La geometría afín , en términos generales, es el estudio de las propiedades geométricas de las líneas, los planos y sus análogos dimensionales superiores, en el que se retiene la noción de "paralelo", pero no las nociones métricas de distancia o ángulo. Los espacios afines se diferencian de los espacios lineales (es decir, los espacios vectoriales) en que no tienen una elección distinguida de origen. Entonces, en palabras de Marcel Berger , "Un espacio afín no es más que un espacio vectorial cuyo origen intentamos olvidar, agregando traducciones a los mapas lineales". [1] En consecuencia, un espacio afín complejo , que es un espacio afín sobre los números complejos, es como un espacio vectorial complejo, pero sin un punto distinguido que sirva de origen.
La geometría afín es una de las dos ramas principales de la geometría algebraica clásica , siendo la otra la geometría proyectiva . Se puede obtener un espacio afín complejo a partir de un espacio proyectivo complejo fijando un hiperplano, que puede considerarse como un hiperplano de puntos ideales "en el infinito" del espacio afín. Para ilustrar la diferencia (sobre los números reales), una parábola en el plano afín cruza la línea en el infinito, mientras que una elipse no. Sin embargo, cualesquiera dos secciones cónicas son proyectivamente equivalentes. Entonces, una parábola y una elipse son iguales cuando se las piensa proyectivamente, pero diferentes cuando se las considera objetos afines. De forma algo menos intuitiva, sobre los números complejos, una elipse corta la línea en el infinito en un par de puntos, mientras que una parábola corta la línea en el infinito en un solo punto. Entonces, por una razón ligeramente diferente, una elipse y una parábola no son equivalentes en el plano afín complejo pero siguen siendo equivalentes en el plano proyectivo (complejo).
Cualquier espacio vectorial complejo es un espacio afín: todo lo que hay que hacer es olvidar el origen (y posiblemente cualquier estructura adicional, como un producto interno ). Por ejemplo, el complejo n- espacio se puede considerar como un espacio afín complejo, cuando a uno solo le interesan sus propiedades afines (en contraposición a sus propiedades lineales o métricas, por ejemplo). Dado que dos espacios afines cualesquiera de la misma dimensión son isomorfos , en algunas situaciones es apropiado identificarlos con, con el entendimiento de que solo las nociones afínmente invariantes son en última instancia significativas. Este uso es muy común en la geometría algebraica moderna.
Estructura afín
Hay varias maneras equivalentes de especificar la estructura afín de un n -dimensional afín complejo espacial Una . El más simple involucra un espacio auxiliar V , llamado espacio de diferencias , que es un espacio vectorial sobre los números complejos. A continuación, un espacio afín es un conjunto A junto con una simple y acción transitiva de V en A . (Es decir, A es un V -torsor).
Otra forma es definir una noción de combinación afín, que satisfaga ciertos axiomas. Una combinación afín de puntos p 1 ,…, p k ∊ A se expresa como una suma de la forma
donde los escalares a i son números complejos que suman la unidad.
El espacio de diferencias se puede identificar con el conjunto de "diferencias formales" p - q , módulo la relación que las diferencias formales respetan combinaciones afines de manera obvia.
Funciones afines
Una función se llama afín si conserva combinaciones afines. Entonces
para cualquier combinación afín
- en A .
El espacio de funciones afines A * es un espacio lineal. El espacio vectorial dual de A * es naturalmente isomorfo a un espacio vectorial ( n +1) -dimensional F ( A ) que es el espacio vectorial libre en A módulo la relación que la combinación afín en A concuerda con la combinación afín en F ( A ) . A través de esta construcción, la estructura afín del espacio afín A puede recuperarse completamente del espacio de funciones afines.
El álgebra de polinomios en las funciones afines en A define un anillo de funciones, llamado anillo de coordenadas afines en geometría algebraica. Este anillo lleva una filtración , por grado en las funciones afines. A la inversa, es posible recuperar los puntos del espacio afín como el conjunto de homomorfismos de álgebra del anillo de coordenadas afines en los números complejos. A esto se le llama espectro máximo del anillo, porque coincide con su conjunto de ideales máximos . Existe una estructura afín única en este espectro máximo que es compatible con la filtración en el anillo de coordenadas afines.
Ejemplos de dimensiones reducidas
Una dimensión
Un espacio afín complejo unidimensional, o una línea afín compleja, es un torsor de un espacio lineal unidimensional sobre . El ejemplo más simple es el plano de Argand de números complejossí mismo. Esto tiene una estructura lineal canónica, por lo que "olvidar" el origen le da una estructura afín canónica.
Para otro ejemplo, suponga que X es un espacio vectorial bidimensional sobre los números complejos. Dejarser un funcional lineal . Es bien sabido que el conjunto de soluciones de α ( x ) = 0 , el núcleo de α , es un subespacio lineal unidimensional (es decir, una línea compleja que pasa por el origen de X ). Pero si c es un número complejo distinto de cero, entonces el conjunto A de soluciones de α ( x ) = c es una línea afín en X , pero no es un subespacio lineal porque no está cerrado bajo una combinación lineal arbitraria. El espacio de diferencias V es el núcleo de α , porque la diferencia de dos soluciones de la ecuación no homogénea α ( x ) = c se encuentra en el núcleo.
Una construcción análoga se aplica a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. Las soluciones de la ecuación diferencial homogénea
es un espacio lineal unidimensional, mientras que el conjunto de soluciones del problema no homogéneo
es un espacio afín unidimensional A . La solución general es igual a una solución particular de la ecuación, más una solución de la ecuación homogénea. El espacio de soluciones de la ecuación homogénea es el espacio diferencia V .
Considere una vez más el caso general de un espacio vectorial bidimensional X equipado con una forma lineal α . Un espacio afín A ( c ) viene dado por la solución α ( x ) = c . Observe que, para dos valores distintos de cero de c , digamos c 1 y c 2 , los espacios afines A ( c 1 ) y A ( c 2 ) son naturalmente isomorfos : escalado por c 2 / c 1 mapas A ( c 1 ) a A ( c 2 ) . Entonces, en realidad, solo hay un espacio afín que vale la pena considerar en esta situación, llámelo A , cuyos puntos son las líneas que pasan por el origen de X que no se encuentran en el núcleo de α .
Algebraicamente, el espacio afín complejo A que se acaba de describir es el espacio de escisiones de la secuencia exacta
Dos dimensiones
Un plano afín complejo es un espacio afín bidimensional sobre los números complejos. Un ejemplo es el espacio de coordenadas complejas bidimensionales . Este tiene una estructura lineal natural y, por lo tanto, hereda una estructura afín bajo el functor olvidadizo. Otro ejemplo es el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden (sobre los números complejos). Finalmente, en analogía con el caso unidimensional, el espacio de escisiones de una secuencia exacta
es un espacio afín de dimensión dos.
Cuatro dimensiones
El grupo de espín conforme del grupo de Lorentz es SU (2,2), que actúa sobre un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones T (llamado espacio twistor ). El grupo conformal de Poincaré, como subgrupo de SU (2,2), estabiliza una secuencia exacta de la forma
donde Π es un subespacio isotrópica máxima de T . El espacio de escisiones de esta secuencia es un espacio afín de cuatro dimensiones: espacio de Minkowski (complejo) .
Coordenadas afines
Sea A un espacio afín n- dimensional. Una colección de n funciones afines afínmente independienteses un sistema de coordenadas afín en A . Un sistema de coordenadas afines en A establece una biyección de A con el espacio de coordenadas complejo , cuyos elementos son n -tuplas de números complejos.
En cambio, A veces se lo denomina espacio n afín complejo , donde se entiende que es su estructura como espacio afín (en oposición, por ejemplo, a su estado como espacio lineal o como espacio de coordenadas ) lo que interesa. Este uso es típico de la geometría algebraica .
Espacio proyectivo asociado
Un espacio afín complejo A tiene una terminación proyectiva canónica P ( A ), definida como sigue. Formar el espacio vectorial F ( A ) que es el espacio de vector libre en A MODULO la relación que combinación afín en F ( A ) está de acuerdo con la combinación afín en A . Entonces dim F ( A ) = n + 1 , donde n es la dimensión de A . La terminación proyectiva de A es el espacio proyectivo de subespacios lineales complejos unidimensionales de F ( A ).
Grupo de estructura y automorfismos
El grupo Aut ( P ( A )) = PGL (F ( A )) ≅ PGL ( n + 1, C ) actúa sobre P ( A ). El estabilizador de la hiperplano en el infinito es un subgrupo parabólico, que es el grupo de automorfismos de A . Es isomórfica (pero no naturalmente isomorfo) a un producto semidirecto del grupo GL ( V ) y V . El subgrupo GL ( V ) es el estabilizador de algún punto de referencia fijo o (un "origen") en A , actuando como el grupo de automorfismo lineal del espacio del vector que emana de o , y V actúa por traslación.
El grupo de automorfismos del espacio proyectivo P ( A ) como variedad algebraica no es otro que el grupo de colinaciones PGL (F ( A )) . Por el contrario, el grupo de automorfismos del espacio afín A como variedad algebraica es mucho mayor. Por ejemplo, considere el automapa del plano afín definido en términos de un par de coordenadas afines por
donde f es un polinomio en una sola variable. Este es un automorfismo de la variedad algebraica, pero no un automorfismo de estructura afín. El determinante jacobiano de tal automorfismo algebraico es necesariamente una constante distinta de cero. Se cree que si el jacobiano de un automapa de un espacio afín complejo es una constante distinta de cero, entonces el mapa es un automorfismo (algebraico). Esto se conoce como la conjetura jacobiana .
Estructura compleja
Una función en espacio afín complejo es holomorphic si su complejo conjugado se deriva Lie lo largo del espacio diferencia V . Esto le da a cualquier espacio afín complejo la estructura de una variedad compleja .
Cada función afín desde A hasta los números complejos es holomórfica. Por tanto, también lo es todo polinomio en funciones afines.
Topologías
Hay dos topologías en un espacio afín complejo que se utilizan comúnmente.
La topología analítica es la topología inicial para la familia de funciones afines en los números complejos, donde los números complejos llevan su topología euclidiana habitual inducida por el valor absoluto complejo como norma. Esta es también la topología inicial de la familia de funciones holomórficas.
La topología analítica tiene una base compuesta por polidiscos . Asociado a cualquier n funciones afines independientesen A , la unidad polidisc se define por
Cualquier conjunto abierto en la topología analítica es la unión de una colección contable de polidiscos unitarios.
La topología de Zariski es la topología inicial para las funciones afines con valores complejos, pero en su lugar, le da a la línea compleja la topología de complemento finito. Así que en la topología de Zariski, un subconjunto de A es cerrado si y sólo si es la puesta a cero de alguna colección de funciones polinómicas de valores complejos en una . Una subbase de la topología de Zariski es la colección de complementos de conjuntos algebraicos irreductibles.
La topología analítica es más fina que la topología de Zariski, lo que significa que cada conjunto que está abierto en la topología de Zariski también lo está en la topología analítica. Lo contrario no es cierto. Un polidisco, por ejemplo, está abierto en la topología analítica pero no en la topología de Zariski.
Una métrica se puede definir en un espacio afín complejo, lo que es un espacio euclidiano , mediante la selección de un producto interno en V . La distancia entre dos puntos p y q de A continuación, se da en términos de la asociada norma en V por
Las bolas abiertas asociadas a la métrica forman la base de una topología, que es la misma que la topología analítica.
Gavilla de funciones analíticas
La familia de funciones holomórficas en un espacio afín complejo A forma un haz de anillos en él. Por definición, tal gavilla asocia a cada subconjunto abierto (analítico) U de A el anillode todas las funciones holomorfas de valor complejo en U .
La singularidad de continuación analítica dice que da dos funciones holomorfas en un conectado subconjunto abierto U de C n , si coinciden en un subconjunto abierto no vacío de U , están de acuerdo en U . En términos de la teoría de la gavilla, la unicidad implica que, visto como espacio étalé , es un espacio topológico de Hausdorff .
El teorema de coherencia de Oka establece que la estructura gavillade un espacio afín complejo es coherente . Este es el resultado fundamental en la teoría de funciones de varias variables complejas ; por ejemplo, inmediatamente implica que el haz de estructuras de un espacio analítico complejo (por ejemplo, una variedad compleja ) es coherente.
Todo espacio afín complejo es un dominio de holomorfia . En particular, es una variedad Stein .
Ver también
- Espacio analítico
- Espacio de coordenadas complejo
- Politopo complejo
- Espacio afín exótico
Referencias
- ^ * Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
- MK Bennett (1995), geometría afín y proyectiva , Wiley
- Nicolas Bourbaki (1970), Algèbre , I , Masson, §II.9.
- Harold Scott Macdonald Coxeter (1987), Geometría proyectiva (2a ed.), Springer.
- Harold Scott Macdonald Coxeter (1961), Introducción a la geometría , Wiley
- Hans Grauert ; Reinhold Remmert (1984), Gavillas analíticas coherentes , Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, Springer.