El problema de Plateau

To find the minimal surface with a given boundary

Una pompa de jabón en forma de catenoide

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v t mi

En matemáticas , el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie mínima con un límite dado, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, lleva el nombre de Joseph Plateau, quien experimentó con películas de jabón . El problema se considera parte del cálculo de variaciones . Los problemas de existencia y regularidad son parte de la teoría de medidas geométricas .

Historia

Se resolvieron varias formas especializadas del problema, pero fue solo en 1930 cuando Jesse Douglas y Tibor Radó encontraron soluciones generales en el contexto de mapeos (inmersiones) de forma independiente . Sus métodos eran bastante diferentes; El trabajo de Radó se basó en el trabajo anterior de René Garnier y se mantuvo solo para curvas cerradas simples rectificables , mientras que Douglas usó ideas completamente nuevas y su resultado se mantuvo para una curva cerrada simple arbitraria. Ambos se basaron en establecer problemas de minimización; Douglas minimizó la integral Douglas ahora llamada mientras Radó minimizó la "energía". Douglas fue galardonado con la Medalla Fields en 1936 por sus esfuerzos.

En dimensiones superiores

La extensión del problema a dimensiones superiores (es decir, para superficies -dimensionales en el espacio -dimensional) resulta mucho más difícil de estudiar. Además, si bien las soluciones al problema original son siempre regulares, resulta que las soluciones al problema extendido pueden tener singularidades si . En el caso de hipersuperficie donde , las singularidades ocurren solo para . Un ejemplo de tal solución singular del problema Meseta es el cono Simons , un cono sobre en que fue descrito por primera vez por Jim Simons y se demostró que era un área minimizador por Bombieri , De Giorgi${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k\leq n-2}$${\displaystyle k=n-1}$${\displaystyle n\geq 8}$${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$y Giusti . ^[1] Para resolver el problema extendido en ciertos casos especiales, se ha desarrollado la teoría de perímetros ( De Giorgi ) para codimensión 1 y la teoría de corrientes rectificables ( Federer y Fleming) para codimensión superior. La teoría garantiza la existencia de soluciones de codimensión 1 que se alejan suavemente de un conjunto cerrado de dimensión de Hausdorff . En el caso de codimensión superior, Almgren demostró la existencia de soluciones con un conjunto singular de dimensiones como máximo en su teorema de regularidad.${\displaystyle n-8}$${\displaystyle k-2}$. SX Chang, un estudiante de Almgren, se basó en el trabajo de Almgren para mostrar que las singularidades del área bidimensional que minimizan las corrientes integrales (en codimensión arbitraria) forman un conjunto discreto finito. ^{[2] [3]}

El enfoque axiomático de Jenny Harrison y Harrison Pugh ^[4] trata una amplia variedad de casos especiales. En particular, resuelven el problema de la meseta anisotrópica en dimensión y codimensión arbitrarias para cualquier colección de conjuntos rectificables que satisfagan una combinación de condiciones generales de expansión homológicas, cohomológicas u homotópicas. Camillo De Lellis , Francesco Ghiraldin y Francesco Maggi obtuvieron una prueba diferente de los resultados de Harrison-Pugh . ^[5]

Aplicaciones fisicas

Las películas de jabón físicas se modelan con mayor precisión mediante los conjuntos mínimos de Frederick Almgren , pero la falta de un teorema de compacidad hace que sea difícil probar la existencia de un minimizador de área. En este contexto, una cuestión abierta persistente ha sido la existencia de una película de jabón de área mínima. Ernst Robert Reifenberg resolvió tal "problema de Plateau universal" para los límites que son homeomorfos a esferas individuales incrustadas.${\displaystyle (M,0,\Delta )}$

Ver también

• Conjetura de la doble burbuja
• Principio de Dirichlet
• Leyes de Plateau
• Método de cuadrícula estirada
• El problema de Bernstein

Referencias

1. Bombieri, Enrico; de Giorgi, Ennio; Giusti, Enrico (1969), "Conos mínimos y el problema de Bernstein", Inventiones Mathematicae , 7 : 243-268, doi : 10.1007 / BF01404309
2. Chang, Sheldon Xu-Dong (1988), "El área bidimensional que minimiza las corrientes integrales son superficies mínimas clásicas", Journal of the American Mathematical Society , 1 (4): 699–778, doi : 10.2307 / 1990991
3. http://www.math.stonybrook.edu/~bishop/classes/math638.F20/deLellis_survey_BUMI_24.pdf
4. Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2017), "Métodos generales de minimización elíptica", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 56 (1), doi : 10.1007 / s00526
5. De Lellis, Camillo; Ghiraldin, Francesco; Maggi, Francesco (2017), "Un enfoque directo al problema de Plateau", Revista de la Sociedad Matemática Europea , 19 (8): 2219–2240, doi : 10.4171 / JEMS / 716

• Douglas, Jesse (1931). "Solución del problema de Plateau" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 33 (1): 263–321. doi : 10.2307 / 1989472 . JSTOR  1989472 .
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Solución del problema {Plateau} para superficies m-dimensionales de tipo topológico variable" . Acta Mathematica . 104 (2): 1–92. doi : 10.1007 / bf02547186 .
• Fomenko, AT (1989). El problema de la meseta: estudio histórico . Williston, VT: Gordon & Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
• Morgan, Frank (2009). Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes . Prensa académica. ISBN 978-0-12-374444-9.
• O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoría de las medidas geométricas" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
• Radó, Tibor (1930). "Sobre el problema de Plateau". Ana. de Matemáticas . 2. 31 (3): 457–469. doi : 10.2307 / 1968237 . JSTOR  1968237 .
• Struwe, Michael (1989). El problema de Plateau y el cálculo de variaciones . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Frederick (1966). El problema de Plateau, una invitación a la geometría variable . Nueva York-Amsterdam: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.

• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). "Problemas abiertos en matemáticas (problema de Plateau)". Saltador. arXiv : 1506.05408 . doi : 10.1007 / 978-3-319-32162-2 . ISBN 978-3-319-32160-8.

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