En matemáticas , la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa es la afirmación de que el número de Tamagawa de un grupo algebraico simple simplemente conectado definido sobre un campo numérico es 1. En este caso, simplemente conectado significa "no tener una cobertura algebraica adecuada " en el sentido de la teoría de grupos algebraicos , que no siempre es el significado de los topólogos .
Historia
Weil ( 1959 ) calculó el número de Tamagawa en muchos casos de grupos clásicos y observó que es un número entero en todos los casos considerados y que era igual a 1 en los casos en que el grupo simplemente está conectado. La primera observación no es válida para todos los grupos: Ono (1963) encontró ejemplos en los que los números de Tamagawa no son números enteros. La segunda observación, que los números Tamagawa de grupos semisimple simplemente conectados parecen ser 1, se conoció como la conjetura de Weil.
Robert Langlands (1966) introdujo métodos de análisis armónico para mostrarlo en grupos de Chevalley . KF Lai (1980) extendió la clase de casos conocidos a grupos reductores cuasi divididos . Kottwitz (1988) lo demostró para todos los grupos que cumplían con el principio de Hasse , que en ese momento era conocido para todos los grupos sin factores E 8 . VI Chernousov (1989) eliminó esta restricción, probando el principio de Hasse para el caso E 8 resistente (ver aproximación fuerte en grupos algebraicos ), completando así la demostración de la conjetura de Weil. En 2011, Jacob Lurie y Dennis Gaitsgory anunciaron una prueba de la conjetura para grupos algebraicos sobre campos de función sobre campos finitos. [1]
Aplicaciones
Ono (1965) utilizó la conjetura de Weil para calcular los números de Tamagawa de todos los grupos algebraicos semisimples.
Para los grupos de espín , la conjetura implica la conocida fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel . [1]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Lurie, 2014 .
- "Número de Tamagawa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Chernousov, VI (1989), "El principio de Hasse para grupos de tipo E8", Matemáticas soviéticas. Dokl. , 39 : 592–596, MR 1014762
- Kottwitz, Robert E. (1988), "Tamagawa numbers", Ann. de Matemáticas. , 2, Annals of Mathematics, 127 (3): 629–646, doi : 10.2307 / 2007007 , JSTOR 2007007 , MR 0942522.
- Lai, KF (1980), "Tamagawa number of reductive algebraic groups" , Compositio Mathematica , 41 (2): 153-188, MR 0581580
- Langlands, RP (1966), "El volumen del dominio fundamental para algunos subgrupos aritméticos de grupos de Chevalley", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Simpos. Pure Math., Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 143-148, MR 0213362
- Ono, Takashi (1963), "On the Tamagawa number of algebraic tori", Annals of Mathematics , Second Series, 78 (1): 47-73, doi : 10.2307 / 1970502 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970502 , MR 0156851
- Ono, Takashi (1965), "Sobre la teoría relativa de los números de Tamagawa", Annals of Mathematics , Second Series, 82 (1): 88-111, doi : 10.2307 / 1970563 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970563 , MR 0177991
- Tamagawa, Tsuneo (1966), "Adèles", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Simpos. Pure Math., IX , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 113-121, MR 0212025
- Voskresenskii, VE (1991), Grupos algebraicos y sus invariantes biracionales , traducción AMS
- Weil, André (1959), Exp. Núm. 186, Adèles et groupes algébriques , Séminaire Bourbaki, 5 , págs. 249–257
- Weil, André (1982) [1961], Adeles y grupos algebraicos , Progreso en matemáticas, 23 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, MR 0670072
- Lurie, Jacob (2014), Números de Tamagawa a través de la dualidad nobeliana de Poincaré
Otras lecturas
- Aravind Asok, Brent Doran y Frances Kirwan, "La teoría de Yang-Mills y los números de Tamagawa: la fascinación de los vínculos inesperados en las matemáticas" , 22 de febrero de 2013
- J. Lurie, The Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers y Nonabelian Poincaré Duality publicado el 8 de junio de 2012.