En matemáticas , la fórmula de la traza de Selberg , introducida por Selberg (1956) , es una expresión para el carácter de la representación unitaria de un grupo de Lie G en el espacio L 2 ( G / Γ) de funciones cuadradas integrables , donde Γ es una cofinito grupo discreto . El personaje está dada por la traza de ciertas funciones en G .
El caso más simple es cuando Γ es cocompacto , cuando la representación se divide en sumandos discretos. Aquí, la fórmula de la traza es una extensión de la fórmula de Frobenius para el carácter de una representación inducida de grupos finitos. Cuando Γ es el subgrupo Z cocompacto de los números reales G = R , la fórmula de la traza de Selberg es esencialmente la fórmula de suma de Poisson .
El caso en el que G / Γ no es compacto es más difícil, porque hay un espectro continuo , descrito usando la serie de Eisenstein . Selberg elaboró el caso no compacto cuando G es el grupo SL (2, R ) ; la extensión a los grupos de rango superior es la fórmula de seguimiento de Arthur-Selberg .
Cuando Γ es el grupo fundamental de una superficie de Riemann , la fórmula de la traza de Selberg describe el espectro de operadores diferenciales como el Laplaciano en términos de datos geométricos que involucran las longitudes de las geodésicas en la superficie de Riemann. En este caso, la fórmula de la traza de Selberg es formalmente similar a las fórmulas explícitas que relacionan los ceros de la función zeta de Riemann con los números primos, con los ceros zeta correspondientes a los valores propios del Laplaciano y los primos correspondientes a las geodésicas. Motivado por la analogía, Selberg introdujo la función zeta de Selberg de una superficie de Riemann, cuyas propiedades analíticas están codificadas por la fórmula de trazas de Selberg.
Los casos de particular interés incluyen aquellos para los que el espacio es una superficie S compacta de Riemann . La publicación inicial en 1956 de Atle Selberg trató este caso, su operador diferencial laplaciano y sus competencias. Los rastros de poderes de un laplaciano se pueden utilizar para definir la función zeta de Selberg . El interés de este caso fue la analogía entre la fórmula obtenida y las fórmulas explícitas de la teoría de los números primos . Aquí las geodésicas cerradas en S juegan el papel de números primos.
Al mismo tiempo, el interés en las trazas de los operadores de Hecke se vinculó a la fórmula de trazas de Eichler-Selberg , de Selberg y Martin Eichler , para un operador de Hecke que actúa sobre un espacio vectorial de formas de cúspide de un peso dado, para un subgrupo de congruencia dado. del grupo modular . Aquí la traza del operador identidad es la dimensión del espacio vectorial, es decir, la dimensión del espacio de formas modulares de un tipo dado: una cantidad tradicionalmente calculada mediante el teorema de Riemann-Roch .