En matemáticas , la transformada de radón es la transformada integral que lleva una función f definida en el plano a una función Rf definida en el espacio (bidimensional) de líneas en el plano, cuyo valor en una línea en particular es igual a la integral de línea de la función sobre esa línea. La transformada fue introducida en 1917 por Johann Radon , [1] quien también proporcionó una fórmula para la transformada inversa. El radón también incluyó fórmulas para la transformación en tres dimensiones , en las que la integral se toma sobre planos (la integración sobre líneas se conoce como la transformada de rayos X). Más tarde se generalizó a espacios euclidianos de dimensiones superiores y , de manera más amplia, en el contexto de la geometría integral . El análogo complejo de la transformada de radón se conoce como transformada de Penrose . La transformada de radón es ampliamente aplicable a la tomografía , la creación de una imagen a partir de los datos de proyección asociados con los escaneos transversales de un objeto.
Transformada de radón. Mapas de f en el ( x, y ) -domain a Rf en la ( α, s ) -domain.
Transformada de radón de la función indicadora de dos cuadrados que se muestra en la imagen de abajo. Las regiones más claras indican valores de función más grandes. El negro indica cero.
La función original es igual a uno en la región blanca y cero en la región oscura.
Explicación
Si una función representa una densidad desconocida, entonces la transformada de radón representa los datos de proyección obtenidos como resultado de una exploración tomográfica. Por lo tanto, la inversa de la transformada de radón se puede utilizar para reconstruir la densidad original a partir de los datos de proyección y, por lo tanto, forma el fundamento matemático para la reconstrucción tomográfica , también conocida como reconstrucción iterativa .
Las proyecciones horizontales a través de la forma dan como resultado una señal acumulada (barra central). El sinograma de la derecha se genera al recopilar muchas de esas proyecciones a medida que gira la forma. Aquí, el color se usa para resaltar qué objeto está produciendo qué parte de la señal. Observe cómo las características rectas, cuando se alinean con la dirección de proyección, producen señales más fuertes.
Los datos de la transformada de radón a menudo se denominan sinograma porque la transformada de radón de una fuente puntual descentrada es una sinusoide. En consecuencia, la transformada de radón de varios objetos pequeños aparece gráficamente como una serie de ondas sinusoidales borrosas con diferentes amplitudes y fases.
Dejar ser una función que satisfaga las tres condiciones de regularidad: [2]
es continuo;
la integral doble , extendiéndose por todo el plano, converge;
para cualquier punto arbitrario en el avión sostiene que
La transformada de radón, , es una función definida en el espacio de líneas rectas por la integral de línea a lo largo de cada línea como:
Concretamente, la parametrización de cualquier línea recta con respecto a la longitud del arco siempre se puede escribir:
dónde es la distancia de desde el origen y es el ángulo al que el vector normal hace con el -eje. De ello se deduce que las cantidades pueden considerarse como coordenadas en el espacio de todas las líneas en , y la transformada de radón se puede expresar en estas coordenadas mediante:
De manera más general, en el -espacio euclidiano dimensional, la transformada de radón de una función satisfacer las condiciones de regularidad es una función en el espacio de todos los hiperplanos en . Está definido por:
Transformada de radón
Transformada inversa de radón
donde la integral se toma con respecto a la medida de hipersuperficie natural , (generalizando el término del -Caso dimensional). Observe que cualquier elemento de se caracteriza como el lugar geométrico de solución de una ecuación , dónde es un vector unitario y . Por lo tanto, la -La transformada dimensional de Radon se puede reescribir como una función en vía:
También es posible generalizar aún más la transformada de radón integrando en su lugar sobre -subespacios afines dimensionales de . La transformada de rayos X es el caso especial más utilizado de esta construcción y se obtiene integrando sobre líneas rectas.
Relación con la transformada de Fourier
Calcular la transformada bidimensional de radón en términos de dos transformadas de Fourier.
La transformada de radón está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier . Definimos la transformada de Fourier univariante aquí como:
Para una función de un -vector , la transformada de Fourier univariante es:
Así, la transformada bidimensional de Fourier de la función inicial a lo largo de una línea en el ángulo de inclinación es la transformada de Fourier variable de la transformada de radón (adquirida en un ángulo ) de esa función. Este hecho se puede utilizar para calcular tanto la transformada de radón como su inversa. El resultado se puede generalizar en n dimensiones:
Transformación dual
La transformada de radón dual es una especie de adjunto a la transformada de radón. Comenzando con una función g en el espacio, la transformada dual de radón es la función en R n definido por:
La integral aquí se toma sobre el conjunto de todos los hiperplanos incidentes con el punto y la medida es la medida de probabilidad única en el conjunto invariante bajo rotaciones sobre el punto .
Concretamente, para la transformada de radón bidimensional, la transformada dual viene dada por:
En el contexto del procesamiento de imágenes, la transformación dual se denomina comúnmente retroproyección [3], ya que toma una función definida en cada línea del plano y la "difumina" o la proyecta hacia atrás sobre la línea para producir una imagen.
Este es un operador diferencial de segundo orden invariante rotacionalmente natural . En , la segunda derivada "radial" también es invariante en rotación. La transformada de radón y su dual son operadores entrelazados para estos dos operadores diferenciales en el sentido de que: [4]
Al analizar las soluciones de la ecuación de onda en múltiples dimensiones espaciales, la propiedad de entrelazamiento conduce a la representación traslacional de Lax y Philips. [5] En imágenes [6] y análisis numérico [7] esto se explota para reducir problemas multidimensionales en unidimensionales, como un método de división dimensional.
Enfoques de reconstrucción
El proceso de reconstrucción produce la imagen (o funciónen la sección anterior) a partir de sus datos de proyección. La reconstrucción es un problema inverso .
Fórmula de inversión de radón
En el caso bidimensional, la fórmula analítica más utilizada para recuperar de su transformada de radón es la fórmula de retroproyección filtrada o la fórmula de inversión de radón [8] :
dónde es tal que . [9] El núcleo de convolución se denomina filtro de rampa en algunas publicaciones.
Mala postura
Intuitivamente, en la fórmula de retroproyección filtrada , por analogía con la diferenciación, para lo cual, vemos que el filtro realiza una operación similar a una derivada. En términos generales, entonces, el filtro hace que los objetos sean más singulares. Una declaración cuantitativa de la mala posición de Radon Inversion es la siguiente:
dónde es el adjunto previamente definido a Radon Transform. Por lo tanto, para , tenemos:
El exponencial complejo es, pues, una función propia de con valor propio . Así, los valores singulares de están . Dado que estos valores singulares tienden a , es ilimitado. [9]
Métodos de reconstrucción iterativa
En comparación con el método de retroproyección filtrada , la reconstrucción iterativa cuesta mucho tiempo de cálculo, lo que limita su uso práctico. Sin embargo, debido a la mala postura de Radon Inversion, el método de retroproyección filtrada puede no ser factible en presencia de discontinuidad o ruido. Los métodos de reconstrucción iterativos ( por ejemplo, varianza mínima asintótica dispersa iterativa [10] ) podrían proporcionar reducción de artefactos metálicos, reducción de ruido y dosis para el resultado reconstruido que atraen gran interés de investigación en todo el mundo.
Fórmulas de inversión
Se encuentran disponibles fórmulas de inversión explícitas y computacionalmente eficientes para la transformada Radon y su dual. El radón se transforma enlas dimensiones se pueden invertir mediante la fórmula: [11]
dónde , y el poder del laplaciano se define como un operador pseudo-diferencial si es necesario por la transformada de Fourier :
Para fines computacionales, el poder del Laplaciano se conmuta con la transformada dual para dar: [12]
dónde es la transformada de Hilbert con respecto a la variable s . En dos dimensiones, el operador aparece en el procesamiento de imágenes como un filtro de rampa . [13] Se puede probar directamente del teorema de la rebanada de Fourier y el cambio de variables para la integración que para una función continua con soporte compacto de dos variables:
Así, en un contexto de procesamiento de imágenes, la imagen original se puede recuperar de los datos del 'sinograma' aplicando un filtro de rampa (en el variable) y luego retroproyectando. Como el paso de filtrado se puede realizar de manera eficiente (por ejemplo, utilizando técnicas de procesamiento de señales digitales ) y el paso de retroproyección es simplemente una acumulación de valores en los píxeles de la imagen, esto da como resultado un algoritmo altamente eficiente y, por lo tanto, ampliamente utilizado.
Explícitamente, la fórmula de inversión obtenida por este último método es: [3]
La transformación dual también se puede invertir mediante una fórmula análoga:
Transformada de radón en geometría algebraica
En geometría algebraica , una transformada de radón (también conocida como transformada de Brylinski-Radon ) se construye de la siguiente manera.
Escribir
para el hiperplano universal , es decir, H consta de pares ( x , h ) donde x es un punto en el espacio proyectivo d - dimensional y h es un punto en el espacio proyectivo dual (en otras palabras, x es una línea que pasa por el origen en el espacio afín dimensional ( d +1) , y h es un hiperplano en ese espacio) tal que x está contenido en h .
Entonces, la transformada de Brylinksi-Radon es el functor entre categorías derivadas apropiadas de poleas étale
El teorema principal sobre esta transformada es que esta transformada induce una equivalencia de las categorías de haces perversos en el espacio proyectivo y su espacio proyectivo dual, hasta haces constantes. [14]
Ver también
Periodograma
Filtro coincidente
Deconvolución
Transformada de rayos X
Transformación funk
La transformada de Hough , cuando se escribe en forma continua, es muy similar, si no equivalente, a la transformada de radón. [15]
El teorema de Cauchy-Crofton es una fórmula estrechamente relacionada para calcular la longitud de las curvas en el espacio.
Transformada rápida de Fourier
Notas
^ Radón, 1917 .
^ Radon, J. (diciembre de 1986). "Sobre la determinación de funciones a partir de sus valores integrales a lo largo de determinadas variedades". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 5 (4): 170-176. doi : 10.1109 / TMI.1986.4307775 . PMID 18244009 . S2CID 26553287 .
↑ a b Roerdink, 2001 .error sfn: sin destino: CITEREFRoerdink2001 ( ayuda )
^ Helgason 1984 , Lema I.2.1.
^Laxo, PD; Philips, RS (1964). "Teoría de la dispersión" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 70 (1): 130-142. doi : 10.1090 / s0002-9904-1964-11051-x .
^Bonneel, N .; Rabin, J .; Peyre, G .; Pfister, H. (2015). "Baricentros de medidas de Wasserstein en rodajas y radón" . Revista de Visión y Imágenes Matemáticas . 51 (1): 22-25. doi : 10.1007 / s10851-014-0506-3 . S2CID 1907942 .
^Rim, D. (2018). "División dimensional de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas utilizando la transformada de radón". SIAM J. Sci. Computación . 40 (6): A4184 – A4207. arXiv : 1705.03609 . doi : 10.1137 / 17m1135633 . S2CID 115193737 .
^ Candès 2016a .
↑ a b Candès, 2016b .
^Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian; Merabtine, Nadjim (2013). "Enfoques basados en varianza mínima asintótica dispersa iterativa para el procesamiento de matrices" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . IEEE. 61 (4): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Código bibliográfico : 2013ITSP ... 61..933A . doi : 10.1109 / tsp.2012.2231676 . ISSN 1053-587X . S2CID 16276001 .
^ Helgason 1984 , Teorema I.2.13.
^ Helgason 1984 , Teorema I.2.16.
^ Nygren 1997 .
↑ Kiehl y Weissauer (2001 , Capítulo IV, Cor. 2.4)
^ van Ginkel, Hendricks y van Vliet 2004 .
Referencias
Radon, Johann (1917), "Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten", Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig Proceedings de la Academia Sajona-Informes de Phhematis Ciencias en Leipzig, Sección de Matemáticas y Física] , Leipzig: Teubner (69): 262–277; Traducción:Radon, J .; Parks, PC (traductor) (1986), "Sobre la determinación de funciones a partir de sus valores integrales a lo largo de ciertas variedades", IEEE Transactions on Medical Imaging , 5 (4): 170-176, doi : 10.1109 / TMI.1986.4307775 , PMID 18244009 , S2CID 26553287.
Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas , Academic Press, ISBN 0-12-338301-3.
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Nygren, Anders J. (1997). "Proyección trasera filtrada" . Reconstrucción tomográfica de datos SPECT .
van Ginkel, M .; Hendricks, CL Luengo; van Vliet, LJ (2004). "Una breve introducción a las transformaciones de Radon y Hough y cómo se relacionan entre sí" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 29 de julio de 2016.
Otras lecturas
Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 de abril de 2016). Transformaciones integrales y sus aplicaciones . Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-1091-6.
Deans, Stanley R. (1983), La transformación del radón y algunas de sus aplicaciones , Nueva York: John Wiley & Sons
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Herman, Gabor T. (2009), Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-85233-617-2
Minlos, RA (2001) [1994], "Radon transform" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Natterer, Frank (junio de 2001), The Mathematics of Computerized Tomography , Classics in Applied Mathematics, 32 , Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
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Kiehl, Reinhardt ; Weissauer, Rainer (2001), Conjeturas de Weil, poleas perversas y transformada l'adic de Fourier , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-662-04576-3 , ISBN 3-540-41457-6, MR 1855066
enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Transformada de radón" . MathWorld .
Proyección analítica (la transformada de radón) (video). Parte del curso "Tomografía computarizada y la caja de herramientas ASTRA". Universidad de Amberes . 10 de septiembre de 2015.