 4-impulso P = ( p , 0, 0, p ), no se ve afectada en absoluto por el x -boost y y combinación -rotation K x - J y se define a continuación, en el "pequeño grupo" de su movimiento. Esto es evidente a partir de la ley de transformación explícita discutida: como cualquier vector similar a la luz, P es ahora invariante, es decir, todos los rastros o efectos de α han desaparecido. c 1 = c 2 = c 3 = 0, en el caso especial discutido. (El otro generador similar, K y + J x así como él y J z comprenden en conjunto el pequeño grupo del vector similar a la luz, isomorfo a E (2).)
Aparición del cielo nocturno
Este isomorfismo tiene la consecuencia de que las transformaciones de Möbius de la esfera de Riemann representan la forma en que las transformaciones de Lorentz cambian la apariencia del cielo nocturno, como lo ve un observador que está maniobrando a velocidades relativistas relativas a las "estrellas fijas".
Supongamos que las "estrellas fijas" viven en el espacio-tiempo de Minkowski y están modeladas por puntos en la esfera celeste. Entonces, un punto dado en la esfera celeste se puede asociar con ξ = u + iv , un número complejo que corresponde al punto en la esfera de Riemann , y se puede identificar con un vector nulo (un vector similar a la luz ) en el espacio de Minkowski.
o, en la representación de Weyl (el mapa de espinor), la matriz hermitiana
El conjunto de múltiplos escalares reales de este vector nulo, llamado línea nula que pasa por el origen, representa una línea de visión desde un observador en un lugar y tiempo en particular (un evento arbitrario que podemos identificar con el origen del espacio-tiempo de Minkowski) a varios puntos distantes. objetos, como estrellas. Luego, los puntos de la esfera celeste (equivalentemente, líneas de visión) se identifican con ciertas matrices hermitianas.
Álgebra de mentiras
Al igual que con cualquier grupo de Lie, una forma útil de estudiar muchos aspectos del grupo de Lorentz es a través de su álgebra de Lie . Dado que el grupo de Lorentz SO (1,3) es un grupo de Lie matricial , su álgebra de Lie entonces (1,3) es un álgebra de matrices, que se puede calcular como [5]
- .
Si es la matriz diagonal con entradas diagonales , entonces el álgebra de Lie o (1,3) consiste en matrices tal que [6]
- .
Explícitamente, entonces (1,3) consiste en matrices de la forma
- ,
dónde son números reales arbitrarios. Este álgebra de Lie es de seis dimensiones. La subálgebra de so (1,3) que consta de elementos en los que, , y igual cero es isomorfo a entonces (3).
Tenga en cuenta que el grupo de Lorentz completo O (1,3), el grupo de Lorentz adecuado SO (1,3) y el grupo de Lorentz ortocrónico adecuado todos tienen el mismo álgebra de Lie, que normalmente se denota así (1,3).
Dado que el componente de identidad del grupo de Lorentz es isomorfo a un cociente finito de SL (2, C) (ver la sección anterior sobre la conexión del grupo de Lorentz al grupo de Möbius), el álgebra de Lie del grupo de Lorentz es isomorfo al Álgebra de mentiras sl (2, C). Tenga en cuenta que sl (2, C) es tridimensional cuando se ve como un álgebra de Lie compleja, pero de seis dimensiones cuando se ve como un álgebra de Lie real.
Generadores del grupo Möbius
Otro grupo generador surge a través del isomorfismo al grupo de Möbius. La siguiente tabla enumera los seis generadores, en los que
- La primera columna da un generador del flujo bajo la acción de Möbius (después de la proyección estereográfica de la esfera de Riemann) como un campo vectorial real en el plano euclidiano.
- La segunda columna da el subgrupo correspondiente de un parámetro de transformaciones de Möbius.
- La tercera columna da el correspondiente subgrupo de un parámetro de transformaciones de Lorentz (la imagen bajo nuestro homomorfismo del subgrupo de un parámetro anterior).
- La cuarta columna da el generador correspondiente del flujo bajo la acción de Lorentz como un campo vectorial real en el espacio-tiempo de Minkowski.
Observe que los generadores constan de
- Dos parabólicas (rotaciones nulas)
- Uno hiperbólico (impulso en la dirección ∂ z )
- Tres elípticas (rotaciones sobre los ejes x, y, z , respectivamente)
Campo vectorial en R 2 | Subgrupo de un parámetro de SL (2, C ), que representa las transformaciones de Möbius | Subgrupo de un parámetro de SO + (1,3), que representa las transformaciones de Lorentz | Campo de vector en R 4 |
---|---|---|---|
Parabólico | |||
Hiperbólico | |||
Elíptico | |||
Verifiquemos una línea en esta tabla. Empezar con
Exponenciar:
Este elemento de SL (2, C ) representa el subgrupo de un parámetro de transformaciones (elípticas) de Möbius:
Próximo,
El campo de vector correspondiente en C (considerado como la imagen de S 2 bajo proyección estereográfica) es
Escritura , esto se convierte en el campo vectorial en R 2
Volviendo a nuestro elemento de SL (2, C ), escribiendo la accióny recolectando términos, encontramos que la imagen debajo del mapa de espinor es el elemento de SO + (1,3)
Al diferenciar con respecto a θ en θ = 0, se obtiene el campo vectorial correspondiente en R 4 ,
Evidentemente, este es el generador de rotación en sentido antihorario sobre el eje y .
Subgrupos del grupo Lorentz
Las subálgebras del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se pueden enumerar, hasta la conjugación, a partir de las cuales se pueden enumerar los subgrupos cerrados del grupo de Lorentz restringido, hasta la conjugación. (Consulte el libro de Hall citado a continuación para obtener más detalles). Estos pueden expresarse fácilmente en términos de los generadores dado en la tabla anterior.
Las subálgebras unidimensionales, por supuesto, corresponden a las cuatro clases de conjugación de elementos del grupo de Lorentz:
- genera una subálgebra de parámetros parabólicos SO (0,1),
- genera una subálgebra de un parámetro de impulsos SO (1,1),
- genera un parámetro de rotaciones SO (2),
- (para cualquier ) genera una subálgebra de un parámetro de transformaciones loxodrómicas.
(Estrictamente hablando, la última corresponde a un número infinito de clases, ya que distintas dar clases diferentes.) Las subálgebras bidimensionales son:
- generar una subálgebra abeliana que consiste enteramente en parabólicos,
- generar una subálgebra no beliana isomorfa al álgebra de Lie del grupo afín Aff (1),
- generar una subálgebra abeliana que consta de impulsos, rotaciones y loxodrómicos, todos compartiendo el mismo par de puntos fijos.
Las subálgebras tridimensionales utilizan el esquema de clasificación de Bianchi :
- generar una subálgebra de Bianchi V , isomorfa al álgebra de Lie de Hom (2), el grupo de homotecias euclidianas ,
- generar una subálgebra de Bianchi VII_0 , isomorfa al álgebra de Lie de E (2), el grupo euclidiano ,
- , dónde , generar una subálgebra de Bianchi VII_a ,
- generar una subálgebra de Bianchi VIII , isomorfa al álgebra de Lie de SL (2, R ), el grupo de isometrías del plano hiperbólico ,
- generar una subálgebra de Bianchi IX , isomorfa al álgebra de Lie de SO (3), el grupo de rotación.
Los tipos de Bianchi se refieren a la clasificación de álgebras de Lie tridimensionales del matemático italiano Luigi Bianchi . Las subálgebras de cuatro dimensiones están todas conjugadas a
- generar una subálgebra isomorfa al álgebra de Lie de Sim (2), el grupo de similitudes euclidianas .
Las subálgebras forman un enrejado (ver la figura), y cada subálgebra genera por exponenciación un subgrupo cerrado del grupo de Lie restringido. A partir de estos, se pueden construir todos los subgrupos del grupo de Lorentz, hasta la conjugación, multiplicando por uno de los elementos del grupo de cuatro de Klein.
Como ocurre con cualquier grupo de Lie conectado, los espacios laterales de los subgrupos cerrados del grupo restringido de Lorentz, o espacios homogéneos , tienen un interés matemático considerable. Algunas descripciones breves:
- El grupo Sim (2) es el estabilizador de una línea nula , es decir, de un punto en la esfera de Riemann, por lo que el espacio homogéneo SO + (1,3) / Sim (2) es la geometría kleiniana que representa la geometría conforme en el esfera S 2 .
- El (componente de identidad del) grupo euclidiano SE (2) es el estabilizador de un vector nulo , por lo que el espacio homogéneo SO + (1,3) / SE (2) es el espacio de momento de una partícula sin masa; geométricamente, esta geometría kleiniana representa la geometría degenerada del cono de luz en el espacio-tiempo de Minkowski.
- El grupo de rotación SO (3) es el estabilizador de un vector similar al tiempo , por lo que el espacio homogéneo SO + (1,3) / SO (3) es el espacio de momento de una partícula masiva; geométricamente, este espacio no es otro que el espacio hiperbólico tridimensional H 3 .
Generalización a dimensiones superiores
El concepto del grupo de Lorentz tiene una generalización natural al espacio-tiempo de cualquier número de dimensiones. Matemáticamente, el grupo de Lorentz del espacio de Minkowski n + unidimensional es el grupo ortogonal indefinido O ( n , 1) de transformaciones lineales de R n +1 que conserva la forma cuadrática
El grupo O (1, n ) conserva la forma cuadrática
Es isomórfico a O ( n , 1) pero goza de mayor popularidad en la física matemática, principalmente porque el álgebra de la ecuación de Dirac , y más en general, los espinores y álgebras de Clifford, son "más naturales" con esta firma.
Muchas de las propiedades del grupo de Lorentz en cuatro dimensiones (donde n = 3 ) se generalizan directamente a n arbitrarios . Por ejemplo, el grupo de Lorentz O ( n , 1) tiene cuatro componentes conectados y actúa mediante transformaciones conformes en la esfera celeste ( n -1) en el espacio de Minkowski n + 1 dimensional. El componente de identidad SO + ( n , 1) es un paquete SO ( n ) sobre el espacio n hiperbólico H n .
Los casos de baja dimensión n = 1 y n = 2 a menudo son útiles como "modelos de juguete" para el caso físico n = 3 , mientras que los grupos de Lorentz de dimensiones superiores se utilizan en las teorías físicas tales como la teoría de cuerdas que postulan la existencia de dimensiones ocultas . El grupo de Lorentz O ( n , 1) es también el grupo de isometría del espacio de Sitter n- dimensional dS n , que puede realizarse como el espacio homogéneo O ( n , 1) / O ( n −1,1). En particular, O (4,1) es el grupo de isometría del universo de De Sitter dS 4 , un modelo cosmológico.
Ver también
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Notas
- ^ Consulte el artículo Ecuación de Weyl para conocer las derivaciones explícitas.
Referencias
- ^ Weinberg 2002
- ^ Varićak V 1910 "Teoría de la relatividad y geometría lobachevskiana", Phys Z 1910 §3 'Transformación de Lorentz-Einstein como traducción'. Engl.tr en Wikipedia
- ^ Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
- ^ Wigner, 1939
- ↑ Hall 2015 Definición 3.18
- ^ Salón 2015 Proposición 3.25
Leyendo lista
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