En matemáticas , un grupo aritmético es un grupo obtenido como los puntos enteros de un grupo algebraico , por ejemploSurgen naturalmente en el estudio de las propiedades aritméticas de las formas cuadráticas y otros temas clásicos de la teoría de números . También dan lugar a ejemplos muy interesantes de variedades riemannianas y, por tanto, son objetos de interés en geometría diferencial y topología . Finalmente, estos dos temas se unen en la teoría de formas automórficas que es fundamental en la teoría de números moderna.
Historia
Uno de los orígenes de la teoría matemática de los grupos aritméticos es la teoría algebraica de números. La teoría de la reducción clásica de las formas cuadráticas y hermitianas de Charles Hermite , Hermann Minkowski y otros puede verse como el cálculo de dominios fundamentales para la acción de ciertos grupos aritméticos en los espacios simétricos relevantes . [1] [2] El tema estaba relacionado con la geometría de los números de Minkowski y el desarrollo temprano del estudio de la aritmética invariante de campos numéricos como el discriminante . Los grupos aritméticos pueden considerarse como una vasta generalización de los grupos unitarios de campos numéricos a un entorno no conmutativo.
Los mismos grupos también aparecieron en la teoría analítica de números a medida que se desarrollaba el estudio de las formas modulares clásicas y sus generalizaciones. Por supuesto, los dos temas estaban relacionados, como puede verse, por ejemplo, en el cálculo de Langlands del volumen de ciertos dominios fundamentales utilizando métodos analíticos. [3] Esta teoría clásica culminó con el trabajo de Siegel, quien mostró la finitud del volumen de un dominio fundamental en muchos casos.
Para que la teoría moderna comenzara, se necesitaba un trabajo fundamental, y fue proporcionado por el trabajo de Armand Borel , André Weil , Jacques Tits y otros sobre grupos algebraicos. [4] [5] Poco tiempo después, Borel y Harish-Chandra probaron la finitud del covolumen con total generalidad. [6] Mientras tanto, Atle Selberg , Grigori Margulis , David Kazhdan , MS Raghunathan y otros progresaron en la teoría general de celosías en grupos de Lie . El estado de la técnica después de este período se fijó esencialmente en el tratado de Raghunathan, publicado en 1972. [7]
En los años setenta, Margulis revolucionó el tema al demostrar que en "la mayoría" de los casos las construcciones aritméticas dan cuenta de todas las celosías en un grupo de Lie dado. [8] Selberg había obtenido anteriormente algunos resultados limitados en esta dirección, pero los métodos de Margulis (el uso de herramientas ergódico-teóricas para acciones en espacios homogéneos) eran completamente nuevos en este contexto y serían extremadamente influyentes en desarrollos posteriores. renovando efectivamente el viejo tema de la geometría de los números y permitiendo al propio Margulis probar la conjetura de Oppenheim ; Posteriormente, Marina Ratner obtuvo resultados más sólidos ( teoremas de Ratner) .
En otra dirección, el tema clásico de las formas modulares se ha convertido en la teoría moderna de las formas automórficas. La fuerza impulsora detrás de este esfuerzo es principalmente el programa Langlands iniciado por Robert Langlands . Una de las principales herramientas utilizadas allí es la fórmula de la traza que se originó en el trabajo de Selberg [9] y desarrollada en el escenario más general por James Arthur . [10]
Finalmente, los grupos aritméticos se utilizan a menudo para construir ejemplos interesantes de variedades riemannianas localmente simétricas . Un tema de investigación particularmente activo ha sido la aritmética hiperbólica de tres variedades , que como escribió William Thurston , [11] "... a menudo parecen tener una belleza especial".
Definición y construcción
Grupos aritméticos
Si es un subgrupo algebraico de para algunos entonces podemos definir un subgrupo aritmético de como el grupo de puntos enteros En general, no es tan obvio cómo dar un sentido preciso a la noción de "puntos enteros" de un -group, y el subgrupo definido anteriormente puede cambiar cuando tomamos diferentes incrustaciones
Por tanto, una mejor noción es tomar como definición un subgrupo aritmético de cualquier grupo que es conmensurable (esto significa que tanto y son conjuntos finitos) con un grupo definido como arriba (con respecto a cualquier incrustación en ). Con esta definición, al grupo algebraico se asocia una colección de subgrupos "discretos", todos conmensurables entre sí.
Usar campos numéricos
Una generalización natural de la construcción anterior es la siguiente: sea ser un campo numérico con un anillo de números enteros y un grupo algebraico sobre . Si nos dan una incrustación definido sobre luego el subgrupo legítimamente se puede llamar un grupo aritmético.
Por otro lado, la clase de grupos así obtenida no es mayor que la clase de grupos aritméticos como se definió anteriormente. De hecho, si consideramos el grupo algebraico encima obtenido al restringir los escalares de a y el -empaquetamiento Inducido por (dónde ) entonces el grupo construido arriba es igual a .
Ejemplos de
El ejemplo clásico de un grupo aritmético es , o los grupos estrechamente relacionados , y . Para el grupo , o algunas veces , se denomina grupo modular ya que está relacionado con la curva modular . Ejemplos similares son los grupos modulares Siegel .
Otros ejemplos bien conocidos y estudiados incluyen los grupos Bianchi dónde es un número entero libre de cuadrados y es el anillo de los enteros en el campo y los grupos modulares de Hilbert-Blumenthal .
Otro ejemplo clásico lo dan los elementos integrales en el grupo ortogonal de una forma cuadrática definida sobre un campo numérico, por ejemplo . Una construcción relacionada es tomando los grupos de unidades de órdenes en álgebras de cuaterniones sobre campos numéricos (por ejemplo, el orden de cuaterniones de Hurwitz ). Se pueden realizar construcciones similares con grupos unitarios de formas hermitianas , un ejemplo muy conocido es el grupo modular Picard .
Rejillas aritméticas en grupos de Lie semisimple
Cuándo es un grupo de Lie, se puede definir una celosía aritmética en de la siguiente manera: para cualquier grupo algebraico definido sobre tal que hay un morfismo con núcleo compacto, la imagen de un subgrupo aritmético en es una celosía aritmética en . Así, por ejemplo, si y es un subgrupo de luego es una celosía aritmética en (pero hay muchas más, correspondientes a otras incrustaciones); por ejemplo, es una celosía aritmética en .
El teorema de Borel-Harish-Chandra
Una celosía en un grupo de Lie generalmente se define como un subgrupo discreto con covolumen finito. La terminología introducida anteriormente es coherente con esto, ya que un teorema debido a Borel y Harish-Chandra establece que un subgrupo aritmético en un grupo de Lie semisimple es de covolumen finito (la discreción es obvia).
El teorema es más preciso: dice que la red aritmética es compacta si y solo si la "forma" de utilizado para definirlo (es decir, el -grupo ) es anisotrópico. Por ejemplo, la celosía aritmética asociada a una forma cuadrática en variables sobre será co-compacto en el grupo ortogonal asociado si y sólo si la forma cuadrática no desaparece en ningún punto en .
Teorema de aritmeticidad de Margulis
El resultado espectacular que obtuvo Margulis es una inversa parcial al teorema de Borel-Harish-Chandra: para ciertos grupos de Lie, cualquier retícula es aritmética. Este resultado es cierto para todas las celosías irreductibles en grupos de Lie semisimplejos de rango real mayor que dos. [12] [13] Por ejemplo, todas las celosías en son aritméticos cuando . El principal ingrediente nuevo que utilizó Margulis para demostrar su teorema fue la superrigidez de las celosías en grupos de rango superior que demostró para este propósito.
La irreductibilidad solo juega un papel cuando tiene un factor de rango real uno (de lo contrario, el teorema siempre se cumple) y no es simple: significa que para cualquier descomposición del producto la celosía no es conmensurable con un producto de celosías en cada uno de los factores . Por ejemplo, la celosía en es irreductible, mientras que no es.
El teorema de aritmeticidad (y superrigidez) de Margulis es válido para ciertos grupos de Lie de rango 1, a saber por y el grupo excepcional . [14] [15] Se sabe que no se mantiene en todos los grupos. por (ref a GPS) y para Cuándo . No hay retículos no aritméticos conocidos en los grupos. Cuándo .
Grupos aritméticos fucsianos y kleinianos
Un grupo aritmético fucsiano se construye a partir de los siguientes datos: un campo numérico totalmente real , un cuaternión de álgebra encima y una orden en . Se pide que para una incrustación el álgebra ser isomorfo al álgebra matricial y para todos los demás a los cuaterniones de Hamilton . Entonces el grupo de unidades es una celosía en que es isomorfo a y es co-compacto en todos los casos excepto cuando es el álgebra matricial sobre Todas las celosías aritméticas en se obtienen de esta manera (hasta conmensurabilidad).
Los grupos aritméticos kleinianos se construyen de manera similar excepto que se requiere tener exactamente un lugar complejo y ser los cuaterniones de Hamilton en todos los lugares reales. Agotan todas las clases de conmensurabilidad aritmética en
Clasificación
Para cada grupo de Lie semisimple En teoría, es posible clasificar (hasta la conmensurabilidad) todas las redes aritméticas en , de manera similar a los casos explicado arriba. Esto equivale a clasificar los grupos algebraicos cuyos puntos reales son isomorfos hasta un factor compacto para. [dieciséis]
El problema del subgrupo de congruencia
Un subgrupo de congruencia es (aproximadamente) un subgrupo de un grupo aritmético definido tomando todas las matrices que satisfacen ciertas ecuaciones módulo un número entero, por ejemplo, el grupo de 2 por 2 matrices enteras con coeficientes diagonales (respectivamente fuera de la diagonal) congruentes a 1 (respectivamente 0) ) módulo un entero positivo. Estos son siempre subgrupos de índice finito y el problema de subgrupos de congruencia pregunta aproximadamente si todos los subgrupos se obtienen de esta manera. La conjetura (generalmente atribuida a Jean-Pierre Serre ) es que esto es cierto para las celosías aritméticas (irreductibles) en los grupos de rango superior y falso en los grupos de rango uno. Todavía está abierto en esta generalidad, pero hay muchos resultados que lo establecen para celosías específicas (tanto en sus casos positivos como negativos).
Grupos S-aritméticos
En lugar de tomar puntos integrales en la definición de una red aritmética, se pueden tomar puntos que solo son integrales de un número finito de primos. Esto conduce a la noción de un-rejilla aritmética (donderepresenta el conjunto de primos invertidos). El ejemplo prototípico es. También son naturalmente rejillas en ciertos grupos topológicos, por ejemplo es una celosía en
Definición
La definición formal de un -grupo aritmético para un conjunto finito de números primos es el mismo que para los grupos aritméticos con reemplazado por dónde es el producto de los números primos en .
Grupos de celosías en mentiras sobre campos locales
El teorema de Borel-Harish-Chandra se generaliza a -grupos aritméticos como sigue: si es un -grupo aritmético en un -grupo algebraico luego es una celosía en el grupo localmente compacto
- .
Algunas aplicaciones
Gráficos expansores explícitos
Grupos aritméticos con la propiedad de Kazhdan (T) o la propiedad más débil () de Lubotzky y Zimmer se pueden utilizar para construir gráficos expansores (Margulis), o incluso gráficos Ramanujan (Lubotzky-Phillips-Sarnak [17] [18] ). Se sabe que tales gráficos existen en abundancia por resultados probabilísticos, pero la naturaleza explícita de estas construcciones las hace interesantes.
Superficies y gráficos extremos
Se sabe que las coberturas de congruencia de superficies aritméticas dan lugar a superficies con un gran radio de inyectividad . [19] Asimismo, los gráficos de Ramanujan construidos por Lubotzky — Phillips — Sarnak tienen una gran circunferencia . De hecho, se sabe que la propiedad de Ramanujan en sí misma implica que las circunferencias locales del gráfico son casi siempre grandes. [20]
Variedades isospectrales
Los grupos aritméticos se pueden utilizar para construir variedades isospectrales . Esto fue realizado por primera vez por Marie-France Vignéras [21] y desde entonces han aparecido numerosas variaciones de su construcción. De hecho, el problema de la isospectralidad es particularmente susceptible de estudio en el marco restringido de las variedades aritméticas. [22]
Aviones proyectivos falsos
Un plano proyectivo falso [23] es una superficie compleja que tiene los mismos números de Betti que el plano proyectivo pero no es biholomórfico para él; el primer ejemplo fue descubierto por Mumford. Por el trabajo de Klingler (también probado independientemente por Yeung) todos estos son cocientes de la 2-bola por celosías aritméticas en. Las posibles celosías han sido clasificadas por Prasad y Yeung y la clasificación fue completada por Cartwright y Steger, quienes comprobaron que en realidad corresponden a planos proyectivos falsos.
Referencias
- ^ Borel, Armand (1969). Introducción a los grupos aritméticos . Hermann.
- ^ Siegel, Carl Ludwig (1989). Conferencias sobre geometría de números . Springer-Verlag.
- ^ Langlands, RP (1966), "El volumen del dominio fundamental para algunos subgrupos aritméticos de grupos de Chevalley", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Simpos. Pure Math., Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 143-148, MR 0213362
- ^ Borel, Armand; Tetas, Jacques (1965). "Groupes réductifs" . Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas . 27 : 55-150. doi : 10.1007 / bf02684375 .
- ^ Weil, André (1982). Adèles y grupos algebraicos . Birkhäuser. pag. iii + 126. Señor 0670072 .
- ^ Borel, Armand; Harish-Chandra (1962). "Subgrupos aritméticos de grupos algebraicos" . Annals of Mathematics . 75 (3): 485–535. doi : 10.2307 / 1970210 . JSTOR 1970210 .
- ^ Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie . Springer-Verlag.
- ^ Margulis, Grigori (1975). "Grupos discretos de movimientos de múltiples de curvatura no positiva". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974), vol. 2 (en ruso). Canad. Matemáticas. Congreso. págs. 21–34.
- ^ Selberg, Atle (1956). "Análisis armónico y grupos discontinuos en espacios riemannianos débilmente simétricos con aplicaciones a series de Dirichlet" . J. Indian Math. Soc . Series nuevas. 20 : 47–87.
- ^ Arthur, James (2005). "Una introducción a la fórmula de las trazas". Análisis de armónicos, fórmula de trazas y variedades Shimura . Amer. Matemáticas. soc. págs. 1–263.
- ^ Thurston, William (1982). "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090 / s0273-0979-1982-15003-0 .
- ^ Margulis, Girgori (1991). Subgrupos discretos de grupos de Lie semisimple . Springer-Verlag.
- ^ Witte-Morris, Dave (2015). "16" . Introducción a los grupos aritméticos .
- ^ Gromov, Mikhail; Schoen, Richard (1992). "Mapas de armónicos en espacios singulares y superrigidez p-ádica para celosías en grupos de rango uno" . Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas . 76 : 165–246. doi : 10.1007 / bf02699433 .
- ^ Corlette, Kevin (1992). "Superrigidez de Arquímedes y geometría hiperbólica". Ana. de Matemáticas . 135 (1): 165–182. doi : 10.2307 / 2946567 . JSTOR 2946567 .
- ^ Witte-Morris, Dave (2015). "18" . Introducción a los grupos aritméticos .
- ^ Lubotzky, Alexander (1994). Grupos discretos, gráficas en expansión y medidas invariantes . Birkhäuser.
- ^ Sarnak, Peter (1990). Algunas aplicaciones de formas modulares . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Katz, Mikhail G .; Schaps, Mary; Vishne, Uzi (2007), "Crecimiento logarítmico de la sístole de superficies aritméticas de Riemann a lo largo de subgrupos de congruencia" , Journal of Differential Geometry , 76 (3): 399–422, arXiv : math.DG / 0505007 , doi : 10.4310 / jdg / 1180135693 , MR 2331526
- ^ Abért, Miklós; Glasner, Yair; Virág, Bálint (2014). "Teorema de Kesten para subgrupos aleatorios invariantes". Duke Math. J . 163 (3): 465. arXiv : 1201.3399 . doi : 10.1215 / 00127094-2410064 . Señor 3165420 .
- ^ Vignéras, Marie-France (1980). "Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques". Ana. de Matemáticas. (en francés). 112 (1): 21–32. doi : 10.2307 / 1971319 . JSTOR 1971319 .
- ^ Prasad, Gopal; Rapinchuk, Andrei S. (2009). "Grupos aritméticos débilmente conmensurables y espacios localmente simétricos isospectrales". Publ. Matemáticas. Inst. Hautes Études Sci . 109 : 113-184. arXiv : 0705.2891 . doi : 10.1007 / s10240-009-0019-6 . Señor 2511587 .
- ^ Rémy, Bertrand (2007-2008), COVOLUME DES GROUPES S-ARITHMÉTIQUES ET FAUX PLANS PROYECTIFS [d'après Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung] , séminaire Bourbaki