En matemáticas , una conexión métrica es una conexión en un paquete vectorial E equipado con una métrica de paquete ; es decir, una métrica para la cual el producto interno de dos vectores cualesquiera seguirá siendo el mismo cuando esos vectores se transporten en paralelo a lo largo de cualquier curva. [1] Esto es equivalente a:
- Una conexión para la cual las derivadas covariantes de la métrica en E desaparecen.
- Una conexión principal en el conjunto de marcos ortonormales de E .
Un caso especial de conexión métrica es una conexión de Riemann ; hay un único tal que no tiene torsión , la conexión Levi-Civita . En este caso, el haz E es el fibrado tangente TM de un colector, y la métrica en E es inducida por una métrica de Riemann en M .
Otro caso especial de una conexión métrica es una conexión Yang-Mills , que satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills . La mayor parte de la maquinaria para definir una conexión y su curvatura puede pasar sin requerir ninguna compatibilidad con la métrica del paquete. Sin embargo, una vez que uno no requieren compatibilidad, esta conexión métrica define un producto interno, Hodge estrella , Hodge dual , y laplaciano , que son necesarios para formular las ecuaciones de Yang-Mills.
Definición
Dejar sea cualquier sección local del paquete vectorial E , y sea X un campo vectorial en el espacio base M del paquete. Dejardefinir una métrica de haz , es decir, un indicador de las fibras de vectores de E . Entonces, una conexión D en E es una conexión métrica si:
Aquí d es el diferencial ordinario de una función escalar. La derivada covariante se puede extender de manera que actúa como un mapa de E -valued formas diferenciales en el espacio base:
Uno define para una función , y
dónde es una sección suave local para el paquete de vectores y es una forma p (con valores escalares) . Las definiciones anteriores también se aplican a los fotogramas suaves locales , así como a las secciones locales.
Emparejamiento métrico versus dual
La métrica del paquete impuesto sobre E no debe confundirse con el emparejamiento naturalde un espacio vectorial y su dual, que es intrínseco a cualquier paquete de vectores. Este último es una función en el paquete de endomorfismos. así que eso
pares de vectores con vectores duales (funcionales) por encima de cada punto de M . Es decir, sies cualquier marco de coordenadas local en E , entonces uno obtiene naturalmente un marco de coordenadas dualen E * satisfactorio.
Por el contrario, la métrica del paquete es una función en
dando un producto interno en cada vector de fibra espacio de E . La métrica del paquete permite definir un marco de coordenadas ortonormal mediante la ecuación
Dado un paquete de vectores, siempre es posible definir una métrica de paquete en él.
Siguiendo la práctica estándar, [1] se puede definir una forma de conexión , los símbolos de Christoffel y la curvatura de Riemann sin referencia a la métrica del paquete, usando solo el emparejamientoObedecerán las propiedades de simetría habituales; por ejemplo, el tensor de curvatura será antisimétrico en los dos últimos índices y satisfará la segunda identidad de Bianchi . Sin embargo, para definir la estrella de Hodge , la laplaciana , la primera identidad de Bianchi y la función de Yang-Mills, se necesita la métrica del haz.
Formulario de conexión
Dado un gráfico de paquete local , la derivada covariante se puede escribir en la forma
donde A es la conexión de una forma .
Es necesario un poco de maquinaria de notación. Dejardenotar el espacio de secciones diferenciables en E , seadenotar el espacio de p- formas en M , y seaser los endomorfismos en E . La derivada covariante, como se define aquí, es un mapa
Se puede expresar la forma de conexión en términos de los coeficientes de conexión como
El objetivo de la notación es distinguir los índices j , k , que corren sobre las n dimensiones de la fibra, del índice i , que recorre el espacio base m -dimensional. Para el caso de una conexión de Riemann a continuación, el espacio vectorial E se toma como el paquete tangente TM , y n = m .
La notación de A para la forma de conexión proviene de la física , en referencia histórica al campo de potencial vectorial del electromagnetismo y la teoría de gauge . En matemáticas, la notaciónse usa a menudo en lugar de A , como en el artículo sobre el formulario de conexión ; desafortunadamente, el uso de porque la forma de conexión choca con el uso de para denotar una forma alterna genérica en el paquete de vectores.
Simetría sesgada
La conexión es asimétrica en los índices de espacio vectorial (fibra); es decir, para un campo vectorial dado, la matriz es simétrico sesgado; de manera equivalente, es un elemento del álgebra de Lie .
Esto se puede ver de la siguiente manera. Sea la fibra n- dimensional, de modo que al haz E se le pueda dar un marco local ortonormal con i = 1, 2, ..., n . Entonces uno tiene, por definición, que, así que eso:
Además, para cada punto del gráfico de paquetes, el marco local es ortonormal:
De ello se deduce que, para cada vector , que
Es decir, es simétrica sesgada.
A esto se llega mediante el uso explícito de la métrica del paquete; sin hacer uso de esto, y usando solo el emparejamiento, solo se puede relacionar la forma de conexión A en E con su dual A ∗ en E ∗ , comoEsto se desprende de la definición de conexión dual como
Curvatura
Hay varias notaciones en uso para la curvatura de una conexión, incluida una moderna que usa F para denotar el tensor de intensidad de campo , una clásica que usa R como tensor de curvatura y la notación clásica para el tensor de curvatura de Riemann , la mayoría de las cuales pueden extenderse naturalmente al caso de los paquetes de vectores. Ninguna de estas definiciones requiere un tensor métrico o una métrica de paquete, y pueden definirse de manera bastante concreta sin hacer referencia a ellos. Sin embargo, las definiciones requieren una idea clara de los endomorfismos de E , como se describió anteriormente.
Estilo compacto
La definición más compacta de la curvatura F es definirla como los valores de toma de 2 formas en, dado por la cantidad por la cual la conexión no es exacta; es decir, como
que es un elemento de
o equivalente,
Para relacionar esto con otras definiciones y notaciones comunes, dejemos una sección de E . Insertando en lo anterior y expandiendo, uno encuentra
o lo que es lo mismo, soltar la sección
como una definición concisa.
Estilo de componente
En términos de componentes, dejemos dónde es el estándar de una sola forma de coordenadas de bases en el fibrado cotangente T * M . Insertando en lo anterior y expandiendo, se obtiene (usando la convención de suma ):
Tenga en cuenta que para un espacio vectorial n- dimensional, cadaes un n × n matriz, los índices de los cuales se han suprimido, mientras que los índices i y j de ejecución más de 1, ..., m , con m siendo la dimensión del colector subyacente. Ambos índices se pueden manifestar simultáneamente, como se muestra en la siguiente sección.
La notación que se presenta aquí es la que se usa comúnmente en física; por ejemplo, puede reconocerse inmediatamente como el tensor de intensidad de campo de gluones . Para el caso abeliano, n = 1, y el paquete de vectores es unidimensional; el conmutador desaparece, y lo anterior puede entonces reconocerse como el tensor electromagnético en una notación física más o menos estándar.
Estilo de relatividad
Todos los índices se pueden hacer explícitos proporcionando un marco uniforme , i = 1, ..., n en. Una sección dada entonces puede escribirse como
En este marco local , la forma de conexión se convierte en
con siendo el símbolo de Christoffel ; de nuevo, el índice i corre sobre 1, ..., m (la dimensión de la variedad subyacente M ) mientras que j y k sobrepasan 1, ..., n , la dimensión de la fibra. Insertando y girando la manivela, se obtiene
dónde ahora identificable como el tensor de curvatura de Riemann . Esto está escrito en el estilo comúnmente empleado en muchos libros de texto sobre relatividad general de mediados del siglo XX (con varias excepciones notables, como MTW , que presionó desde el principio para una notación libre de índices). Una vez más, los índices i y j correr sobre las dimensiones del colector de M , mientras que r y k carrera en la dimensión de las fibras.
Estilo de paquete tangente
Lo anterior se puede exportar al estilo de campo vectorial, escribiendo como elementos básicos estándar para el haz tangente TM . Luego se define el tensor de curvatura como
de modo que las direcciones espaciales se reabsorben, lo que da como resultado la notación
Alternativamente, las direcciones espaciales se pueden manifestar, mientras se ocultan los índices, escribiendo las expresiones en términos de campos vectoriales X e Y en TM . En la base estándar, X es
y del mismo modo para Y . Después de un poco de plug and chug , se obtiene
dónde
es la derivada de Lie del campo vectorial Y con respecto a X .
En resumen, el tensor de curvatura asigna fibras a fibras:
así que eso
Para ser muy claro, son notaciones alternativas para lo mismo. Observe que ninguna de las manipulaciones anteriores realmente requirió que la métrica del paquete pasara. También se puede demostrar la segunda identidad Bianchi
sin tener que hacer uso de la métrica del paquete.
Conexión Yang-Mills
El desarrollo anterior del tensor de curvatura no hizo ningún llamamiento a la métrica del paquete. Es decir, no necesitaban asumir que D o A eran conexiones métricas: simplemente tener una conexión en un paquete vectorial es suficiente para obtener las formas anteriores. Todas las diferentes variantes de notación se derivan directamente sólo de la consideración de los endomorfismos de las fibras del haz.
La métrica del paquete es necesaria para definir la estrella de Hodge y el dual de Hodge ; que se necesita, a su vez, para definir al laplaciano, y para demostrar que
Cualquier conexión que satisfaga esta identidad se denomina conexión Yang-Mills . Se puede demostrar que esta conexión es un punto crítico de las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a la acción de Yang-Mills.
dónde es el elemento de volumen , el dual de Hodge de la constante 1. Tenga en cuenta que se requieren tres productos internos diferentes para construir esta acción: la conexión métrica en E , un producto interno en el extremo ( E ), equivalente al operador cuadrático de Casimir (la traza de un par de matrices), y el dual de Hodge.
Conexión riemanniana
Un caso especial importante de una conexión métrica es una conexión de Riemann . Esta es una conexiónen el haz tangente de una variedad pseudo-Riemanniana ( M , g ) tal quepara todos los campos de vectores X en M . Equivalentemente,es riemanniano si el transporte paralelo que define conserva la métrica g .
Una conexión dada es riemanniano si y solo si
para todos los campos vectoriales X , Y y Z en M , donde denota la derivada de la función a lo largo de este campo vectorial .
La conexión Levi-Civita es la conexión Riemanniana sin torsión en un colector. Es único por el teorema fundamental de la geometría de Riemann . Para cada conexión de Riemann, se puede escribir una conexión Levi-Civita correspondiente (única). La diferencia entre los dos viene dada por el tensor de torsión .
En notación de componentes, la derivada covariante es compatible con el tensor métrico Si
Aunque se pueden definir otras derivadas covariantes, normalmente solo se considera la métrica compatible. Esto se debe a que, dadas dos derivadas covariantes, y , existe un tensor para transformar de uno a otro:
Si el espacio también está libre de torsión , entonces el tensor es simétrico en sus dos primeros índices.
Una palabra sobre notación
Es convencional cambiar la notación y usar el símbolo nabla ∇ en lugar de D en esta configuración; en otros aspectos, estos dos son lo mismo. Es decir, ∇ = D de las secciones anteriores anteriores.
Asimismo, el producto interior en E se reemplaza por el tensor métrico g en TM . Esto es consistente con el uso histórico, sino que también evita la confusión: para el caso general de un paquete del vector E , el colector subyacente M está no supone estar dotado de una métrica. El caso especial de colectores con una métrica g en TM además de una métrica de paqueteen E conduce a la teoría de Kaluza-Klein .
Ver también
- Paquetes verticales y horizontales
Referencias
- ^ a b Jost, Jürgen (2011), geometría riemanniana y análisis geométrico (PDF) , Universitext (Sexta ed.), Springer, Heidelberg, doi : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653( Tercera edición: ver capítulo 3; Sexta edición: ver capítulo 4. )
- Rodrigues, WA; Fernández, VV; Moya, AM (2005). "Derivados covariantes compatibles métricas". arXiv : matemáticas / 0501561 .
- Wald, Robert M. (1984), Relatividad general , University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2
- Schmidt, BG (1973). "Condiciones de una conexión para ser una conexión métrica" . Comun. Matemáticas. Phys . 29 (1): 55–59. Código Bibliográfico : 1973CMaPh..29 ... 55S . doi : 10.1007 / bf01661152 . hdl : 10338.dmlcz / 127117 .