Semi-continuidad

Propiedad de funciones que es más débil que la continuidad.

En análisis matemático , semicontinuidad (o semicontinuidad ) es una propiedad de reales extendidos -valued funciones que es más débil que la continuidad . Una función ampliada de valor real${\displaystyle f}$es superior (respectivamente, inferior ) semicontinuo en un punto${\displaystyle x_{0}}$ si, en términos generales, los valores de la función para argumentos cercanos ${\displaystyle x_{0}}$ no son mucho más altos (respectivamente, más bajos) que ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Una función es continua si y solo si es semicontinua superior e inferior. Si tomamos una función continua y aumentamos su valor en cierto punto${\displaystyle x_{0}}$ para ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$ para algunos ${\displaystyle c\geq 0}$, entonces el resultado es semicontinuo superior; si disminuimos su valor a${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$ entonces el resultado es semicontinuo inferior.

Definición formal

Asume a lo largo de eso ${\displaystyle X}$es un espacio topológico y${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$es una función valorada en números reales extendidos ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ].}$

La función ${\displaystyle f}$ se llama semicontinuo superior si essemicontinuo superior entodos los puntos de sudominio ${\displaystyle X,}$ y de manera similar, se llama semicontinuo inferior si essemicontinuo inferior encada punto de su dominio,^[1]donde ahora se dan varias definiciones equivalentes de "semicontinuo en un punto".

Semicontinuidad superior en un punto

La función ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ se ha dicho superior semicontinuo en un punto ${\displaystyle x_{0}\in X}$ Si

por cada real ${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$existe un barrio ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tal que ${\displaystyle y>f(u)}$ para todos ${\displaystyle u\in U.}$

Si ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=+\infty }$ luego ${\displaystyle f}$ es necesariamente semicontinuo superior en ${\displaystyle x_{0}}$porque la condición anterior se satisface de forma vacía (no hay${\displaystyle y>+\infty }$). En esta definición, la estricta desigualdad "${\displaystyle y>f(u)}$" puede ser reemplazado por "${\displaystyle y\geq f(u)}$", pero no se puede hacer lo mismo con la desigualdad estricta "${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$".

Semicontinuidad superior en ${\displaystyle x_{0}}$ puede definirse de manera equivalente separándolo en dos casos, siendo necesaria la separación en casos por el hecho de que ${\displaystyle y}$ (de la definición anterior) y ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+\epsilon }$ (de la definición a continuación) no se puede usar indistintamente cuando ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=-\infty .}$ La función ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$es semicontinuo superior en${\displaystyle x_{0}}$ si y solo si lo siguiente es cierto:

1. Si ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)>-\infty }$ entonces para cada ${\displaystyle \epsilon >0,}$existe un barrio ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tal que siempre que ${\displaystyle u\in U}$ luego ${\displaystyle f(u)\leq f\left(x_{0}\right)+\epsilon .}$^{[nota 1]}
2. Si ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=-\infty }$ luego ${\displaystyle f(x)}$ tiende a ${\displaystyle -\infty }$ como ${\displaystyle x}$ tiende a ${\displaystyle x_{0}.}$

Para el caso particular donde ${\displaystyle X}$ es un espacio métrico, ${\displaystyle f}$ es semicontinuo superior en ${\displaystyle x_{0}}$ si y solo si

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f\left(x_{0}\right)}$

donde lim sup es el límite superior de la función${\displaystyle f}$ en el punto ${\displaystyle x_{0}.}$(Para espacios no métricos, se puede establecer una definición equivalente usando redes ).

Baja semicontinuidad en un punto

La función ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ se ha dicho semicontinuo inferior en un punto ${\displaystyle x_{0}\in X}$ Si

por cada real ${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$existe un barrio ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tal que ${\displaystyle y<f(u)}$ para todos ${\displaystyle u\in U.}$

Si ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=-\infty }$ luego ${\displaystyle f}$ es necesariamente menor semicontinuo en ${\displaystyle x_{0}}$porque la condición anterior se satisface al vacío . En esta definición, la estricta desigualdad "${\displaystyle y<f(u)}$" puede ser reemplazado por "${\displaystyle y\leq f(u)}$", pero no se puede hacer lo mismo con la desigualdad estricta "${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$".

Semicontinuidad inferior en ${\displaystyle x_{0}}$ puede definirse de manera equivalente separándolo en dos casos, siendo necesaria la separación en casos por el hecho de que ${\displaystyle y}$ (de la definición anterior) y ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\epsilon }$ (de la definición a continuación) no se puede usar indistintamente cuando ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=+\infty .}$^{[nota 2]} La función${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$es semicontinuo más bajo en${\displaystyle x_{0}}$ si y solo si lo siguiente es cierto:

1. Si ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty }$ entonces para cada ${\displaystyle \epsilon >0,}$existe un barrio ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle x_{0}}$ tal que siempre que ${\displaystyle u\in U}$ luego ${\displaystyle f(u)\geq f\left(x_{0}\right)-\epsilon .}$^{[nota 3]}
2. Si ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=+\infty }$ luego ${\displaystyle f(x)}$ tiende a ${\displaystyle +\infty }$ como ${\displaystyle x}$ tiende a ${\displaystyle x_{0}.}$

Para el caso particular donde ${\displaystyle X}$ es un espacio métrico, ${\displaystyle f}$ es semicontinuo más bajo en ${\displaystyle x_{0}}$ si y solo si

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f\left(x_{0}\right)}$

donde ${\displaystyle \liminf }$es el límite inferior de la función${\displaystyle f}$ en el punto ${\displaystyle x_{0}.}$

Caracterizaciones

Una función es semicontinua superior (resp. Semicontinua inferior) si y solo si ${\displaystyle \{x\in X:f(x)<y\}}$ (resp. ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>y\}}$) es un set abierto para todos${\displaystyle y\in \mathbb {R} .}$Alternativamente, una función es semicontinua más baja si y solo si todos sus conjuntos de nivel más bajo ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq y\}}$(también llamados conjuntos de subnivel o trincheras ) están cerrados . Una función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ es menor semicontinuo si y solo si ${\displaystyle -f}$es semicontinuo superior. ^[2]

Una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$es semicontinuo inferior si y solo si su epígrafe (el conjunto de puntos que se encuentran sobre o encima de su gráfico ) está cerrado .

Una función ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ desde algún espacio topológico ${\displaystyle X}$es semicontinuo más bajo si y solo si es continuo con respecto a la topología de Scott en${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Porque ${\displaystyle \{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \}\cup \{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$es una subbase de la topología euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ Una función ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ es continuo si y solo si ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,r))}$ y ${\displaystyle f^{-1}((r,\infty ))}$ están abiertos para todos ${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$Se puede considerar que esta caracterización motiva las definiciones de semicontinuidad superior e inferior. ^[2] Además, una función es continua en${\displaystyle x_{0}}$si y solo si es tanto superior como inferior semicontinuo allí. ^[2] Por lo tanto, la semicontinuidad se puede utilizar para probar la continuidad.

Ejemplos

Una función semicontinua superior que no es semicontinua inferior. El punto azul sólido indica${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Considere la función ${\displaystyle f,}$ a trozos definido por:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

Esta función es semicontinua superior en ${\displaystyle x_{0}=0,}$ pero no semicontinuo más bajo.

Una función semicontinua inferior que no es semicontinua superior. El punto azul sólido indica${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

La función indicadora de un conjunto cerrado es semicontinua superior, mientras que la función indicadora de un conjunto abierto es semicontinua inferior. La función de suelo ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ que devuelve el mayor número entero menor o igual a un número real dado ${\displaystyle x,}$está en todas partes superior semicontinuo. Del mismo modo, la función de techo ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$ es semicontinuo más bajo.

Una función puede ser semicontinua superior o inferior sin ser continua a la izquierda ni a la derecha . Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x<1,\\2&{\mbox{if }}x=1,\\1/2&{\mbox{if }}x>1,\end{cases}}}$

es semicontinuo superior en ${\displaystyle x=1,,}$ya que su valor allí es más alto que su valor en su vecindario. Sin embargo, no es continuo a la izquierda ni a la derecha: el límite de la izquierda es igual a 1 y el límite de la derecha es igual a 1/2, ambos diferentes del valor de la función de 2. Si${\displaystyle f}$ se modifica, por ejemplo, estableciendo ${\displaystyle f(1)=0}$ entonces es semicontinuo más bajo.

De manera similar, la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$

es semicontinuo superior en ${\displaystyle x=0}$ mientras que los límites de la función desde la izquierda o la derecha en cero ni siquiera existen.

Si ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ es un espacio euclidiano (o más generalmente, un espacio métrico) y ${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$es el espacio de curvas en${\displaystyle X}$(con la distancia supremum ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup _{t}\ d_{X}(\alpha (t),\beta (t)),}$ entonces la longitud funcional ${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$ que asigna a cada curva ${\displaystyle \alpha }$su longitud ${\displaystyle L(\alpha ),}$ es semicontinuo inferior.

La función del indicador de cualquier conjunto abierto es semicontinua más baja. La función indicadora de un conjunto cerrado es semicontinua superior. Sin embargo, en el análisis convexo, el término "función indicadora" se refiere a menudo a la función característica , y la función característica de cualquier conjunto cerrado es semicontinua inferior y la función característica de cualquier conjunto abierto es semicontinua superior.

Dejar ${\displaystyle (X,\mu )}$ ser un espacio de medida y dejar ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$denotar el conjunto de funciones medibles positivas dotadas de la topología de convergencia en medida con respecto a${\displaystyle \mu .}$Luego, por el lema de Fatou, la integral, vista como un operador de${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ para ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ es semicontinuo más bajo.

Condiciones suficientes

Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son dos funciones de valor real que son semicontinuas superiores en ${\displaystyle x_{0},}$ entonces asi es ${\displaystyle f+g.}$ Si ambas funciones no son negativas, entonces la función del producto ${\displaystyle fg}$ también será semicontinuo superior en ${\displaystyle x_{0}.}$ Lo mismo vale para las funciones semicontinuas inferiores en ${\displaystyle x_{0}.}$^[3]

La composicion ${\displaystyle f\circ g}$ de funciones semicontinuas superiores ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ no es necesariamente semicontinuo superior, pero si ${\displaystyle f}$ tampoco es decreciente, entonces ${\displaystyle f\circ g}$es semicontinuo superior. ^[4]

Multiplicar una función semicontinua superior positiva por un número negativo la convierte en una función semicontinua inferior.

Suponer ${\displaystyle f_{i}:X\to [-\infty ,\infty ]}$ es una función semicontinua inferior para cada índice ${\displaystyle i}$ en un conjunto no vacío ${\displaystyle I,}$ y definir ${\displaystyle f}$como supremum puntiagudo ; eso es,

${\displaystyle f(x)=\sup _{i\in I}f_{i}(x)}$ para cada ${\displaystyle x\in X.}$

Luego ${\displaystyle f}$es semicontinuo más bajo. ^{[5] [2]} Incluso si todos los${\displaystyle f_{i}}$ son continuos, ${\displaystyle f}$no necesita ser continuo; de hecho, toda función semicontinua inferior en un espacio uniforme (por ejemplo, un espacio métrico ) surge como el supremo de una secuencia de funciones continuas. Asimismo, el mínimo puntual de una colección arbitraria de funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior.

Suponer ${\displaystyle f_{i}:X\to \mathbb {R} }$ son funciones semicontinuas inferiores no negativas indexadas por ${\displaystyle i\in I\neq \varnothing }$ tal que

${\displaystyle g(x):=\sum _{i\in I}f_{i}(x):=\sup \left\{\sum _{i\in F}f_{i}(x)~:~F\subseteq I{\text{ is finite }}\right\}<\infty }$

para cada ${\displaystyle x\in X.}$ Luego ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$es semicontinuo inferior. ^[2] Si además cada${\displaystyle f_{i}}$ es continuo, entonces ${\displaystyle g}$es necesariamente continuo. ^[2]

El máximo y mínimo de un número finito de funciones semicontinuas superiores es semicontinuo superior, y lo mismo se aplica a las funciones semicontinuas inferiores.

Propiedades

Si ${\displaystyle C}$es un espacio compacto (por ejemplo, un intervalo cerrado y acotado ${\displaystyle [a,b]}$) y ${\displaystyle f:C\to [-\infty ,\infty )}$ es semicontinuo superior, entonces ${\displaystyle f}$ tiene un máximo en ${\displaystyle C.}$ La declaración análoga para (-${\displaystyle \infty ,\infty }$Las funciones semicontinuas inferiores valoradas en] y los mínimos también son verdaderos. (Consulte el artículo sobre el teorema del valor extremo para obtener una demostración).

Cualquier función semicontinua superior ${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$ en un espacio topológico arbitrario ${\displaystyle X}$es localmente constante en algún subconjunto abierto denso de${\displaystyle X.}$

Ver también

• Función continua: función  matemática sin cambios repentinos de valor
• Continuidad direccional
• Función semicontinua multivalor

Notas

1. Cuando${\displaystyle f\left(x_{0}\right)>-\infty }$ es un número real (es decir, cuando ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq +\infty }$) luego la desigualdad "${\displaystyle f(u)\leq f\left(x_{0}\right)+\epsilon }$" puede ser reemplazado por la estricta desigualdad "${\displaystyle f(u)<f\left(x_{0}\right)+\epsilon }$".
2. Cuando${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\infty }$ luego ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\epsilon =\infty }$ por cada real ${\displaystyle \epsilon >0}$ mientras que, por el contrario, si ${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ luego ${\displaystyle y\neq +\infty .}$
3. Cuando${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty }$ es un número real (es decir, cuando ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq -\infty }$) luego la desigualdad "${\displaystyle f(u)\geq f\left(x_{0}\right)-\epsilon }$" puede ser reemplazado por la estricta desigualdad "${\displaystyle f(u)>f\left(x_{0}\right)-\epsilon }$".

Referencias

1. Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergencia y eficiencia de los métodos de subgradiente para la minimización cuasiconvexa". Programación Matemática, serie A . 90 (1). Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 1–25. doi : 10.1007 / PL00011414 . ISSN  0025-5610 . Señor  1819784 .
2. Muger, Michael (2020). Topología para el matemático que trabaja . págs. 93–94.
3. Puterman, Martin L. (2005). Procesos de decisión de Markov Programación dinámica estocástica discreta . Wiley-Interscience. págs.  602 . ISBN 978-0-471-72782-8.
4. Moore, James C. (1999). Métodos matemáticos para la teoría económica . Berlín: Springer. pag. 143 . ISBN 9783540662358.
5. "Teorema de Baire" . Enciclopedia de Matemáticas .

Bibliografía

• Benesova, B .; Kruzik, M. (2017). "Semicontinuidad inferior débil de aplicaciones y funcionales integrales". Revisión SIAM . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137 / 16M1060947 .
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de las matemáticas: topología general, 1–4 . Saltador. ISBN 0-201-00636-7.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elementos de las matemáticas: topología general, 5–10 . Saltador. ISBN 3-540-64563-2.
• Gelbaum, Bernard R .; Olmsted, John MH (2003). Contraejemplos en análisis . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-42875-3.
• Hyers, Donald H .; Isac, George; Rassias, Themistocles M. (1997). Temas de análisis y aplicaciones no lineales . World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Señor  1921556 . OCLC  285163112 .