Valores propios y vectores propios
En álgebra lineal , un vector propio ( ) o vector característico de una transformación lineal es un no nulo vector que los cambios en la mayoría por un escalar factor al que la transformación lineal se aplica a ella. El valor propio correspondiente , a menudo denotado por , es el factor por el cual se escala el vector propio.
Geométricamente , un autovector, correspondiente a un autovalor real distinto de cero, apunta en una dirección en la que se estira por la transformación y el autovalor es el factor por el cual se estira. Si el valor propio es negativo, la dirección se invierte. Hablando libremente, en un espacio vectorial multidimensional , el vector propio no se rota.
Si T es una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre un campo F en sí mismo yv es un vector distinto de cero en V , entonces v es un vector propio de T si T ( v ) es un múltiplo escalar de v . Esto se puede escribir como
donde λ es un escalar en F , conocido como valor propio , valor característico o raíz característica asociada con v .
Existe una correspondencia directa entre n- por- n matrices cuadradas y transformaciones lineales de un espacio vectorial n- dimensional en sí mismo, dada cualquier base del espacio vectorial. Por tanto, en un espacio vectorial de dimensión finita, es equivalente definir valores propios y vectores propios utilizando el lenguaje de matrices o el lenguaje de transformaciones lineales.
Los autovalores y autovectores ocupan un lugar destacado en el análisis de transformaciones lineales. El prefijo eigen- se adopta de la palabra alemana eigen ( análoga a la palabra inglesa own ) para "apropiado", "característico", "propio". [6] Originalmente utilizado para estudiar los ejes principales del movimiento de rotación de cuerpos rígidos , los valores propios y los vectores propios tienen una amplia gama de aplicaciones, por ejemplo, en análisis de estabilidad , análisis de vibraciones , orbitales atómicos , reconocimiento facial ydiagonalización de la matriz .
En este
mapeo de corte, la flecha roja cambia de dirección, pero la flecha azul no. La flecha azul es un vector propio de este mapeo de corte porque no cambia de dirección y, dado que su longitud no cambia, su valor propio es 1.
Una matriz simétrica y real de 2 × 2 representa un estiramiento y un corte del plano. Los vectores propios de la matriz (líneas rojas) son las dos direcciones especiales, de modo que cada punto de ellos simplemente se deslizará sobre ellos.
Matrix
A actúa estirando el vector
x , no cambiando su dirección, por lo que
x es un vector propio de
A .
La matriz de transformación
A = conserva la dirección de los vectores violetas paralelos
av λ = 1 = [1 −1]
T y los vectores azules paralelos
av λ = 3 = [1 1 ]
T. Los vectores rojos no son paralelos a ninguno de los vectores propios, por lo que la transformación cambia sus direcciones. Las longitudes de los vectores púrpuras no cambian después de la transformación (debido a su valor propio de 1), mientras que los vectores azules tienen tres veces la longitud del original (debido a su valor propio de 3). Consulte también:
Una versión extendida, que muestra los cuatro cuadrantes .
Las funciones de
onda asociadas con los
estados ligados de un
electrón en un
átomo de hidrógeno pueden verse como los vectores propios del
Hamiltoniano del átomo de hidrógeno , así como del
operador del momento angular . Están asociados con valores propios interpretados como sus energías (aumentando hacia abajo :) y momento angular (aumentando a través de: s, p, d,…). La ilustración muestra el cuadrado del valor absoluto de las funciones de onda. Las áreas más brillantes corresponden a una densidad de probabilidad más alta para una medición de posición . El centro de cada figura es el núcleo atómico , un protón
.
PCA de la distribución gaussiana multivariante centrada en con una desviación estándar de 3 aproximadamente en la dirección y de 1 en la dirección ortogonal. Los vectores que se muestran son vectores propios unitarios de la matriz de covarianza (simétrica, semidefinida positiva) escalada por la raíz cuadrada del valor propio correspondiente. Al igual que en el caso unidimensional, la raíz cuadrada se toma porque la desviación estándar se visualiza más fácilmente que la varianza .
Forma de modo de un diapasón a frecuencia propia 440,09 Hz
Caras propias como ejemplos de vectores propios
![{\ Displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838a30dc9d065ec434dff490bd84061ed569db3b)
