Espacio topológico
En matemáticas , un espacio topológico es, en términos generales, un espacio geométrico en el que la cercanía está definida pero no necesariamente puede medirse mediante una distancia numérica . Más específicamente, un espacio topológico es un conjunto cuyos elementos se denominan puntos , junto con una estructura adicional llamada topología , que puede definirse como un conjunto de vecindades para cada punto que satisfacen algunos axiomas que formalizan el concepto de cercanía. Existen varias definiciones equivalentes de topología, la más comúnmente utilizada es la definición mediante conjuntos abiertos , que es más fácil de manipular que las demás.
Un espacio topológico es el tipo más general de espacio matemático que permite la definición de límites , continuidad y conectividad . [1] [2] Los tipos comunes de espacios topológicos incluyen espacios euclidianos , espacios métricos y variedades .
Aunque es muy general, el concepto de espacios topológicos es fundamental y se utiliza prácticamente en todas las ramas de las matemáticas modernas. El estudio de los espacios topológicos por derecho propio se denomina topología de conjuntos de puntos o topología general .
Hacia 1735 , Leonhard Euler descubrió la fórmula que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo y, por tanto, de un grafo plano . El estudio y generalización de esta fórmula, concretamente por Cauchy (1789-1857) y L'Huilier (1750-1840), impulsó el estudio de la topología . En 1827 , Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales sobre superficies curvas , que en la sección 3 define la superficie curva de manera similar a la comprensión topológica moderna: "Se dice que una superficie curva posee curvatura continua en uno de sus puntos A, si el La dirección de todas las líneas rectas trazadas desde A hacia puntos de la superficie a una distancia infinitesimal de A se desvían infinitesimalmente desde un mismo plano que pasa por A. [3]
Sin embargo, "hasta el trabajo de Riemann a principios de la década de 1850, las superficies siempre se trataban desde un punto de vista local (como superficies paramétricas) y nunca se consideraban cuestiones topológicas". [4] " Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema acerca de la topología de superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricas) para decidir la equivalencia de superficies, es decir, decidir si dos superficies son homeomórfico o no." [4]
El tema está claramente definido por Felix Klein en su " Programa de Erlangen " (1872): las invariantes de la geometría de transformación continua arbitraria, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque había utilizado el término en correspondencia algunos años antes en lugar del utilizado anteriormente "Analysis situs". La base de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creada por Henri Poincaré . Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894 . [5] En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano .