En matemáticas , hay muchos tipos de estructuras algebraicas que se estudian. El álgebra abstracta es principalmente el estudio de estructuras algebraicas específicas y sus propiedades. Las estructuras algebraicas pueden verse de diferentes maneras, sin embargo, el punto de partida común de los textos de álgebra es que un objeto algebraico incorpora uno o más conjuntos con una o más operaciones binarias u operaciones unarias que satisfacen una colección de axiomas .
Otra rama de las matemáticas conocida como álgebra universal estudia las estructuras algebraicas en general. Desde el punto de vista del álgebra universal, la mayoría de las estructuras se pueden dividir en variedades y cuasivariedades según los axiomas utilizados. Algunos sistemas formales axiomáticos que no son ni variedades ni cuasivariedades, llamados novariedades , a veces se incluyen entre las estructuras algebraicas por tradición.
En los artículos enumerados se encontrarán ejemplos concretos de cada estructura.
Las estructuras algebraicas son tan numerosas hoy que este artículo será inevitablemente incompleto. Además de esto, a veces hay varios nombres para la misma estructura y, a veces, un nombre será definido por axiomas en desacuerdo por diferentes autores. La mayoría de las estructuras que aparecen en esta página serán comunes con las que la mayoría de los autores están de acuerdo. Otras listas web de estructuras algebraicas, organizadas más o menos alfabéticamente, incluyen Jipsen y PlanetMath. Estas listas mencionan muchas estructuras que no se incluyen a continuación y pueden presentar más información sobre algunas estructuras que la que se presenta aquí.
Estudio de estructuras algebraicas
Las estructuras algebraicas aparecen en la mayoría de las ramas de las matemáticas y se pueden encontrar de muchas formas diferentes.
- Estudio inicial: en las universidades estadounidenses, los grupos , los espacios vectoriales y los campos son generalmente las primeras estructuras que se encuentran en materias como el álgebra lineal . Por lo general, se presentan como conjuntos con ciertos axiomas.
- Estudio avanzado:
- El álgebra abstracta estudia las propiedades de estructuras algebraicas específicas.
- El álgebra universal estudia las estructuras algebraicas de forma abstracta, en lugar de tipos específicos de estructuras.
- La teoría de categorías estudia las interrelaciones entre diferentes estructuras, algebraicas y no algebraicas. Para estudiar un objeto no algebraico, a menudo es útil utilizar la teoría de categorías para relacionar el objeto con una estructura algebraica.
- Ejemplo: el grupo fundamental de un espacio topológico proporciona información sobre el espacio topológico.
Tipos de estructuras algebraicas
En total generalidad, una estructura algebraica puede usar cualquier número de conjuntos y cualquier número de axiomas en su definición. Sin embargo, las estructuras más comúnmente estudiadas generalmente involucran solo uno o dos conjuntos y una o dos operaciones binarias . Las siguientes estructuras están organizadas por cuántos conjuntos están involucrados y cuántas operaciones binarias se utilizan. La sangría aumentada está destinada a indicar una estructura más exótica, y los niveles menos sangrados son los más básicos.
Una operación binaria en un conjunto
Estructuras de tipo grupal | |||||
---|---|---|---|---|---|
Totalidad α | Asociatividad | Identidad | Invertibilidad | Conmutatividad | |
Semigropoide | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Categoría pequeña | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Groupoid | Innecesario | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Magma | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Cuasigrupo | Requerido | Innecesario | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Magma unital | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Círculo | Requerido | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario |
Semigroup | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Semigroup inverso | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Monoide | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Monoide conmutativo | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido |
Grupo | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Grupo abeliano | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido |
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente. |
Las siguientes estructuras constan de un conjunto con una operación binaria. La estructura más común es la de un grupo . Otras estructuras implican debilitar o fortalecer los axiomas de los grupos y, además, pueden utilizar operaciones unarias.
- Los grupos son estructuras clave. Los grupos abelianos son un tipo especial importante de grupo.
- semigrupos y monoides : son grupos similares, excepto que la operación no necesita tener elementos inversos.
- cuasigrupos y bucles : son grupos similares, excepto que la operación no necesita ser asociativa.
- Magmas : Son grupos similares, excepto que la operación no necesita ser asociativa o tener elementos inversos.
- Semilattice : Esto es básicamente la "mitad" de una estructura de celosía (ver más abajo).
Dos operaciones binarias en un conjunto
Los principales tipos de estructuras con un conjunto que tiene dos operaciones binarias son anillos y celosías . Los axiomas que definen muchas de las otras estructuras son modificaciones de los axiomas para anillos y celosías. Una diferencia importante entre anillos y celosías es que sus dos operaciones están relacionadas entre sí de diferentes maneras. En estructuras en forma de anillo, las dos operaciones están vinculadas por la ley distributiva ; en estructuras en forma de celosía, las operaciones están vinculadas por la ley de absorción .
- Anillos : las dos operaciones se suelen llamar suma y multiplicación. Los anillos conmutativos son un tipo de anillo especialmente importante donde la operación de multiplicación es conmutativa. Los dominios y campos integrales son tipos especialmente importantes de anillos conmutativos.
- Anillos no asociativos : son como anillos, pero la operación de multiplicación no necesita ser asociativa.
- Los anillos de mentira y los anillos de Jordan son ejemplos especiales de anillos no asociativos.
- semirrings : son como anillos, pero la operación de adición no necesita tener inversas.
- aretes : Estos son como anillos, pero la operación de adición no necesita ser conmutativa.
- * -anillos : Son anillos con una operación unaria adicional conocida como involución .
- Anillos no asociativos : son como anillos, pero la operación de multiplicación no necesita ser asociativa.
- Celosías : las dos operaciones generalmente se denominan reunirse y unirse .
- Latticoid : se encuentran y se unen viaje , pero no necesita asociado .
- Celosía sesgada : reunirse y unirse a un asociado, pero no es necesario desplazarse.
Dos operaciones binarias y dos conjuntos
Las siguientes estructuras tienen la característica común de tener dos conjuntos, A y B , de modo que hay una operación binaria de A × A en A y otra operación de A × B en A .
- Espacios vectoriales : el conjunto A es un grupo abeliano y el conjunto B es un campo .
- Espacios vectoriales graduados : espacios vectoriales que están equipados con una descomposición de suma directa en subespacios.
- Módulos : El conjunto A es un grupo abeliano, pero el B es solo un anillo general y no necesariamente un campo.
- Los tipos especiales de módulos, incluidos los módulos libres , los módulos proyectivos , los módulos inyectivos y los módulos planos, se estudian en álgebra abstracta.
- Grupo con operadores : en este caso, el conjunto A es un grupo y el conjunto B es solo un conjunto.
Tres operaciones binarias y dos conjuntos
Muchas estructuras aquí son en realidad estructuras híbridas de las mencionadas anteriormente.
- Álgebra sobre un campo : este es un anillo que también es un espacio vectorial sobre un campo. Hay axiomas que gobiernan la interacción de las dos estructuras. Por lo general, se asume que la multiplicación es asociativa.
- Álgebra sobre un anillo : se definen de la misma manera que las álgebras sobre campos, excepto que el campo ahora puede ser cualquier anillo conmutativo.
- Álgebra graduada : estas álgebras están equipadas con una descomposición en grados .
- Álgebras no asociativas : son álgebras para las que se relaja la asociatividad de la multiplicación de anillos.
- Las álgebras de Lie y las álgebras de Jordan son ejemplos especiales de álgebras no asociativas.
- Coalgebra : esta estructura tiene axiomas que hacen que su multiplicación sea dual a la de un álgebra asociativa.
- Bialgebra : Estas estructuras son simultáneamente álgebras y coalgebras cuyas operaciones son compatibles. En realidad, hay cuatro operaciones para esta estructura.
Estructuras algebraicas con estructura no algebraica adicional
Hay muchos ejemplos de estructuras matemáticas donde la estructura algebraica existe junto con la estructura no algebraica.
- Los espacios vectoriales topológicos son espacios vectoriales con una topología compatible .
- Grupos de mentiras : son variedades topológicas que también llevan una estructura de grupo compatible.
- Los grupos ordenados , los anillos ordenados y los campos ordenados tienen una estructura algebraica compatible con un orden en el conjunto.
- Álgebras de Von Neumann : son * -álgebras en un espacio de Hilbert que están equipadas con la topología de operador débil .
Estructuras algebraicas en diferentes disciplinas
Algunas estructuras algebraicas encuentran uso en disciplinas fuera del álgebra abstracta. Lo siguiente está destinado a demostrar algunas aplicaciones específicas en otros campos.
En Física :
- Los grupos de mentiras se utilizan ampliamente en física. Algunos conocidos incluyen los grupos ortogonales y los grupos unitarios .
- Álgebras de mentira
- Espacios interiores de productos
- Álgebra de Kac-Moody
- Los cuaterniones y álgebras geométricas más generalmente
En lógica matemática :
- Las álgebras booleanas son anillos y retículas, en sus dos operaciones.
- Las álgebras de Heyting son un ejemplo especial de álgebras booleanas.
- Aritmética de Peano
- Álgebra de límites
- MV-álgebra
En informática :
- Álgebra máxima más
- Monoide sintáctico
- Monoide de transición
Ver también
- Álgebra abstracta
- Esquema del álgebra abstracta
- Álgebra universal
- Variedad (álgebra universal)
- Álgebra lineal
- Esquema de álgebra lineal
- Arity
- Teoría de categorías
- Objeto libre
- Operación (matemáticas)
- Firma (lógica)
- Teorías de primer orden
- Listas matemáticas
Notas
Referencias
- Garrett Birkhoff , 1967. Lattice Theory , 3ª ed., AMS Colloquium Publications, vol. 25. Sociedad Matemática Estadounidense.
- ———, y Saunders MacLane , 1999 (1967). Álgebra , 2ª ed. Nueva York: Chelsea.
- George Boolos y Richard Jeffrey , 1980. Computability and Logic , 2ª ed. Universidad de Cambridge. Prensa.
- Dummit, David S. y Foote, Richard M., 2004. Álgebra abstracta , 3ª ed. John Wiley e hijos.
- Grätzer, George, 1978. Álgebra universal , 2ª ed. Saltador.
- David K. Lewis , 1991. Parte de clases . Blackwell.
- Michel, Anthony N. y Herget, Charles J., 1993 (1981). Álgebra aplicada y análisis funcional . Dover.
- Potter, Michael, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía , 2ª ed. Universidad de Oxford. Prensa.
- Smorynski, Craig, 1991. Lógico Teoría de Números I . Springer-Verlag.
Una monografía disponible gratis en línea:
- Burris, Stanley N. y HP Sankappanavar, HP, 1981. Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .
enlaces externos
- Jipsen:
- Lista alfabética de estructuras de álgebra; incluye muchos que no se mencionan aquí.
- Libros en línea y apuntes de conferencias.
- Mapa que contiene alrededor de 50 estructuras, algunas de las cuales no aparecen arriba. Asimismo, la mayoría de las estructuras anteriores están ausentes en este mapa.
- Índice de temas PlanetMath .
- Hazewinkel, Michiel (2001) Enciclopedia de Matemáticas. Springer-Verlag.
- Página de Mathworld sobre álgebra abstracta.
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : Álgebra por Vaughan Pratt .