Hexcontaedro pentagonal | |
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Tipo | Sólido catalán |
Diagrama de Coxeter | |
Notación de Conway | gD |
Tipo de cara | V3.3.3.3.5 pentágono irregular |
Caras | 60 |
Bordes | 150 |
Vértices | 92 |
Vértices por tipo | 12 {5} 20 + 60 {3} |
Grupo de simetría | yo ,1/2H 3 , [5,3] + , (532) |
Grupo de rotacion | Yo, [5,3] + , (532) |
Ángulo diedro | 153 ° 10′43 ″ |
Propiedades | convexo, quiral transitivo facial |
Dodecaedro chato ( poliedro doble ) | Neto |
En geometría , un hexecontaedro pentagonal es un sólido catalán , dual del dodecaedro chato . Tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o " enantiomorfos ") entre sí. Tiene 92 vértices que abarcan 60 caras pentagonales. Es el sólido catalán con más vértices. Entre los sólidos catalanes y arquimedianos , tiene el segundo mayor número de vértices, después del icosidodecaedro truncado , que tiene 120 vértices.
Construcción
El hexcontaedro pentagonal se puede construir a partir de un dodecaedro chato sin tomar el doble. Las pirámides pentagonales se agregan a las 12 caras pentagonales del dodecaedro chato, y las pirámides triangulares se agregan a las 20 caras triangulares que no comparten un borde con un pentágono. Las alturas de las pirámides se ajustan para hacerlas coplanares con las otras 60 caras triangulares del dodecaedro chato. El resultado es el hexecontaedro pentagonal. [1]
Geometría
Las caras son pentágonos irregulares con dos bordes largos y tres bordes cortos. Dejar ser el cero real del polinomio , dónde es la proporción áurea . Entonces la proporcion de las longitudes de los bordes viene dada por:
- .
Las caras tienen cuatro ángulos obtusos iguales y un ángulo agudo (entre los dos bordes largos). Los ángulos obtusos son iguales, y el agudo es igual a . El ángulo diedro es igual a. Tenga en cuenta que los centros de las caras del dodecaedro chato no pueden servir directamente como vértices del hexecontaedro pentagonal: los cuatro centros del triángulo se encuentran en un plano, pero el centro del pentágono no; necesita ser empujado radialmente hacia afuera para hacerlo coplanar con los centros de los triángulos. En consecuencia, los vértices del hexecontaedro pentagonal no se encuentran todos en la misma esfera y, por definición, no es un zonoedro .
Para encontrar el volumen y el área de la superficie de un hexecontaedro pentagonal, denote el lado más largo de una de las caras pentagonales como y establezca una t constante [2] .
Entonces el área de la superficie (A) es:
.
Y el volumen (V) es:
.
Usando estos, uno puede calcular la medida de esfericidad para esta forma:
Variaciones
Las variaciones isoédricas se pueden construir con caras pentagonales con 3 longitudes de borde.
Esta variación que se muestra se puede construir agregando pirámides a 12 caras pentagonales y 20 caras triangulares de un dodecaedro chato de modo que las nuevas caras triangulares sean co-paralelas a otros triángulos y puedan fusionarse en las caras del pentágono.
Dodecaedro chato con pirámides aumentadas y caras fusionadas | Variación de ejemplo | Neto |
Proyecciones ortogonales
El hexecontaedro pentagonal tiene tres posiciones de simetría, dos en los vértices y una en el borde medio.
Simetría proyectiva | [3] | [5] + | [2] |
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Imagen | |||
Imagen dual |
Poliedros y teselados relacionados
Familia de poliedros icosaédricos uniformes | |||||||
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Simetría : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t {5,3} | r {5,3} | t {3,5} | {3,5} | rr {5,3} | tr {5,3} | sr {5,3} |
Poliedros duales a uniformes | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y teselaciones de pentágonos con configuraciones de caras (V3.3.3.3. N ). (La secuencia progresa en teselaciones del plano hiperbólico a cualquier n .) Estas figuras transitivas de caras tienen (n32) simetría rotacional .
n 32 mutaciones de simetría de teselaciones chatas: 3.3.3.3.n | ||||||||
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Simetría n 32 | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Figuras chatas | ||||||||
Config. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Figuras Gyro | ||||||||
Config. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Ver también
- Hexecontaedro pentagonal truncado
- Esferas del Amazonas
Referencias
- ^ Referencia
- ^ "Hexecontaedro pentagonal - Calculadora de geometría" . rechneronline.de . Consultado el 26 de mayo de 2020 .
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 29, hexecontaedro pentagonal)
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y teselaciones de Arquímedes y Catalán, página 287, hexecontaedro pentagonal)
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , hexecontaedro pentagonal ( sólido catalán ) en MathWorld .
- Hexecontraedro pentagonal - Modelo de poliedro interactivo