Poliedro | |
Clase | Número y propiedades |
---|---|
Sólidos platónicos | ( 5 , convexo, regular) |
Sólidos de Arquímedes | ( 13 , convexo, uniforme) |
Poliedros de Kepler-Poinsot | ( 4 , regular, no convexo) |
Poliedros uniformes | ( 75 , uniforme) |
Prismatoide : prismas , antiprismas , etc. | ( 4 clases de uniformes infinitas) |
Azulejos de poliedros | ( 11 regulares , en el avión) |
Poliedros cuasi regulares | ( 8 ) |
Sólidos de Johnson | ( 92 , convexo, no uniforme) |
Pirámides y bipirámides | ( infinito ) |
Stellations | Stellations |
Compuestos poliédricos | ( 5 regulares ) |
Deltahedra | ( Deltahedra , caras de triángulos equiláteros) |
Poliedros desaire | ( 12 uniforme , no imagen reflejada) |
Zonoedro | ( Zonohedra , las caras tienen simetría de 180 °) |
Poliedro doble | |
Poliedro auto-dual | ( infinito ) |
Sólido catalán | ( 13 , dual de Arquímedes) |
Un poliedro desaire es un poliedro obtenido alternando un poliedro omnitruncado o truncado correspondiente , según la definición. Algunos autores, pero no todos, incluyen los antiprismas como poliedros chatos, ya que se obtienen mediante esta construcción a partir de un "poliedro" degenerado con sólo dos caras (un diedro ).
Los poliedros chatos quirales no siempre tienen simetría de reflexión y, por lo tanto, a veces tienen dosformas enantiomorfas que son reflejos entre sí. Sus grupos de simetría son todos grupos de puntos .
Por ejemplo, el cubo de desaire :
Los poliedros desaire tienen el símbolo de Wythoff | pqr y por extensión, configuración de vértice 3. p .3. q .3. r . Los poliedros retrosnub (un subconjunto del poliedro chato, que contiene el gran icosaedro , el pequeño icosicosidodecaedro retroesnub y el gran retrosnub icosidodecaedro ) todavía tienen esta forma del símbolo de Wythoff, pero sus configuraciones de vértice son en cambio (3. −p .3. −q .3 . −r ) / 2 .
Lista de poliedros desaire
Uniforme
Hay 12 poliedros desaire uniformes, sin incluir los antiprismas, el icosaedro como un tetraedro desaire , el gran icosaedro como un tetraedro retrosnub y el gran dirhombidodecaedro disnub , también conocido como la figura de Skilling .
Cuando el triángulo de Schwarz del poliedro desaire es isósceles , el poliedro desaire no es quiral. Este es el caso de los antiprismas, el icosaedro , el gran icosaedro , el pequeño icosicosidodecaedro chato y el pequeño retro-sub-icosicosidodecaedro .
En las imágenes de la derivación desaire (que muestra un poliedro desaire distorsionado, topológicamente idéntico a la versión uniforme, obtenido de alternar geométricamente el poliedro omnitruncado uniforme principal) donde el verde no está presente, las caras derivadas de la alternancia son de color rojo y amarillo, mientras que los triángulos chatos son azules. Donde está presente el verde (sólo para el icosidodecadodecaedro chato y el dodecicosidodecaedro chato ), las caras derivadas de la alternancia son rojas, amarillas y azules, mientras que los triángulos chatos son verdes.
Poliedro chato | Imagen | Poliedro original omnitruncado | Imagen | Derivación desaire | Grupo de simetría | Descripción del vértice del símbolo de Wythoff |
---|---|---|---|---|---|---|
Icosaedro ( tetraedro chato ) | Octaedro truncado | Yo h ( T h ) | | 3 3 2 3.3.3.3.3 | |||
Gran icosaedro ( tetraedro retrosnub ) | Octaedro truncado | Yo h ( T h ) | | 2 3 / 2 3 / 2 (3.3.3.3.3) / 2 | |||
Cubo chato o cuboctaedro chato | Cuboctaedro truncado | O | | 4 3 2 3.3.3.3.4 | |||
Dodecaedro chato o icosidodecaedro chato | Icosidodecaedro truncado | I | | 5 3 2 3.3.3.3.5 | |||
Pequeño icosicosidodecaedro chato | Iicosaedro truncado doblemente cubierto | Yo h | | 3 3 5 / 2 3.3.3.3.3. 5 / 2 | |||
Dodecadodecaedro chato | Pequeño rhombidodecahedron con extra de 12 { 10 / 2 } caras | I | | 5 5 / 2 2 3.3. 5 / 2 .3.5 | |||
Icosidodecadodecaedro desaire | Dodecadodecaedro icositruncado | I | | 3 5 5 / 3 3. 5 / 3 .3.3.3.5 | |||
Gran icosidodecaedro chato | Rhombicosahedron con extra de 12 { 10 / 2 } caras | I | | 3 5 / 2 2 3.3. 5 / 2 .3.3 | |||
Dodecadodecaedro chato invertido | Dodecadodecaedro truncado | I | | 2 5 5 / 3 3. 5 / 3 .3.3.3.5 | |||
Gran dodecicosidodecaedro chato | Gran dodecicosahedron con extra de 12 { 10 / 2 } caras | sin imagen todavía | I | | 3 5 / 2 5 / 3 3. 5 / 3 0.3. 5 / 2 .3.3 | ||
Gran icosidodecaedro chato invertido | Gran icosidodecaedro truncado | I | | 2 3 5 / 3 3. 5 / 3 .3.3.3 | |||
Pequeño icosicosidodecaedro retrosnub | Iicosaedro truncado doblemente cubierto | sin imagen todavía | Yo h | | 5 / 2 3 / 2 3 / 2 (3.3.3.3.3. 5 / 2 ) / 2 | ||
Gran icosidodecaedro retrosnub | Gran rhombidodecahedron con extra de 20 { 6 / 2 } caras | sin imagen todavía | I | | 2 5 / 3 3 / 2 (3.3.3. 5 / 2 0.3) / 2 | ||
Gran dirhombicosidodecaedro | - | - | - | Yo h | | 3 / 2 5 / 3 3 5 / 2 (4. 3 / 2 0.4. 5 / 3 .4.3.4. 5 / 2 ) / 2 | |
Gran disnub dirhombidodecaedro | - | - | - | Yo h | | ( 3 / 2 ) 5 / 3 (3) 5 / 2 ( 3 / 2 . 3 / 2 . 3 / 2 0.4. 5 / 3 .4.3.3.3.4. 5 / 2 0.4) / 2 |
Notas:
- El icosaedro , el cubo chato y el dodecaedro chato son los únicos tres convexos . Se obtienen por desaireación del octaedro truncado , el cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado , los tres poliedros cuasirregulares truncados convexos .
- El único poliedro chato con el grupo quiral octaédrico de simetrías es el cubo chato .
- Solo el icosaedro y el gran icosaedro también son poliedros regulares . También son deltaedros .
- Sólo el icosaedro, el gran icosaedro, el pequeño icosicosidodecaedro chato , el pequeño icosicosidodecaedro retrosnub , el gran dirhombicosidodecaedro y el gran disnub dirhombidodecaedro también tienen simetrías reflectantes.
También existe el conjunto infinito de antiprismas . Están formados por prismas , que son hosoedros truncados , poliedros regulares degenerados . Aquellos hasta hexagonales se enumeran a continuación. En las imágenes que muestran la derivación chata, las caras derivadas de la alternancia (de las bases del prisma) están coloreadas de rojo y los triángulos chata están coloreados de amarillo. La excepción es el tetraedro, para el cual todas las caras se derivan como triángulos rojos chatos, ya que alternar las bases cuadradas del cubo da como resultado digones degenerados como caras.
Poliedro chato | Imagen | Poliedro original omnitruncado | Imagen | Derivación desaire | Grupo de simetría | Descripción del vértice del símbolo de Wythoff |
---|---|---|---|---|---|---|
Tetraedro | Cubo | T d ( D 2d ) | | 2 2 2 3.3.3 | |||
Octaedro | Prisma hexagonal | O h ( D 3d ) | | 3 2 2 3.3.3.3 | |||
Antiprisma cuadrado | Prisma octogonal | D 4d | | 4 2 2 3.4.3.3 | |||
Antiprisma pentagonal | Prisma decagonal | D 5d | | 5 2 2 3.5.3.3 | |||
Antiprisma pentagrammico | Prisma pentagonal doblemente cubierto | D 5h | | 5 / 2 2 2 3. 5 / 2 .3.3 | |||
Antiprisma cruzado pentagrammico | Prisma decagrammico | D 5d | | 2 2 5 / 3 3. 5 / 3 .3.3 | |||
Antiprisma hexagonal | Prisma dodecagonal | D 6d | | 6 2 2 3.6.3.3 |
Notas:
- Dos de estos poliedros pueden construirse a partir de los dos primeros poliedros desaire de la lista que comienzan con el icosaedro : el antiprisma pentagonal es un icosaedro parabidiminado y un antiprisma cruzado pentagrammico es un gran icosaedro parabidiminado, también conocido como gran icosaedro parabirrepuesto .
No uniforme
Dos sólidos de Johnson son poliedros chatos: el difenoide chato y el antiprisma cuadrado chato . Tampoco es quiral.
Poliedro chato | Imagen | Poliedro original | Imagen | Grupo de simetría |
---|---|---|---|---|
Disfenoides desaire | Disfenoide | D 2d | ||
Antiprisma cuadrado chato | Antiprisma cuadrado | D 4d |
Referencias
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas , 246 (916): 401–450, doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446 , S2CID 202575183
- Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedro . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09859-9.
- Skilling, J. (1975), "El conjunto completo de poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas , 278 (1278): 111-135, doi : 10.1098 / rsta.1975.0022 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 74475 , MR 0365333 , S2CID 122634260
- Mäder, RE Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993.
Semilla | Truncamiento | Rectificación | Bitruncation | Doble | Expansión | Omnitruncación | Alternancias | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
t 0 {p, q} {p, q} | t 01 {p, q} t {p, q} | t 1 {p, q} r {p, q} | t 12 {p, q} 2t {p, q} | t 2 {p, q} 2r {p, q} | t 02 {p, q} rr {p, q} | t 012 {p, q} tr {p, q} | ht 0 {p, q} h {q, p} | ht 12 {p, q} s {q, p} | ht 012 {p, q} sr {p, q} |