En matemáticas , en particular en topología algebraica y geometría diferencial , las clases de Stiefel-Whitney son un conjunto de invariantes topológicos de un conjunto de vectores reales que describen las obstrucciones para construir en todas partes conjuntos independientes de secciones del conjunto de vectores. Las clases de Stiefel-Whitney están indexadas de 0 an , donde n es el rango del paquete de vectores. Si la clase de índice i de Stiefel-Whitney es distinta de cero, entonces no puede existir ( n - i+1) en todas las secciones linealmente independientes del paquete vectorial. A distinto de cero n º clase Stiefel-Whitney indica que cada sección del haz debe desaparecer en algún momento. Una primera clase Stiefel-Whitney distinta de cero indica que el paquete de vectores no es orientable . Por ejemplo, la primera clase Stiefel-Whitney de la tira de Möbius , como un paquete de líneas sobre el círculo, no es cero, mientras que la primera clase Stiefel-Whitney del paquete de líneas trivial sobre el círculo, S 1 × R , es cero.
La clase Stiefel-Whitney fue nombrado para Eduard Stiefel y Hassler Whitney y es un ejemplo de un Z / 2 Z - característica de clase asociado a fibrados vectoriales reales.
En geometría algebraica también se pueden definir clases de Stiefel-Whitney análogas para paquetes de vectores con una forma cuadrática no degenerada, tomando valores en grupos de cohomología de etale o en la teoría K de Milnor . Como caso especial, se pueden definir clases de Stiefel-Whitney para formas cuadráticas sobre campos, siendo los dos primeros casos el discriminante y el invariante de Hasse-Witt ( Milnor 1970 ).
Introducción
Presentación general
Para un paquete de vectores real E , la clase Stiefel-Whitney de E se denota por w ( E ) . Es un elemento del anillo de cohomología.
aquí X es el espacio base del paquete E , y Z / 2 Z (a menudo alternativamente denotado por Z 2 ) es el anillo conmutativo cuyos únicos elementos son 0 y 1. La componente de w ( E ) en H i ( X ; Z / 2 Z ) se denota por w i ( E ) y se denomina i -ésima clase de E de Stiefel-Whitney . Por lo tanto, w ( E ) = w 0 ( E ) + w 1 ( E ) + w 2 ( E ) + ⋅⋅⋅ , donde cada w i ( E ) es un elemento de H i ( X ; Z / 2 Z ) .
La clase de Stiefel-Whitney w ( E ) es una invariante del paquete de vectores real E ; es decir, cuando F es otro paquete del vector real, que tiene el mismo espacio base X como E , y si F es isomorfo a E , entonces las clases Stiefel-Whitney W ( E ) y w ( F ) son iguales. (Aquí isomorfo significa que existe un isomorfismo de paquete de vectores E → F que cubre el id de identidad X : X → X. ) Si bien en general es difícil decidir si dos paquetes de vectores reales E y F son isomorfos, las clases de Stiefel-Whitney w ( e ) y w ( F ) a menudo se puede calcular fácilmente. Si son diferentes, se sabe que E y F no son isomorfos.
Como ejemplo, sobre el círculo S 1 , hay un paquete de líneas (es decir, un paquete de vectores reales de rango 1) que no es isomorfo a un paquete trivial . Este haz de líneas L es la tira de Möbius (que es un haz de fibras cuyas fibras pueden equiparse con estructuras de espacio vectorial de tal manera que se convierta en un haz de vectores). El grupo cohomology H 1 ( S 1 ; Z / 2 Z ) tiene sólo un elemento distinto de 0. Este elemento es la primera clase Stiefel-Whitney w 1 ( L ) de L . Puesto que la línea paquete trivial sobre S 1 tiene primera clase Stiefel-Whitney 0, no es isomorfo a L .
Dos haces de vectores reales E y F que tienen la misma clase Stiefel-Whitney no son necesariamente isomorfos. Esto ocurre por ejemplo cuando E y F son haces vectoriales reales triviales de diferentes rangos en el mismo espacio base X . También puede suceder cuando E y F tienen el mismo rango: el paquete tangente de las 2 esferas S 2 y el paquete vectorial real trivial de rango 2 sobre S 2 tienen la misma clase Stiefel-Whitney, pero no son isomorfos. Pero si dos haces de líneas reales sobre X tienen la misma clase Stiefel-Whitney, entonces son isomorfos.
Orígenes
Las clases de Stiefel-Whitney w i ( E ) reciben su nombre porque Eduard Stiefel y Hassler Whitney las descubrieron como reducciones mod-2 de las clases de obstrucción para construir n - i + 1 en todas partes secciones linealmente independientes del paquete vectorial E restringidas a i -skeleton de X . Aquí n denota la dimensión de la fibra del vector haz F → E → X .
Para ser precisos, siempre que X sea un complejo CW , Whitney definió las clases W i ( E ) en el i -ésimo grupo de cohomología celular de X con coeficientes retorcidos. El sistema de coeficiente de ser el ( i -st -1) grupo homotopy del Stiefel colector V n - i 1 ( F ) de ( n - i 1) vectores linealmente independientes en las fibras de E . Whitney demostró que W i ( E ) = 0 si y solo si E , cuando está restringido al i -esqueleto de X , tiene ( n - i +1) secciones linealmente independientes.
Dado que π i −1 V n - i +1 ( F ) es infinito- cíclico o isomorfo a Z / 2 Z , hay una reducción canónica de las clases W i ( E ) a clases w i ( E ) ∈ H i ( X ; Z / 2 Z ) que son las clases Stiefel-Whitney. Además, siempre que π i −1 V n - i +1 ( F ) = Z / 2 Z , las dos clases son idénticas. Por lo tanto, w 1 ( E ) = 0 si y solo si el paquete E → X es orientable .
La clase w 0 ( E ) no contiene información, porque es igual a 1 por definición. Su creación por Whitney fue un acto de notación creativa, permitiendo que la Fórmula de suma de Whitney w ( E 1 ⊕ E 2 ) = w ( E 1 ) w ( E 2 ) sea verdadera.
Definiciones
A lo largo de, H i ( X ; G ) indica cohomology singular de un espacio X con coeficientes en el grupo G . La palabra mapa significa siempre una función continua entre espacios topológicos .
Definición axiomática
La clase característica de Stiefel-Whitney de un paquete de vectores reales de rango finito E en un espacio base paracompacto X se define como la clase única tal que se cumplen los siguientes axiomas:
- Normalización: La clase Whitney del paquete de líneas tautológicas sobre el espacio proyectivo real P 1 ( R ) no es trivial, es decir.
- Rango: w 0 ( E ) = 1 ∈ H 0 ( X ), y para i por encima del rango E ,, es decir,
- Fórmula del producto Whitney: , es decir, la clase Whitney de una suma directa es el producto de taza de las clases de los sumandos.
- Naturalidad: para cualquier paquete de vectores reales E → X y mapa, dónde denota el paquete de vectores de retroceso .
La singularidad de estas clases se demuestra, por ejemplo, en la sección 17.2 - 17.6 en Husemoller o la sección 8 en Milnor y Stasheff. Hay varias pruebas de la existencia, provenientes de varias construcciones, con varios sabores diferentes, su coherencia está asegurada por el enunciado de unicidad.
Definición a través de infinitos Grassmannianos
Los Grassmannianos infinitos y los paquetes de vectores
Esta sección describe una construcción que utiliza la noción de clasificación de espacio .
Para cualquier espacio vectorial V , sea Gr n ( V ) denotar el Grassmanniano , el espacio de subespacios lineales n- dimensionales de V , y denotar el Grassmanniano infinito.
- .
Recuerde que está equipado con el paquete tautológico. un paquete vectorial de rango n que se puede definir como el subconjunto del paquete trivial de fibra V cuya fibra en un puntoes el subespacio representado por Ẃ .
Sea f : X → Gr n , un mapa continuo del Grassmanniano infinito. Luego, hasta el isomorfismo, el paquete inducido por el mapa f en X
depende sólo de la clase de homotopía del mapa [ f ]. La operación de retroceso da así un morfismo del conjunto
de mapas X → Gr n módulo de equivalencia de homotopía, al conjunto
de las clases de isomorfismo de vector haces de rango n sobre X .
(El hecho importante en esta construcción es que si X es un espacio paracompacto , este mapa es una biyección . Esta es la razón por la que llamamos Grassmannianos infinitos los espacios de clasificación de paquetes vectoriales).
Ahora, según el axioma de naturalidad (4) anterior, . Por tanto, en principio basta con conocer los valores depara todos j . Sin embargo, el anillo de la coholomología es gratis en generadores específicos que surgen de una descomposición de células estándar, y luego resulta que estos generadores son, de hecho, simplemente dados por . Por lo tanto, para cualquier paquete de rango n,, donde f es el mapa de clasificación apropiado. Esto en particular proporciona una prueba de la existencia de las clases Stiefel-Whitney.
El caso de los paquetes de líneas
Ahora nos limitamos la construcción anterior a la línea paquetes, es decir, tenemos en cuenta el espacio, vect 1 ( X ) de la línea paquetes más de X . El Grassmannian de líneas Gr 1 es solo el espacio proyectivo infinito
que está doblemente cubierto por la esfera infinita S ∞ por puntos antípodas . Esta esfera S ∞ es contráctil , por lo que tenemos
Por tanto, P ∞ ( R ) es el espacio de Eilenberg-Maclane K ( Z / 2 Z , 1).
Es propiedad de los espacios Eilenberg-Maclane, que
para cualquier X , con el isomorfismo dado por f → f * η, donde η es el generador
- .
Aplicando la observación anterior de que α: [ X , Gr 1 ] → Vect 1 ( X ) también es una biyección, obtenemos una biyección
esto define la clase w 1 de Stiefel-Whitney para paquetes de líneas.
El grupo de paquetes de líneas
Si Vect 1 ( X ) se considera como un grupo bajo la operación del producto tensorial, entonces la clase Stiefel-Whitney, w 1 : Vect 1 ( X ) → H 1 ( X ; Z / 2 Z ), es un isomorfismo. Esto es, w 1 (λ ⊗ μ) = w 1 (λ) + w 1 (μ) para todos los paquetes de la línea de lambda, μ → X .
Por ejemplo, desde H 1 ( S 1 ; Z / 2 Z ) = Z / 2 Z , solo hay dos haces de líneas sobre el círculo hasta el isomorfismo del haz: el trivial y la tira de Möbius abierta (es decir, la tira de Möbius con su límite eliminado).
La misma construcción para paquetes de vectores complejos muestra que la clase Chern define una biyección entre paquetes de líneas complejas sobre X y H 2 ( X ; Z ), porque el espacio de clasificación correspondiente es P ∞ ( C ), a K ( Z , 2). Este isomorfismo es cierto para los haces de líneas topológicas, la obstrucción a la inyectividad de la clase Chern para los haces de vectores algebraicos es la variedad jacobiana .
Propiedades
Interpretación topológica de la desaparición
- w i ( E ) = 0 siempre que i > rango ( E ).
- Si E k tiene secciones que son linealmente independientes en todas partes, entonces las Las clases superiores de Whitney desaparecen: .
- La primera clase Stiefel-Whitney es cero si y solo si el paquete es orientable . En particular, un colector M es orientable si y solo si w 1 ( TM ) = 0.
- El paquete admite una estructura de giro si y solo si tanto la primera como la segunda clase de Stiefel-Whitney son cero.
- Para un paquete orientable, la segunda clase Stiefel-Whitney está en la imagen del mapa natural H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , Z / 2 Z ) (de manera equivalente, la llamada tercera clase integral Stiefel-Whitney es cero) si y solo si el paquete admite una estructura de espín c .
- Todas las Stiefel-Whitney números (véase a continuación) de un compacto liso colector X Vanish si y sólo si el colector es el límite de algunos compacto liso (no orientada) colector (Advertencia: Algunos Stiefel-Whitney clase podría todavía ser distinto de cero, incluso ¡Si todos los números de Stiefel Whitney desaparecen!)
Singularidad de las clases Stiefel-Whitney
La biyección anterior para paquetes de líneas implica que cualquier funtor θ que satisfaga los cuatro axiomas anteriores es igual a w , según el siguiente argumento. El segundo axioma produce θ (γ 1 ) = 1 + θ 1 (γ 1 ). Para el mapa de inclusión i : P 1 ( R ) → P ∞ ( R ), el paquete de retroceso es igual a . Así, el primer y tercer axioma implican
Desde el mapa
es un isomorfismo, y siguen θ (γ 1 ) = w (γ 1 ). Deje que E sea un verdadero paquete del vector de rango n sobre un espacio X . Entonces E admite un mapa de división , es decir, un mapa f : X ′ → X para algún espacio X ′ tal que es inyectable y para algunos paquetes de líneas . Cualquier paquete de líneas sobre X tiene la formapara algunos mapas g , y
por naturalidad. Entonces θ = w en. Se sigue del cuarto axioma anterior que
Desde es inyectivo, θ = w . Por tanto, la clase Stiefel-Whitney es el funtor único que satisface los cuatro axiomas anteriores.
Paquetes no isomórficos con las mismas clases de Stiefel-Whitney
Aunque el mapa w 1 : Vect 1 ( X ) → H 1 ( X ; Z / 2 Z ) es una biyección, el mapa correspondiente no es necesariamente inyectivo en dimensiones superiores. Por ejemplo, considere el paquete tangente TS n para n par. Con la inclusión canónica de S n en R n +1 , el paquete normal ν a S n es un paquete de líneas. Dado que S n es orientable, ν es trivial. La suma TS n ⊕ ν es solo la restricción de T R n +1 a S n , lo cual es trivial ya que R n +1 es contráctil. Por tanto, w ( TS n ) = w ( TS n ) w (ν) = w ( TS n ⊕ ν) = 1. Pero, siempre que n sea par, TS n → S n no es trivial; su clase Euler , donde [ S n ] denota una clase fundamental de S n y χ la característica de Euler .
Invariantes relacionados
Números de Stiefel-Whitney
Si trabajamos en una variedad de dimensión n , entonces cualquier producto de las clases Stiefel-Whitney de grado total n puede emparejarse con Z / 2 Z - clase fundamental de la variedad para dar un elemento de Z / 2 Z , un Stiefel - Número de Whitney del paquete de vectores. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 3, hay tres números de Stiefel-Whitney linealmente independientes, dados por. En general, si la variedad tiene dimensión n , el número de posibles números Stiefel-Whitney independientes es el número de particiones de n .
Los números de Stiefel-Whitney del haz tangente de una variedad suave se denominan números de Stiefel-Whitney de la variedad. Se sabe que son invariantes del cobordismo . Lev Pontryagin demostró que si B es una variedad compacta suave ( n +1) -dimensional con límite igual a M , entonces los números de Stiefel-Whitney de M son todos cero. [1] Además, René Thom demostró que si todos los números de Stiefel-Whitney de M son cero, entonces M se puede realizar como el límite de alguna variedad compacta suave. [2]
Un número de Stiefel-Whitney de importancia en la teoría de la cirugía es el invariante de Rham de una variedad (4 k + 1) -dimensional,
Clases de Wu
Las clases Stiefel-Whitney w k son los cuadrados de Steenrod de las clases Wu v k , definidas por Wu Wenjun en ( Wu 1955 ). O más concretamente, podemos exigir, nuevamente para las clases de cohomología x de grado nk . [3]
. Más simplemente, la clase Stiefel-Whitney total es el cuadrado Steenrod total de la clase Wu total: Sq ( v ) = w . Las clases de Wu se definen más a menudo implícitamente en términos de cuadrados Steenrod, como la clase de cohomología que representa los cuadrados Steenrod. Deje el colector de X sea n dimensional. Entonces, para cualquier clase x de cohomología de grado nk ,Clases integrales de Stiefel-Whitney
El elemento se llama la clase integral Stiefel-Whitney i + 1 , donde β es el homomorfismo de Bockstein , correspondiente al módulo de reducción 2, Z → Z / 2 Z :
Por ejemplo, la tercera clase integral Stiefel-Whitney es la obstrucción a una estructura Spin c .
Relaciones sobre el álgebra de Steenrod
Sobre el álgebra de Steenrod , las clases Stiefel-Whitney de una variedad suave (definida como las clases Stiefel-Whitney del paquete tangente) son generadas por las de la forma. En particular, las clases Stiefel-Whitney satisfacen lasFórmula de Wu , llamada así porWu Wenjun: [4]
Ver también
- Clase característica para un levantamiento general, en particular la clase Chern , el análogo directo para paquetes de vectores complejos
- Espacio proyectivo real
Referencias
- ^ Pontryagin, Lev S. (1947). "Ciclos característicos sobre variedades diferenciables". Estera. Sbornik . Nueva serie (en ruso). 21 (63): 233-284.
- ^ Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases de características . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 50 –53. ISBN 0-691-08122-0.
- ^ Milnor, JW; Stasheff, JD (1974). Clases de características . Prensa de la Universidad de Princeton . pp. 131 -133. ISBN 0-691-08122-0.
- ↑ ( Mayo de 1999 , p. 197)
- Dale Husemoller , Paquetes de fibra , Springer-Verlag, 1994.
- May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) , Chicago: University of Chicago Press , consultado el 7 de agosto de 2009
- Milnor, John Willard (1970), con un apéndice de J. Tate, "Teoría K algebraica y formas cuadráticas", Inventiones Mathematicae , 9 : 318–344, doi : 10.1007 / BF01425486 , ISSN 0020-9910 , MR 0260844 , Zbl 0199.55501
enlaces externos
- Clase Wu en el Manifold Atlas