En topología , una subbase (o subbase ) para un espacio topológico X con topología T es una subcolección B de T que genera T , en el sentido de que T es la topología más pequeño que contiene B . Algunos autores utilizan una definición ligeramente diferente, y hay otras formulaciones equivalentes útiles de la definición; estos se analizan a continuación.
Definición
Deje X un espacio topológico con topología T . Una subbase de T generalmente se define como una subcolección B de T que satisface una de las dos siguientes condiciones equivalentes:
- El subcolección B genera la topología T . Esto significa que T es la más pequeña topología que contiene B : cualquier topología de T' en X que contiene B deben contener también T .
- La colección de conjuntos abiertos que consisten en todos los finitos intersecciones de elementos de B , junto con el conjunto X , forma una base para T . Esto significa que cada adecuado conjunto abierto en T se puede escribir como una unión de las intersecciones finitas de elementos de B . Explícitamente, dado un punto x en un conjunto abierto U ⊆ X , hay un número finito de conjuntos S 1 , ..., S n de B , de manera que la intersección de estos conjuntos contiene x y está contenida en U .
(Si usamos la convención de intersección nular , entonces no es necesario incluir X en la segunda definición).
Para cualquier subcolección S del conjunto de potencias P ( X ) , existe una topología única que tiene S como subbase. En particular, la intersección de todas las topologías en X que contienen S satisface esta condición. Sin embargo, en general, no existe una subbase única para una topología determinada.
Por lo tanto, podemos comenzar con una topología fija y encontrar subbases para esa topología, y también podemos comenzar con una subcolección arbitraria del conjunto de potencias P ( X ) y formar la topología generada por esa subcolección. Podemos usar libremente cualquiera de las definiciones equivalentes anteriores; de hecho, en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra.
Definición alternativa
A veces, una definición ligeramente diferente de la sub-base se le da lo que requiere que la sub-base ℬ cubierta X . [1] En este caso, X es la unión de todos los conjuntos contenidos en ℬ . Esto significa que no puede haber confusión con respecto al uso de intersecciones nulares en la definición.
Sin embargo, esta definición no siempre es equivalente a las dos definiciones anteriores. En otras palabras, existen espacios topológicos ( X , τ) con un subconjunto ℬ ⊆ τ , de modo que τ es la topología más pequeña que contiene ℬ , pero ℬ no cubre X (un ejemplo de este tipo se da a continuación). En la práctica, esto es raro; por ejemplo, una subbase de un espacio que tiene al menos dos puntos y satisface el axioma de separación T 1 debe ser una cubierta de ese espacio.
Ejemplos de
La topología generada por cualquier subconjunto 𝒮 ⊆ {∅, X } (incluido el conjunto vacío 𝒮: = ∅ ) es igual a la topología trivial {∅, X }.
Si τ es una topología en X y ℬ es una base para τ, entonces la topología generada por ℬ es τ . Por tanto, cualquier base ℬ para una topología τ es también una subbase para τ . Si 𝒮 es cualquier subconjunto de τ, entonces la topología generada por 𝒮 será un subconjunto de τ .
La topología habitual de los números reales. tiene una subbase que consiste en todos los semi-infinito intervalos abiertos ya sea de la forma (-∞, un ) o ( b , ∞) , donde un y b son números reales. Juntos, estos generan la topología habitual, ya que las intersecciones ( a , b ) = (−∞, b ) ∩ ( a , ∞) para a < b generan la topología habitual. Un segundo sub-base se forma mediante la adopción de la subfamilia donde un y b son racional . La segunda subbase genera también la topología habitual, ya que los intervalos abiertos ( a , b ) con a , b racionales son la base de la topología euclidiana habitual.
La subbase que consta de todos los intervalos abiertos semi-infinitos de la forma (−∞, a ) solo, donde a es un número real, no genera la topología habitual. La topología resultante no satisface el axioma de separación T 1 , ya que todos los conjuntos abiertos tienen una intersección no vacía.
La topología inicial en X definida por una familia de funciones f i : X → Y i , donde cada Y i tiene una topología, es la topología más burda en X tal que cada f i es continua . Debido a que la continuidad se puede definir en términos de las imágenes inversas de conjuntos abiertos, esto significa que la topología inicial en X se da tomando todo f i −1 ( U ) , donde U se extiende sobre todos los subconjuntos abiertos de Y i , como una subbase .
Dos casos especiales importantes de la topología inicial son la topología del producto , donde la familia de funciones es el conjunto de proyecciones del producto a cada factor, y la topología del subespacio , donde la familia consta de una sola función, el mapa de inclusión .
La topología compacta-abierta en el espacio de funciones continuas de X a Y tiene como subbase el conjunto de funciones
donde K ⊆ X es compacto y U es un subconjunto abierto de Y .
Suponga que ( X , τ) es un espacio topológico de Hausdorff con X que contiene dos o más elementos (p. Ej.con la topología euclidiana ). Sea Y ∈ τ cualquier subconjunto abierto no vacío de ( X , τ) (por ejemplo, Y podría ser un intervalo abierto acotado no vacío en) y sea ν la topología subespacial en Y que Y hereda de ( X , τ) (entonces ν ⊆ τ ). Entonces la topología generada por ν en X es igual a la unión { X } ∪ ν (ver esta nota al pie para una explicación), [nota 1] donde { X } ∪ ν ⊆ τ (ya que ( X , τ) es Hausdorff, igualdad se mantendrá si y solo si Y = X ). Tenga en cuenta que si Y es un subconjunto adecuado de X , entonces { X } ∪ ν es la topología más pequeña en X que contiene ν pero ν no cubre X (es decir, la unión V = Y es un subconjunto propio de X ).
Resultados usando subbases
Un hecho interesante sobre las subbase es que la continuidad de una función solo necesita comprobarse en una subbase del rango. Es decir, si f : X → Y es un mapa entre espacios topológicos y si ℬ es una subbase para Y , entonces f : X → Y es continuo si y solo si f −1 ( B ) está abierto en X para cada B ∈ ℬ . Una red (o secuencia) x • = ( x i ) i ∈ I converge a un punto x si y sólo si todos los sub barrio básica de x contiene toda x i para suficientemente grande i ∈ I .
Teorema de la subbase de Alexander
El teorema de la subbase de Alexander es un resultado significativo con respecto a las subbase que se debe a James Waddell Alexander II . [2] El resultado correspondiente para cubiertas abiertas básicas (en lugar de subbásicas) es mucho más fácil de probar.
- Teorema de la subbase de Alexander : [2] Sea ( X , τ) un espacio topológico. Si X tiene una subbase 𝒮 tal que cada cobertura de X por elementos de 𝒮 tiene una subcobertura finita, entonces X es compacto .
Lo contrario a este teorema también es válido y se demuestra usando 𝒮 = τ (ya que cada topología es una subbase por sí misma).
- Si X es compacto y 𝒮 es una subbase de X , cada cobertura de X por elementos de 𝒮 tiene una subcobertura finita.
Prueba |
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Supongamos, en aras de la contradicción, que el espacio X no es compacto (por lo que X es un conjunto infinito), pero cada cobertura subbásica de 𝒮 tiene una subcubierta finita. Dejardenotar el conjunto de todas las cubiertas abiertas de X que no tienen ninguna subcover finito de X . Orden parcialpor inclusión de subconjuntos y use el Lema de Zorn para encontrar un elemento 𝒞 ∈ que es un elemento máximo de . Observa eso:
Comenzaremos mostrando que 𝒞 ∩ 𝒮 es no una cubierta de X . Suponga que 𝒞 ∩ 𝒮 fuera una cobertura de X , lo que en particular implica que 𝒞 ∩ 𝒮 es una cobertura de X por elementos de 𝒮 . La hipótesis del teorema sobre 𝒮 implica que existe un subconjunto finito de 𝒞 ∩ 𝒮 que cubre X , que simultáneamente también sería una subcubierta finita de X por elementos de 𝒞 (desde 𝒞 ∩ 𝒮 ⊆ 𝒞 ). Pero esto contradice 𝒞 ∈, Lo que demuestra que 𝒞 ∩ 𝒮 no cubre X . Dado que 𝒞 ∩ 𝒮 no cubre X , existe algo de x ∈ X que no está cubierto por 𝒞 ∩ 𝒮 (es decir, x no está contenido en ningún elemento de 𝒞 ∩ 𝒮 ). Pero desde 𝒞 Qué cubre X , también existe cierta U ∈ 𝒞 tal que x ∈ T . Dado que 𝒮 es una subbase que genera la topología de X , a partir de la definición de la topología generada por 𝒮 , debe existir una colección finita de conjuntos abiertos subbásicos S 1 , ..., S n ∈ 𝒮 tal que
Ahora mostraremos por contradicción que S i ∉ 𝒞 para todo i = 1, ..., n . Si yo fuera tal que S i ∈ 𝒞 , entonces también S i ∈ 𝒞 ∩ 𝒮 por lo que el hecho de que x ∈ S i implicaría que x está cubierto por 𝒞 ∩ 𝒮 , lo cual contradice cómo se eligió x (recuerde que x se eligió específicamente para que no estuviera cubierto por 𝒞 ∩ 𝒮 ). Como se mencionó anteriormente, la máxima de 𝒞 enimplica que para cada i = 1, ..., n , existe un subconjunto finito 𝒞 S i de 𝒞 tal que { S i } ∪ 𝒞 S i forma una cubierta finito de X . Definir
que es un subconjunto finito de 𝒞 . Observe que para cada i = 1, ..., n , { S i } ∪ 𝒞 F es una cubierta finito de X así que vamos a reemplazar cada 𝒞 S i con 𝒞 F . Deje ∪ 𝒞 F denota la unión de todos los conjuntos en 𝒞 F (que es un subconjunto abierto de X ) y dejar Z denotan el complemento de ∪ 𝒞 F en X . Observe que para cualquier subconjunto A ⊆ X , { A } ∪ 𝒞 F cubre X si y sólo si Z ⊆ A . En particular, para todo i = 1, ..., n , el hecho de que { S i } ∪ 𝒞 F cubra X implica que Z ⊆ S i . Como yo era arbitrario, tenemos Z ⊆ S 1 ∩ ··· ∩ S n . Recordando que S 1 ∩ ··· ∩ S n ⊆ U , que por lo tanto tiene Z ⊆ U , que es equivalente a { U } ∪ 𝒞 F ser una cubierta de X . Además, { U } ∪ 𝒞 F es una cobertura finita de X con { U } ∪ 𝒞 F ⊆ 𝒞 . Por tanto, 𝒞 tiene una subcubierta finita de X , lo que contradice el hecho de que 𝒞 ∈. Por lo tanto, la suposición original de que X no es compacta debe ser incorrecta, lo que prueba que X es compacta. ∎ |
Aunque esta prueba hace uso del Lema de Zorn , la prueba no necesita toda la fuerza de elección. En cambio, se basa en el principio de ultrafiltro intermedio . [2]
Usando este teorema con la subbase para arriba, uno puede dar una prueba muy fácil de que los intervalos cerrados delimitados en son compactos. De manera más general, el teorema de Tychonoff , que establece que el producto de los espacios compactos no vacíos es compacto, tiene una prueba breve si se usa el teorema de la subbase de Alexander.
Prueba |
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La topología del producto en ∏ i X i tiene, por definición, una subbase que consta de conjuntos de cilindros que son las proyecciones inversas de un conjunto abierto en un factor. Dada una familia subbásica C del producto que no tiene una subcubierta finita, podemos dividir C = ∪ i C i en subfamilias que consisten exactamente en esos conjuntos de cilindros correspondientes a un espacio factorial dado. Por supuesto, si C i ≠ ∅ entonces C i lo hace , no tengo una subcover finito. Al ser conjuntos de cilindros, esto significa que sus proyecciones sobre X i no tienen una subcubierta finita, y dado que cada X i es compacto, podemos encontrar un punto x i ∈ X i que no está cubierto por las proyecciones de C i sobre X i . Pero entonces ( x i ) i ∈ Π i X i no está cubierto por C . ∎ Tenga en cuenta que en el último paso usamos implícitamente el axioma de elección (que en realidad es equivalente al lema de Zorn ) para asegurar la existencia de ( x i ) i . |
Ver también
Notas
- ^ Desde ν es una topología en Y y Y es un subconjunto abierto de ( X , τ) , es fácil verificar que { X } ∪ ν es una topología en X . Dado que ν no es una topología en X , { X } ∪ ν es claramente la topología más pequeña en X que contiene ν ).
Referencias
- ^ Merrifield, Richard E .; Simmons, Howard E. (1989). Métodos topológicos en química . John Wiley e hijos. pag. 17 . ISBN 0-471-83817-9. Consultado el 13 de junio de 2013 .
Una colección S de subconjuntos que satisface el criterio (i) se llama una subbase de una topología sobre X .
- ^ a b c Muger, Michael (2020). Topología para el matemático que trabaja .
- Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topología general: Capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
- Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Dover Books on Mathematics (Primera ed.). Mineola, NY : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .