En la teoría de conjuntos , un cardenal de Woodin (llamado así por W. Hugh Woodin ) es un número cardinal λ tal que para todas las funciones
- f : λ → λ
existe un cardinal κ <λ con
- { f (β) | β <κ} ⊆ κ
y una incrustación elemental
- j : V → M
del universo Von Neumann V en un modelo interno transitivo M con punto crítico κ y
- V j (f) (κ) ⊆ M .
Una definición equivalente es la siguiente: λ es Woodin si y solo si λ es muy inaccesible y para todos existe un <λ que es --fuerte.
ser --fuerte significa que para todos los ordinales α <λ, existe unque es una incrustación elemental con punto crítico , , y . (Véase también cardenal fuerte ).
Un cardenal Woodin está precedido por un conjunto estacionario de cardenales medibles y, por lo tanto, es un cardenal Mahlo . Sin embargo, el primer cardenal de Woodin no es ni siquiera débilmente compacto .
Consecuencias
Los cardenales de Woodin son importantes en la teoría descriptiva de conjuntos . Por un resultado [1] de Martin y Steel , la existencia de un número infinito de cardenales de Woodin implica una determinación proyectiva , que a su vez implica que todo conjunto proyectivo es medible en Lebesgue , tiene la propiedad de Baire (difiere de un conjunto abierto por un conjunto magro , es decir , un conjunto que es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte ) y la propiedad del conjunto perfecto (es contable o contiene un subconjunto perfecto ).
La consistencia de la existencia de los cardenales de Woodin puede demostrarse mediante hipótesis de determinación. Trabajando en ZF + AD + DC se puede demostrar que Woodin pertenece a la clase de conjuntos definibles ordinalmente hereditarios. es el primer ordinal en el que el continuo no puede ser mapeado por una sobreyección ordinal-definible (ver Θ (teoría de conjuntos) ).
Shelah demostró que si la existencia de un cardenal de Woodin es consistente, entonces es consistente que el ideal no estacionario en ω 1 es-saturado. Woodin también demostró la coherencia de la existencia de un número infinito de cardenales Woodin y la existencia de un-denso ideal sobre .
Cardenales Hyper-Woodin
Un cardinal κ se llama hiper-Woodin si existe una medida normal U en κ tal que para cada conjunto S , el conjunto
- {λ <κ | λ es <κ- S - fuerte }
está en T .
λ es <κ-S-fuerte si y solo si para cada δ <κ hay una clase transitiva N y una incrustación elemental
- j: V → N
con
- λ = crit (j),
- j (λ) ≥ δ, y
- .
El nombre alude al resultado clásico de que un cardenal es Woodin si y solo si para cada conjunto S , el conjunto
- {λ <κ | λ es <κ- S - fuerte }
es un conjunto estacionario
La medida U contendrá el conjunto de todos los cardenales de Shelah por debajo de κ.
Cardenales débilmente hiperwoodin
Un cardinal κ se llama débilmente hiperwoodin si para cada conjunto S existe una medida normal U en κ tal que el conjunto {λ <κ | λ es <κ- S -fuerte} es en U . λ es <κ-S-fuerte si y solo si para cada δ <κ hay una clase transitiva N y una incrustación elemental j: V → N con λ = crit (j), j (λ)> = δ, y
El nombre alude al resultado clásico de que un cardenal es Woodin si para cada conjunto S , el conjunto {λ <κ | λ es <κ- S - fuerte } es estacionario.
La diferencia entre los cardenales hiper-Woodin y los cardenales débilmente hiper-Woodin es que la elección de U no depende de la elección del conjunto S para los cardenales hiper-Woodin.
notas y referencias
Otras lecturas
- Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.
- Para obtener pruebas de los dos resultados enumerados en las consecuencias, consulte el Manual de teoría de conjuntos (Eds. Foreman, Kanamori, Magidor) (que aparecerá). Hay borradores de algunos capítulos disponibles.
- Ernest Schimmerling, Woodin cardinals, Shelah cardinals and the Mitchell-Steel core model , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, pp. 3385–3391, 2002, en línea
- Steel, John R. (octubre de 2007). "¿Qué es un cardenal Woodin?" ( PDF ) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 54 (9): 1146–7 . Consultado el 15 de enero de 2008 .