En matemáticas , un número entero profinito es un elemento del anillo (a veces se pronuncia como zee-hat o zed-hat)
dónde
indica la finalización profinita de, El índice corre sobre todos los números primos , yes el anillo de p -enteros ádicos . Este grupo es importante por su relación con la teoría de Galois , la teoría de la homotopía de Étale y el anillo de Adeles . Además, proporciona un ejemplo básico manejable de un grupo lucrativo.
Construcción y relaciones
Concretamente los enteros profinitos serán el conjunto de secuencias tal que y . La suma y la multiplicación puntuales lo convierten en un anillo conmutativo. Si una secuencia de enteros converge módulo n para cada n, entonces el límite existirá como un entero profinito. Hay una incrustación de los enteros en el anillo de los enteros profinitos ya que existe la inyección canónica
- dónde
Propiedades topologicas
El conjunto de enteros profinitos tiene una topología inducida en la que es un espacio compacto de Hausdorff , proveniente del hecho de que puede verse como un subconjunto cerrado del producto directo infinito
que es compacta con su topología de producto por el teorema de Tychonoff . Tenga en cuenta la topología de cada grupo finitose da como la topología discreta . Dado que la suma de enteros profinitos es continua,es un grupo abeliano compacto de Hausdorff y, por tanto, su dual Pontryagin debe ser un grupo abeliano discreto. De hecho, el dual de Pontryagin de es el grupo abeliano discreto . Este hecho es exhibido por el emparejamiento
dónde es el personaje de Inducido por . [2]
Relación con Adeles
El producto tensorial es el anillo de adeles finito
de donde el simbolo significa producto restringido . [3] Hay un isomorfismo
Aplicaciones en la teoría de Galois y la teoría de la homotopía de Etale
Para el cierre algebraico de un campo finito de orden q, el grupo de Galois se puede calcular explícitamente. Por el hechodonde los automorfismos están dados por el endomorfismo de Frobenius , el grupo de Galois del cierre algebraico de viene dado por el límite inverso de los grupos , por lo que su grupo de Galois es isomorfo al grupo de enteros profinitos [4]
lo que da un cálculo del grupo de Galois absoluto de un campo finito.
Relación con Etale grupos fundamentales de toros algebraicos
Esta construcción se puede reinterpretar de muchas formas. Uno de ellos es de la teoría de la homotopía de Etale que define el grupo fundamental de Etale como la compleción profinita de automorfismos
dónde es una funda de Etale . Entonces, los enteros profinitos son isomorfos al grupo
a partir del cálculo anterior del profinito grupo de Galois. Además, hay una incrustación de los enteros profinitos dentro del grupo fundamental Etale del toro algebraico
ya que los mapas de cobertura provienen de los mapas polinomiales
del mapa de anillos conmutativos
enviando
desde . Si el toro algebraico se considera sobre un campo, luego el grupo fundamental Etale contiene una acción de así como de la secuencia fundamental exacta en la teoría de la homotopía etale.
Teoría del campo de clase y los enteros profinitos
La teoría de campos de clase es una rama de la teoría de números algebraica que estudia las extensiones de campo abeliano de un campo. Dado el campo global , la abelianización de su grupo Galois absoluto
está íntimamente relacionado con el anillo asociado de adeles y el grupo de enteros profinitos. En particular, hay un mapa, llamado mapa Artin [5]
que es un isomorfismo. Este cociente se puede determinar explícitamente como
dando la relación deseada. Existe una afirmación análoga para la teoría del campo de clases local, ya que cada extensión abeliana finita de se induce a partir de una extensión de campo finito .
Ver también
Notas
- ^ Connes y Consani , 2015 , § 2.4.
- ^ K. Conrad, El grupo de caracteres de Q
- ^ Preguntas sobre algunos mapas que involucran anillos de adeles finitos y sus grupos unitarios .
- ↑ Milne , 2013 , cap. I Ejemplo A.5.
- ^ "Teoría de campo de clase - lccs" . www.math.columbia.edu . Consultado el 25 de septiembre de 2020 .
Referencias
- Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometría del sitio aritmético". arXiv : 1502.05580 .
- Milne, JS (23 de marzo de 2013). "Teoría del campo de clases" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de junio de 2013 . Consultado el 7 de junio de 2020 .
enlaces externos
- http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+integers
- https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
- https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf