En matemáticas , un grupo de reflexión complejo es un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita que se genera mediante reflexiones complejas : elementos no triviales que fijan un hiperplano complejo puntualmente.
Los grupos de reflexión complejos surgen en el estudio de la teoría invariante de los anillos polinomiales . A mediados del siglo XX, se clasificaron por completo en el trabajo de Shephard y Todd. Los casos especiales incluyen el grupo simétrico de permutaciones, los grupos diedros y, más generalmente, todos los grupos de reflexión reales finitos (los grupos de Coxeter o los grupos de Weyl , incluidos los grupos de simetría de poliedros regulares ).
Definición
Una reflexión (compleja) r (a veces también llamada pseudo reflexión o reflexión unitaria ) de un espacio vectorial complejo de dimensión finita V es un elementode orden finito que fija un hiperplano complejo puntualmente, es decir, el espacio fijo tiene codimensión 1.
Un grupo de reflexión complejo ( finito ) es un subgrupo finito de que se genera por reflejos.
Propiedades
Cualquier grupo de reflexión real se convierte en un grupo de reflexión compleja si extendemos los escalares de R a C . En particular, todos los grupos Coxeter finitos o grupos Weyl dan ejemplos de grupos de reflexión complejos.
Un grupo de reflexión complejo W es irreducible si el único subespacio propio invariante W del espacio vectorial correspondiente es el origen. En este caso, la dimensión del espacio vectorial se llama el rango de W .
El número de Coxeter de un grupo de reflexión complejo irreducible W de rango Se define como dónde denota el conjunto de reflejos y denota el conjunto de hiperplanos reflectantes. En el caso de los grupos de reflexión reales, esta definición se reduce a la definición habitual del número de Coxeter para sistemas Coxeter finitos.
Clasificación
Cualquier grupo de reflexión complejo es un producto de grupos de reflexión complejos irreducibles, que actúan sobre la suma de los espacios vectoriales correspondientes. [1] Por tanto, basta con clasificar los grupos de reflexión complejos irreductibles.
Los grupos de reflexión complejos irreductibles fueron clasificados por GC Shephard y JA Todd ( 1954 ). Demostraron que todo irreductible pertenecía a una familia infinita G ( m , p , n ) dependiendo de 3 parámetros enteros positivos (con p dividiendo m ) o era uno de los 34 casos excepcionales, que numeraron del 4 al 37. [2] El el grupo G ( m , 1, n ) es el grupo simétrico generalizado ; de manera equivalente, es el producto de la corona del grupo simétrico Sym ( n ) por un grupo cíclico de orden m . Como grupo de matrices, sus elementos se pueden realizar como matrices monomiales cuyos elementos distintos de cero son raíces m ésimas de la unidad .
El grupo G ( m , p , n ) es un subgrupo índice- p de G ( m , 1, n ). G ( m , p , n ) es de orden m n n ! / P . Como matrices, se puede realizar como el subconjunto en el que el producto de las entradas distintas de cero es una raíz ( m / p ) ésima de la unidad (en lugar de sólo una raíz m ésima). Algebraicamente, G ( m , p , n ) es un producto semidirecto de un grupo abeliano de orden m n / p por el grupo simétrico Sym ( n ); los elementos del grupo abeliano son de la forma ( θ a 1 , θ a 2 , ..., θ a n ), donde θ es una raíz m- ésima primitiva de la unidad y ∑ a i ≡ 0 mod p , y Sym ( n ) actúa por permutaciones de las coordenadas. [3]
El grupo G ( m , p , n ) actúa irreductiblemente sobre C n excepto en los casos m = 1, n > 1 (el grupo simétrico) y G (2, 2, 2) (el cuatro-grupo de Klein ). En estos casos, C n se divide como una suma de representaciones irreductibles de las dimensiones 1 y n - 1.
Casos especiales de G ( m , p , n )
Grupos de Coxeter
Cuando m = 2, la representación descrita en la sección anterior consta de matrices con entradas reales y, por tanto, en estos casos G ( m , p , n ) es un grupo de Coxeter finito. En particular: [4]
- G (1, 1, n ) tiene tipo A n −1 = [3,3, ..., 3,3] =...; el grupo simétrico de orden n !
- G (2, 1, n ) tiene tipo B n = [3,3, ..., 3,4] =...; el grupo hiperoctaédrico de orden 2 n n !
- G (2, 2, n ) tiene tipo D n = [3,3, ..., 3 1,1 ] =..., ordene 2 n n ! / 2.
Además, cuando m = p y n = 2, el grupo G ( p , p , 2) es el grupo diédrico de orden 2 p ; como grupo Coxeter, tipo I 2 ( p ) = [ p ] =(y el grupo de Weyl G 2 cuando p = 6).
Otros casos especiales y coincidencias
Los únicos casos en que dos grupos G ( m , p , n ) son isomorfos como grupos de reflexión complejos [ aclaración necesaria ] son que G ( ma , pa , 1) es isomorfo a G ( mb , pb , 1) para cualquier número entero positivo a , b (y ambos son isomorfos al grupo cíclico de orden m / p ). Sin embargo, hay otros casos en los que dos de estos grupos son isomorfos como grupos abstractos.
Los grupos G (3, 3, 2) y G (1, 1, 3) son isomorfos al grupo simétrico Sym (3). Los grupos G (2, 2, 3) y G (1, 1, 4) son isomorfos al grupo simétrico Sym (4). Tanto G (2, 1, 2) como G (4, 4, 2) son isomorfos al grupo diedro de orden 8. Y los grupos G (2 p , p , 1) son cíclicos de orden 2, al igual que G ( 1, 1, 2).
Lista de grupos de reflexión complejos irreductibles
Hay algunos duplicados en las primeras 3 líneas de esta lista; consulte la sección anterior para obtener más detalles.
- ST es el número de Shephard-Todd del grupo de reflexión.
- El rango es la dimensión del espacio vectorial complejo sobre el que actúa el grupo.
- Estructura describe la estructura del grupo. El símbolo * representa un producto central de dos grupos. Para el rango 2, el cociente por el centro (cíclico) es el grupo de rotaciones de un tetraedro, octaedro o icosaedro ( T = Alt (4), O = Sym (4), I = Alt (5), de órdenes 12 , 24, 60), como se indica en la tabla. Para la notación 2 1 + 4 , consulte el grupo extra especial .
- El orden es el número de elementos del grupo.
- Reflejos describe el número de reflejos: 2 6 4 12 significa que hay 6 reflejos de orden 2 y 12 de orden 4.
- Grados da los grados de los invariantes fundamentales del anillo de invariantes polinomiales. Por ejemplo, las invariantes del grupo número 4 forman un anillo polinomial con 2 generadores de grados 4 y 6.
S T | Rango | Estructura y nombres | Nombres de Coxeter | Pedido | Reflexiones | Grados | Grados codificados |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | n −1 | Grupo simétrico G (1,1, n ) = Sym ( n ) | n ! | 2 n ( n - 1) / 2 | 2, 3, ..., n | 0,1, ..., n - 2 | |
2 | norte | G ( metro , p , norte ) metro > 1, n > 1, p | m ( G (2,2,2) es reducible) | m n n ! / p | 2 min ( n −1) / 2 , re norte φ ( re ) ( re | m / p , re > 1) | m , 2 m , .., ( n - 1) m ; mn / p | 0, m , ..., ( n - 1) m si p < m ; 0, m , ..., ( n - 2) m , ( n - 1) m - n si p = m | |
2 | 2 | G ( p , 1,2) p > 1, | p [4] 2 o | 2 p 2 | 2 p , d 2φ ( d ) ( d | p , d > 1) | p ; 2p | 0, p |
2 | 2 | Grupo diedro G ( p , p , 2) p > 2 | [ p ] o | 2 p | 2 p | 2, p | 0, p-2 |
3 | 1 | Grupo cíclico G ( p , 1,1) = Z p | p [] o | pag | d φ ( d ) ( d | p , d > 1) | pag | 0 |
4 | 2 | W (L 2 ), Z 2 . T | 3 [3] 3 o , ⟨2,3,3⟩ | 24 | 3 8 | 4,6 | 0,2 |
5 | 2 | Z 6 . T | 3 [4] 3 o | 72 | 3 16 | 6,12 | 0,6 |
6 | 2 | Z 4 . T | 3 [6] 2 o | 48 | 2 6 3 8 | 4,12 | 0,8 |
7 | 2 | Z 12 . T | ‹3,3,3› 2 o ⟨2,3,3⟩ 6 | 144 | 2 6 3 16 | 12,12 | 0,12 |
8 | 2 | Z 4 . O | 4 [3] 4 o | 96 | 2 6 4 12 | 8,12 | 0,4 |
9 | 2 | Z 8 . O | 4 [6] 2 o o ⟨2,3,4⟩ 4 | 192 | 2 18 4 12 | 8,24 | 0,16 |
10 | 2 | Z 12 . O | 4 [4] 3 o | 288 | 2 6 3 16 4 12 | 12,24 | 0,12 |
11 | 2 | Z 24 . O | ⟨2,3,4⟩ 12 | 576 | 2 18 3 16 4 12 | 24,24 | 0,24 |
12 | 2 | Z 2 . O = GL 2 ( F 3 ) | ⟨2,3,4⟩ | 48 | 2 12 | 6,8 | 0,10 |
13 | 2 | Z 4 . O | ⟨2,3,4⟩ 2 | 96 | 2 18 | 8,12 | 0,16 |
14 | 2 | Z 6 . O | 3 [8] 2 o | 144 | 2 12 3 16 | 6,24 | 0,18 |
15 | 2 | Z 12 . O | ⟨2,3,4⟩ 6 | 288 | 2 18 3 16 | 12,24 | 0,24 |
dieciséis | 2 | Z 10 . Yo , ⟨2,3,5⟩ × Z 5 | 5 [3] 5 o | 600 | 5 48 | 20,30 | 0,10 |
17 | 2 | Z 20 . I | 5 [6] 2 o | 1200 | 2 30 5 48 | 20,60 | 0,40 |
18 | 2 | Z 30 . I | 5 [4] 3 o | 1800 | 3 40 5 48 | 30,60 | 0,30 |
19 | 2 | Z 60 . I | ⟨2,3,5⟩ 30 | 3600 | 2 30 3 40 5 48 | 60,60 | 0,60 |
20 | 2 | Z 6 . I | 3 [5] 3 o | 360 | 3 40 | 12,30 | 0,18 |
21 | 2 | Z 12 . I | 3 [10] 2 o | 720 | 2 30 3 40 | 12,60 | 0,48 |
22 | 2 | Z 4 . I | ⟨2,3,5⟩ 2 | 240 | 2 30 | 12,20 | 0,28 |
23 | 3 | W (H 3 ) = Z 2 × PSL 2 (5) | [5,3], | 120 | 2 15 | 2,6,10 | 0,4,8 |
24 | 3 | W (J 3 (4)) = Z 2 × PSL 2 (7), Klein | [1 1 1 4 ] 4 , | 336 | 2 21 | 4,6,14 | 0,8,10 |
25 | 3 | W (L 3 ) = W (P 3 ) = 3 1 + 2 .SL 2 (3) Arpillera | 3 [3] 3 [3] 3, | 648 | 3 24 | 6,9,12 | 0,3,6 |
26 | 3 | W (M 3 ) = Z 2 × 3 1 + 2 .SL 2 (3) Arpillera | 2 [4] 3 [3] 3, | 1296 | 2 9 3 24 | 6,12,18 | 0,6,12 |
27 | 3 | W (J 3 (5)) = Z 2 × ( Z 3 .Alt (6)), Valentiner | [1 1 1 5 ] 4 , [1 1 1 4 ] 5 , | 2160 | 2 45 | 6,12,30 | 0,18,24 |
28 | 4 | W (F 4 ) = (SL 2 (3) * SL 2 (3)). ( Z 2 × Z 2 ) | [3,4,3], | 1152 | 2 12 + 12 | 2,6,8,12 | 0,4,6,10 |
29 | 4 | W (N 4 ) = ( Z 4 * 2 1 + 4 ) .Sym (5) | [1 1 2] 4 , | 7680 | 2 40 | 4,8,12,20 | 0,8,12,16 |
30 | 4 | W (H 4 ) = (SL 2 (5) * SL 2 (5)). Z 2 | [5,3,3], | 14400 | 2 60 | 2,12,20,30 | 0,10,18,28 |
31 | 4 | W (EN 4 ) = W (O 4 ) = ( Z 4 * 2 1 + 4 ) .Sp 4 (2) | 46080 | 2 60 | 8,12,20,24 | 0,12,16,28 | |
32 | 4 | W (L 4 ) = Z 3 × Sp 4 (3) | 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3, | 155520 | 3 80 | 12,18,24,30 | 0,6,12,18 |
33 | 5 | W (K 5 ) = Z 2 × Ω 5 (3) = Z 2 × PSp 4 (3) = Z 2 × PSU 4 (2) | [1 2 2] 3 , | 51840 | 2 45 | 4,6,10,12,18 | 0,6,8,12,14 |
34 | 6 | W (K 6 ) = Z 3 .Ω- 6(3). Z 2 , grupo de Mitchell | [1 2 3] 3 , | 39191040 | 2 126 | 6,12,18,24,30,42 | 0,12,18,24,30,36 |
35 | 6 | W (E 6 ) = SO 5 (3) = O- 6(2) = PSp 4 (3). Z 2 = PSU 4 (2). Z 2 | [3 2,2,1 ], | 51840 | 2 36 | 2,5,6,8,9,12 | 0,3,4,6,7,10 |
36 | 7 | W (E 7 ) = Z 2 × Sp 6 (2) | [3 3,2,1 ], | 2903040 | 2 63 | 2,6,8,10,12,14,18 | 0,4,6,8,10,12,16 |
37 | 8 | W (E 8 ) = Z 2 .O+ 8(2) | [3 4,2,1 ], | 696729600 | 2 120 | 2,8,12,14,18,20,24,30 | 0,6,10,12,16,18,22,28 |
Para obtener más información, incluidos diagramas, presentaciones y grados de código de grupos de reflexión complejos, consulte las tablas en (Michel Broué, Gunter Malle & Raphaël Rouquier 1998 ).
Grados
Shephard y Todd demostraron que un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial complejo es un grupo de reflexión complejo si y solo si su anillo de invariantes es un anillo polinomial ( teorema de Chevalley-Shephard-Todd ). Parasiendo el rango del grupo de reflexión, los gradosde los generadores del anillo de invariantes se denominan grados de W y se enumeran en la columna anterior titulada "grados". También mostraron que muchos otros invariantes del grupo están determinados por los grados de la siguiente manera:
- El centro de un grupo de reflexión irreducible es cíclico de orden igual al máximo común divisor de grados.
- El orden de un grupo de reflexión complejo es el producto de sus grados.
- El número de reflejos es la suma de los grados menos el rango.
- Un grupo de reflexión complejo irreductible proviene de un grupo de reflexión real si y solo si tiene una invariante de grado 2.
- Los grados d i satisfacen la fórmula
Grados codificados
Para siendo el rango del grupo de reflexión, los grados codificados de W se puede definir por
- Para un grupo de reflexión real, los grados de código son los grados menos 2.
- El número de hiperplanos de reflexión es la suma de los grados de código más el rango.
Grupos de reflexión complejos bien generados
Por definición, todo grupo de reflexión complejo se genera a partir de sus reflexiones. Sin embargo, el conjunto de reflexiones no es un conjunto generador mínimo, y cada grupo de reflexión complejo irreducible de rango n tiene un conjunto generador mínimo que consta de n o n + 1 reflexiones. En el primer caso, se dice que el grupo está bien generado .
La propiedad de estar bien generado es equivalente a la condición para todos . Así, por ejemplo, se puede leer de la clasificación que el grupo G ( m , p , n ) está bien generado si y solo si p = 1 o m .
Para grupos de reflexión complejos irreductibles bien generados, el número de Coxeter h definido anteriormente es igual al grado más grande,. Se dice que un grupo de reflexión complejo reducible está bien generado si es un producto de grupos de reflexión complejos irreductibles bien generados. Cada grupo de reflexión real finito está bien generado.
Grupos de Shephard
Los grupos de reflexión complejos bien generados incluyen un subconjunto llamado grupos Shephard . Estos grupos son los grupos de simetría de politopos complejos regulares . En particular, incluyen los grupos de simetría de poliedros reales regulares. Los grupos de Shephard pueden caracterizarse como los grupos de reflexión complejos que admiten una presentación "tipo Coxeter" con un diagrama lineal. Es decir, un grupo de Shephard tiene asociados enteros positivos p 1 ,…, p n y q 1 ,…, q n - 1 tal que hay un conjunto generador s 1 ,…, s n que satisface las relaciones
- para i = 1,…, n ,
- Si ,
y
- donde los productos en ambos lados tienen q i términos, para i = 1,…, n - 1 .
Esta información a veces se recopila en el símbolo tipo Coxeter p 1 [ q 1 ] p 2 [ q 2 ]… [ q n - 1 ] p n , como se ve en la tabla anterior.
Entre los grupos de la familia infinita G ( m , p , n ) , los grupos de Shephard son aquellos en los que p = 1 . También hay 18 grupos Shephard excepcionales, de los cuales tres son reales. [5] [6]
Matrices de Cartan
Una matriz de Cartan ampliada define el grupo unitario. Los grupos Shephard de rango n tienen n generadores. Las matrices de Cartan ordinarias tienen elementos diagonales 2, mientras que las reflexiones unitarias no tienen esta restricción. [7] Por ejemplo, el grupo de rango 1 de orden p (con símbolos p [],) está definido por la matriz 1 × 1.
Dado: .
Grupo | Cartan | Grupo | Cartan | ||
---|---|---|---|---|---|
2 [] | 3 [] | ||||
4 [] | 5 [] |
Grupo | Cartan | Grupo | Cartan | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
G 4 | 3 [3] 3 | G 5 | 3 [4] 3 | ||||
G 6 | 2 [6] 3 | G 8 | 4 [3] 4 | ||||
G 9 | 2 [6] 4 | G 10 | 3 [4] 4 | ||||
G 14 | 3 [8] 2 | G 16 | 5 [3] 5 | ||||
G 17 | 2 [6] 5 | G 18 | 3 [4] 5 | ||||
G 20 | 3 [5] 3 | G 21 | 2 [10] 3 |
Grupo | Cartan | Grupo | Cartan | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
G 22 | <5,3,2> 2 | G 23 | [5,3] | ||||
G 24 | [1 1 1 4 ] 4 | G 25 | 3 [3] 3 [3] 3 | ||||
G 26 | 3 [3] 3 [4] 2 | G 27 | [1 1 1 5 ] 4 |
Grupo | Cartan | Grupo | Cartan | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
G 28 | [3,4,3] | G 29 | [1 1 2] 4 | ||||
G 30 | [5,3,3] | G 32 | 3 [3] 3 [3] 3 |
Grupo | Cartan | Grupo | Cartan | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
G 31 | O 4 | G 33 | [1 2 2] 3 |
Referencias
- ^ Lehrer y Taylor, Teorema 1.27.
- ^ Lehrer y Taylor, p. 271.
- ^ Lehrer y Taylor, sección 2.2.
- ^ Lehrer y Taylor, ejemplo 2.11.
- ^ Peter Orlik , Victor Reiner, Anne V. Shepler. La representación de signos para los grupos Shephard . Mathematische Annalen . Marzo de 2002, Volumen 322, Número 3, págs. 477–492. DOI: 10.1007 / s002080200001 [1]
- ^ Coxeter, HSM ; Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, 1974.
- ^ Grupos de reflexión unitaria, págs. 91-93
- Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), "Sobre grupos de reflexión complejos y sus grupos trenzados asociados", Representaciones de grupos (Banff, AB, 1994) (PDF) , CMS Conf. Proc., 16 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 1-13, MR 1357192
- Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), "Grupos de reflexión complejos, grupos de trenzas, álgebras de Hecke", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 500 : 127-190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907 , doi : 10.1515 / crll.1998.064 , ISSN 0075 -4102 , MR 1637497
- Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007 / BF01406236 , ISSN 0020-9910 , Señor 0422673
- Hiller, Howard Geometry of Coxeter grupos. Notas de investigación en matemáticas, 54. Pitman (Programa de publicaciones avanzadas), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv + 213 págs. ISBN 0-273-08517-4 *
- Lehrer, Gustav I .; Taylor, Donald E. (2009), Grupos de reflexión unitaria , Serie de conferencias de la Sociedad Matemática Australiana, 20 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964
- Shephard, GC; Todd, JA (1954), "Grupos de reflexión unitarios finitos" , Canadian Journal of Mathematics , Canadian Mathematical Society, 6 : 274–304, doi : 10.4153 / CJM-1954-028-3 , ISSN 0008-414X , MR 0059914
- Coxeter , Grupos Finitos Generados por Reflexiones Unitarias , 1966, 4. La Notación Gráfica , Tabla de grupos n-dimensionales generados por n Reflexiones Unitarias. págs. 422–423
enlaces externos
- Página del sistema de álgebra computacional MAGMA